湖南省郴州市坳上中学高三数学理期末试卷含解析

湖南省郴州市坳上中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.己知双曲线的方程为，直线的方程为，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支相交于、，以为直径的圆与直线相交于、，记劣弧的长度为，则的值为A． B． C． D．参考答案：C略2.已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（）A．8 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率公式和椭圆的定义，可得a=6，结合a，b，c的关系，解得b．【解答】解：由题意可得e==，由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，可得2a=12，即有a=6，c=2，b==4，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率公式的运用，以及定义的运用，考查运算能力，属于基础题．3.定义在R上的偶函数在[0，＋∞）上递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A．（0，＋∞）

B．（0，）（2，＋∞）C．（0，）（，2）

D．（0，）参考答案：B4.平面平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线

Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线参考答案：答案：D解析：平面平面的一个充分条件是存在两条异面直线，选Ｄ．5.设是虚数单位，表示复数的共轭复数,+=2,则z的虚部是A.1

参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C

解析：设，则，，所以a=1；，则，所以，虚部为，故选C.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数，由共轭复数的概念求解．6.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）

A．

B.

C.

D.

参考答案：B7.将函数的图像向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）所得的图像解析式为，则图像上离y轴距离最近的对称中心为A.（，0） B.（，0） C.（，0） D.（，0） 参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D

将函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin[ω（x+）+φ]的图象；

再将图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；

∴函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象与函数y=sinx的图象相同

∴ω=1，ω+φ=0解得：ω=2，φ=-∴y=sin（ωx+φ）=sin（2x-）由2x-=kπ得x=kπ+（k∈Z）

当k=-1时，x=-∴离y轴距离最近的对称中心为（-，0）．故选D．【思路点拨】函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移个单位，得到函数y=sin[ω（x+）+φ]的图象；再将图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+ω+φ）的图象；由解析式相同求出ω、φ的值，然后根据正弦函数的对称中心求出函数y=sin（ωx+φ）的对称中心，进而求出离y轴距离最近的对称中心8.已知数列满足则的前10项和等于

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D

【知识点】复数代数形式的乘除运算．L1解析：复数===i．所以复数的的共轭复数是：﹣i．故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可．10.设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（?UA）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出?UA，再根据（?UA）∪B=R，求出a【解答】解：集合A={x|x＞1}，?UA={x|x≤1}，B={x|x＞a}，若（?UA）∪B=R，则a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为

.

参考答案：75%

略12.已知函数，定义函数给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是

.

参考答案：②、③13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AB、AD、B1C1的中点，给出下列命题：①异面直线EF与AG所成的角的余弦值为；②过点E、F、G作正方体的截面，所得的截面的面积是；③平面④三棱锥的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）参考答案：①③④【详解】取的中点为点H，连接GH、AH，如图1所示，因为,所以就是异面直线EF与AG所成的角易知在中，，所以，①正确；图1

图2

图3矩形即为过点E、F、G所得正方体的截面，如图2所示，易知,所以，②错误；分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图3所示直角坐标系,则，，因为，所以，又平面，平面且，所以平面，故③正确，，④正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查异面直线的夹角，平面截正方体所得截面，线面垂直的证明，三棱锥的体积，属于中档题.14.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，则=

。参考答案：略15.已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是

．参考答案：60【考点】二项式定理．【分析】根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x﹣）6的展开式为为Tr+1=C66﹣r?（2x）6﹣r?（﹣）r=（﹣1）r?26﹣r?C66﹣r?，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．16.若实数x，y满足xy=4，则x2+4y2的最小值为

．参考答案：16考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答： 解：∵xy=4，∴y=∴x2+4y2=x2+≥2=16，当且仅当x2=，即x=±2时取等号，故答案为：16点评：本题考查基本不等式，属基础题．17.在的边上随机取一点,记和的面积分别为和，则的概率是

．参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）在等差数列中，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.参考答案：

19.(14分)已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.参考答案：解析：（Ⅰ）∴为的垂直平分线，∴,又

………………3分∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆.∴轨迹E的方程为………5分(Ⅱ)解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，

…………8分，，

………11分.……12分又点到直线的距离，……………13分，.

…………14分解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，

…………8分，

………11分又点到直线的距离，设，则，.

……………………14分（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）20.已知某企业的近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．月份x1234利润y（单位：百万元）4466相关公式：==，=﹣x．参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数，的值，代入回归方程即可．【解答】解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．…（2）第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28（百万元），…第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31（百万元），…第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41百万元），…所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．…（3）∵，，1×4+2×4+3×6+4×6=54，∴，…∴，…∴，…当x=8时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．…21.已知抛物线的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1,F2为焦点的椭圆C过点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点，过点F2作直线与椭圆C交于A,B两点，且，若的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，设椭圆的标准方程为，则

③

④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为

（Ⅱ）方法一：容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为将直线的方程代入中得：.设，则由根与系数的关系，可得：

⑤

⑥

因为，所以，且.将⑤式平方除以⑥式，得：由所以

因为，所以，又，所以，故，令，所以

所以，即，所以.而，所以.

所以.

方法二：1）当直线的斜率不存在时，即时，，，又，所以

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为由得

设，显然，则由根与系数的关系，可得：，

⑤

⑥因为，所以，且.将⑤式平方除以⑥式得：由得即故，解得

因为，所以，又，故令，因为

所以，即，所以.所以

综上所述：.

略22.某公司采用招考的方式引进人才，规定考生必须在B、C、D三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用．已知考生在每个测试点的测试结果只有合格与不合格两种，且在每个测试点的测试结果互不影响．若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点B、C、D测试合格的概率分别为，，，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是．（Ⅰ）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（Ⅱ）假设小李选择测试点B、C进行测试，小王选择测试点B、D进行测试，记ξ为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，已知．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）测试点测试参加面试的概率，由概率的大小得答案；（Ⅱ）记小李在测试点B、C合格为事件B、C，小王在测试点B、D合格为事件B1、D1，由题意得到，求出ξ的所有取值，然后利用相互独立事件和定理重复试验求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）设考生小李在B，C，D各测试点测试合格记为事件B、C、D，且各事件相互独立，由题意，．若选择在B、C测