新同步学案数学必修第一册版

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课时学案5.4.3

正切函数的性质与图象π2kπ－

，kπ＋π2

(k∈Z)单调递增

kπ答：

2

，0，k∈Z.22

π

π2．正切函数在每一个区间

kπ－

，kπ＋

，k∈Z上都是单调递增的，所以在整个定义域内也是单调函数，正确吗？答：不正确．3．y＝Atan(ωx＋θ)的周期是什么？y＝A|tan(ωx＋φ)|的周期是什么？答：T1＝|ω|π

π|ω|.T2＝

.4．类似于“五点法”作图，正切函数图象可用“三点两线法”，“三点两线”指的是什么？

4

答：三点为(kπ，0)，kπ＋π，1

，kπ－

4π

，－1

，k∈Z，函数图象在2kπ－

，kπ＋

π

π2

，k∈Z，内单调递增，两线为x＝kπ＋，x＝kπ－π

π2

2(k∈Z)．课时学案A【解析】方法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较．方法二：当x＝2π时，tan(

×

－

)＝0，排除C、D.1

2π

π3

2

3

3当x＝5π时，tan(

×

－

)＝tan

，无意义，排除B.故选A.1

5π

π

π3

2

3

3

2探究1

解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法：作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案．性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案．Dπ

π【解析】

y＝tan(－x)＝－tan

x在(－

2

，

2

)上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.题型二

正切函数的定义域、周期性、奇偶性、对称性例2

1

π(1)函数y＝－2＋tan2x＋3

的定义域是()A.|53π3x

2kπ－

π<x<2kπ＋

，k∈ZB.

|π53

3x

2kπ－

<x<2kπ＋

π，k∈ZC.

x|5kπ－

ππ6

6<x<kπ＋

，k∈ZD.

|π56

6x

kπ－

<x<kπ＋

π，k∈ZA2π【解析】

由－

＋kπ<2x3

21

＋π<π＋kπ，k∈Z5π，解得－3π＋2kπ<x<3＋2kπ，k∈Z.53π3即函数定义域为x|

2kπ－

π<x<2kπ＋

，k∈Z.6

(2)函数f(x)＝tan－4x＋π的最小正周期为()πA.

4πB.2C．πD．2πA【解析】π函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝

|ω|

，直接利用公式，可π

π得T＝|－4|＝

4

.(3)函数f(x)＝sinx＋tan

x(

A

)A．是奇函数

C．是非奇非偶函数B．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数π2【解析】

f(x)的定义域为

x|

x≠

＋kπ，k∈Z

，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin

x－tan

x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)函数y＝tanπ2x＋3

的图象的一个对称中心为()

6

π

A.

，0

4

π

B.

，0π

C.

，0

3

π

D.

2，0Cπ

kπ【解析】

令2x＋

3＝

2

，k∈Z，π

kπ

π得x＝－

6＋

4

，k∈Z，当k＝2时，x＝

3

，

3

π

所以函数图象的一个对称中心为

，0.π探究2

(1)求y＝Atan(ωx＋φ)＋B的定义域的方法：由ωx＋φ≠kπ＋

2

，k∈π

πZ或kπ－2

<ωx＋φ<kπ＋2

，k∈Z得到．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略：π①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|ω|，常常利用此公式来求周期．②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．关于正切函数的对称性：

kπ只有对称中心

2

，0，k∈Z，没有对称轴．思考题2

(1)函数y＝tan1x＋π的定义域是(2 4

)π2A.x|

x≠2kπ＋

，k∈Z

π2B.x|

x≠4kπ＋

，k∈ZC.x|

x≠＋

，k∈Zπkπ

π2

8

8

D.x|

x≠kπ＋

，k∈ZA【解析】令1x＋π≠kπ＋π(k∈Z)，解得x≠2kπ＋π(k∈Z)，故函数的2

4

2

2π2定义域为x|

x≠2kπ＋

，k∈Z.(2)判断下列函数的奇偶性．tan2x－tan

x1－tan

x①y＝

； tan

x

②y＝1＋cosx.【解析】

①要使函数y＝tan2x－tan

x1－tanx有意义，必须使x≠kππ＋

2（k∈Z），tan

x≠1，π

π得x≠kπ＋2

，且x≠kπ＋4

(k∈Z)，即定义域为|π2x

x≠kπ＋

，且π4x≠kπ＋

，k∈Z，∵定义域不关于原点对称，∴函数y＝tan2x－tan

x1－tanx既不是奇函数，也不是偶函数．1＋cos

x2②要使函数y＝

tan

x

有意义，必须使x≠kπ＋

π

，k∈Z，且1＋cos x≠π0，即x≠kπ＋2

且x≠(2k＋1)π，k∈Z，∴函数y＝tan

x1＋cos

x的定义域关于原点对称，

tan（－x）

－tanx

又∵f(－x)＝1＋cos（－x

＝

＋）

1 cos

x＝－f(x)，∴函数y＝tan

x1＋cos

x为奇函数．

ππ(3)若函数y＝3tanωx＋6

的最小正周期是2

，则ω＝．±2|π

π【解析】

依题意有T＝|ω

＝

2，∴|ω|＝2，∴ω＝±2.

π(4)y＝tanx＋3

的对称中心为．kπ

π

2

－

3

，0(k∈Z)π

kπ

kπ

π【解析】

令x＋

3＝

2

(k∈Z)，∴x＝

2

－

3

(k∈Z)．

kπ

π∴对称中心为

2

－3，0(k∈Z)．题型三

正切函数的单调性及其应用例3

(1)求函数y＝tan2x

－π的单调区间．3

【解析】

2

2

π

π

∵y＝tan

x在－

＋kπ， ＋kπ(k∈Z)上是增函数，π π

π∴－

2

＋kπ<2x－

3

<

2

＋kπ(k∈Z)，π

kπ

5π

kπ即－12＋

2

<x<

12＋

2

(k∈Z)．

∴函数y＝tan2x－

312

2

12

2π

的单调递增区间是(－π＋kπ，5π＋kπ)(k∈Z)，无单调递减区间．(2)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：①tan2π

7

<

tan10π

7；②tan6π513πtan－

5

.<【解析】①tan10π

73π

2π

3π

π＝tan

7

，且0<

7

<

7

<

2，又y＝tan

x在

0，π2

上单调递增，2π

3π

2π所以tan

7

<tan

7

，即tan

7

<tan10π

7.5

5②tan

6π＝tan

π，tan

－13π552π＝tan

，π

2π

π因为0<5<

5

<

2，

π又y＝tan

x在0，2上单调递增，5

5π

2π

6π所以tan

<tan

，则tan5

<tan－13π5.(3)函数y＝

π1－tanx＋

4

的定义域为

．3πx|

－

4

＋kπ<x≤kπ，k∈Z探究3

(1)运用正切函数单调性比较大小的方法：①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法：πy＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－2

＋kππ<ωx＋φ<

2

＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．思考题3(1)求函数y＝3tan

6π－x4的单调递减区间．【解析】y＝3tan

6π－x

x－π4＝－3tan4 6.xπ

ππ由kπ－2

<4－6

<kπ＋2

，k∈Z，4π

8π得4kπ－

3

<x<4kπ＋

3

，k∈Z，

6

4π

∴y＝3tan

－x的单调递减区间为(4k4π

8ππ－

3

，4kπ＋

3

)，k∈Z.(2)下列各式中正确的是(CA．tan

1>－tan

2)B．tan

735°>tan

800°C．tan

6π>tan

4π7

7D．tan

9π>tan

π8

7【解析】

由三角函数的单调性和性质可得，π－tan

2＝tan(π－2)，而0<1<π－2<2

，所以tan

1<－tan

2，A错误；tan735°＝tan(735°－720°)＝tan

15°，tan800°＝tan(800°－720°)＝tan

80°，tan15°<tan80°，故tan

735°<tan

800°，B错误；26

6

4π

4∵

<7π<7π<π，∴tan

7π>tan

7π，C正确；tan

9π

π

π8π＝tan(π＋8

)＝tan

8

<tan

7

，D错误．故选C.π

π(3)x∈(－2

，2

)，使|tan

x|≥3成立的x的取值范围是2

3

3 2

．π

π

π

π(－

，－

]∪[

，

)【解析】

由|tanx|≥

3可得tan

x≥

3或tanx≤－

3，若tan

x≥π

π3，则3≤x<2，若tan

x≤－π

π3，则－2

<x≤－3

，π

π

π

π所以不等式解集为(－2，－3]∪[3，2

)．课后巩固

π1．函数y＝2tan3x＋4

的最小正周期是()A.π6πB.

3πC.2D.2π3Bπ解析

T＝

3

.故选B.

4

π

2．函数y＝tan

＋x的定义域是()π4A.x|

x≠

，x