天津大港区德远中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

天津大港区德远中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合M=，N=，那么为（

）A.(－∞,3]

B.[3,+∞)

C.(0,3]

D.[0,3]参考答案：C2.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是(

)A．(1－，2)

B．(0，2)

C．(－1，2)

D．(0，1+)参考答案：A3.设集合，集合，则()A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】集合的基本运算.A1【答案解析】A

解析：由，解得，所以，又，所以，故选A.【思路点拨】先解出集合A,B，再求交集即可。4.设函数f（x）、g（x）的定义域分别为F、G，且F?G．若对任意的x∈F，都有f（x）=g（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知f（x）=ex（x≥0）（e为自然对数的底数），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，则下列可作为g（x）的解析式的个数为（）①y=ln|x|；②y=e|x|；③y=﹣ln|x|；④y=；⑤y=﹣x2+1；⑥y=（）|x|．A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】因为f（x）的定义域为；⑥y=（）|x|值域为（﹣∞，1]；故⑤⑥不符合，②④符合．所以选A．故选：A5.函数在（0，2）内零点的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B6.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为(

) A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答： 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，2）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z=0﹣2=﹣2，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7.已知集合，集合（是自然对数的底数），则=

（

）A． B．

C． D．参考答案：A略8.函数y=xex的最小值是（）A．﹣1 B．﹣e C． D．不存在参考答案：C考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 计算题．分析： 求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．解答： 解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xex取得最小值，最小值是故选C．点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．9.A={x|x是小于9的质数}，B={x|x是小于9的正奇数}，则A∩B的子集个数是（）A．32 B．16 C．8 D．4参考答案：C【考点】集合的表示法．【分析】利用列举法得到A∩B的元素，然后求其交集．【解答】解：∵A={x|x是小于9的质数}={2，3，5，7}，B={x|x是小于9的正奇数}={1，3，5，7}，∴A∩B={3，5，7}，∴A∩B的子集个数是：23=8．故选：C．10.下列说法中，正确的是A.命题“若，则”的否命题是假命题.B.设为两个不同的平面，直线，则是

成立的充分不必要条件.C.命题“”的否定是“”.D.已知，则“”是“”的充分不必要条件.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式的常数项为280，则正数a=

.参考答案：12.在球O的内接四面体ABCD中，且，则A,B两点的球面距离是_______________参考答案：略13.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.

参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．14.如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连结BC与圆O交于F，若,,，则________．参考答案：15.点在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是_______.参考答案：略16.是坐标原点，若为平面区域内的动点，则的最小值是__________.参考答案：.17.设函数，则该函数的最小正周期为

▲

，值域为

▲

，单调递增区间为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；（Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；物理成绩由低到高依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用分层抽样的性质能求出按性别比例分层抽样抽取女生数和男生数．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，按性别比例分层抽样抽取女生数为：=5人，男生数为：人．…4分（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…5分，，，…8分ξ的分布列为ξ012p…12分．19.等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．（1）求与；（2）若不等式对成立,求最小正整数的值.

参考答案：解(1).设的公差为，的公比为，则为正整数，，

依题意有解得或(舍去)

故(2).∴

,所以所求的最小正整数是2013.略20.我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的一条直线，与“盾圆”依次交于不同四点，求与的面积比的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由的准线为，，故又，所以，故椭圆为．

4分（Ⅱ）设直线为，联立，得，则

①联立，得，则

②

7分与的面积比整理得

9分当时，因为，所以，所以所以.

11分当时，.综上，.

12分21.已知向量，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调增区间；（2）如果△ABC的三边所对的角分别为，且满足的值.参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期；（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方；（3）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围.试题解析：（1）

3分∵的最小正周期为，且＞0∴∴

4分∴由≤≤

5分得的增区间为

6分（2）由∴又由

8分∴在中，

9分∴

12分考点：1、求正弦型函数的单调区间；2、三角形中余弦定理的应用.22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAC；（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A﹣CDG的体积．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）平行四边形ABCD中，证出AC⊥DA．结合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DA，由线面垂直的判定定理，可得DA⊥平面PAC．（Ⅱ）设PD的中点为G，在平面PAD内作GH⊥PA于H，连接FH，可证出四边形FCGH为平行四边形，得GC∥FH，所以CG∥平面PAF．设点G到平面ABCD的距离为d，得d=，结合Rt△ACD面积和锥体体积公式，可算出三棱锥A﹣CDG的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA∵PA⊥平面ABCD，DA?平面ABCD，∴PA⊥DA，又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．（Ⅱ）设PD的中点为G，