证明极限的几种方法

证明极限的几种方法丹东十中于君伟极限证明的方法有许多种，包括：极限定义、极限的性质、迫敛定理、单调有界准则、两个重要极限、洛必塔法则、泰勒公式、无穷小量、定积分定义、不动点原理、导数定义、积分中值定理、区间套定理、逆推关系及斯锋兹定理等。既然证明极限有如此多的方法，那么，我们是否对每个方法都理解得透彻呢？本文针对这一点，列举了四种极限证明的方法：1.利用极限定义；2.利用夹逼定理；3.利用洛必塔法则；4.利用定积分定义。一、利用极限的定义：下面是数列与函数极限定义的对照表记号任给当自变量变到有关系式结论Limx=anTs£>0n>Nx-a<£当n—8时，｛x｝的极限为aLimf(x)=xTx0A£>00<x-x0<8If(x)-a|<£当xTx0时，f(x)以A为极限Limf(x)=xTsA£>0x>NIf(x)-A<£当xT8时，f(x)以A为极限Limf(x)=xT+8A£>0x>NIf(x)-A|<£当xT+8时，f(x)以A为极限Limf(x)=A£>0x<-Nf(x)―A<£当xT-8时，f(x)以A为极限XT-8根据极限定义，我们可以知道无论是“£-N”定义，还是“£一8”定义，对于£都有任意性，它强调。或f(x)超过极限A的程度，但N与6则强调的是存在性，只需找到即可，也就是能够找到某N(8)［或6(e)］，当n>N(e)［或0<X-x|<6(£)］时，满足|x-a\<£［或f(x)—A|<£］即可。那么，我们通常可以把证明某个极限问题归结为三类：〈1〉直接法；〈2〉解析法；〈3〉定量法。〈1〉直接法：在证明过程中除最后下结论外，中间不允许出现不等式f(X)一a<£［或x一a<e］。例1.用“£一8”定义证明：Lim上竺=213x+1XT-3分析：关系式If(x分析：关系式If(x)-A|=3x-(-1)比较简单，可以采用直接法。〈证〉：f(x)一A|二1-9x2 一23x+1|3x+1|—3尤—(—3)对ve>0，取5=-3则当。<卜-(-卜时’有不等式1—9X2

3%+1—2v1—9X2

3%+1—2v-成立。所以，Lim上竺=213x+1XT—3〈2〉分析法：先假定|f(%)—A|v-［或％-a|v-6［或N或X］。n例2.用“-—N”定义证明：Lim^^=0n2—4_v-，找到N显然比较麻烦，因此，采用解析n2—4工适当放大。n2—4nLimnT8分析：直接从不等式X-a\=n法时，应先对％一a\=〈证〉：|气-。|=———0=n2—4对v->0，要使优n1或］成立，然后通过解不等式找到v-^=上(n>3时)n2—4n2—nn—1-。|<-，只要<-或n>-+1n—1 -取正整数NN1+1(为保证放大后的关系式成立，不妨设NN3)，则-n>N时，有不等式所以，Lim—^=0n*n2—4注意：1).解析法的书写格式中“要使”、“只要”、“即”等字句不能省略。2).对％-a|只能放大，不能省略。〈3〉定量法：在比较复杂的关系式不易放大时，可先设|x-XI<e［或n>N0,这里e°与N。为常数］，然后再放大，找到8,L或n')，取&=min(e,8,｝［或N=max｛n,N，｝］。例3.用七一8”定义证明：顷二=412尤+1 3分析：关系式1/(X)-AI=|史±习.X-2比较复杂，需要先适当放大，变成小-2|的3(x+1)|1 1形式，其中a是常数。由于极限问题是在％=2的邻域内考虑，不妨设X-2\<1(也可以设X-2\<1等)，利用不等式，便能放大|/(x)-A|。2〈证〉:/(x〈证〉:/(x)-A|3x+23(x+1)lX一213X+2

3(x+1)因为XT2，不妨设X-3X+2

3(x+1)3X+2.,X一2= KlX一2<lX一213(X+1)对Vs>0，要使I/(X)-A|<£,只要X-2|<s，取8=min{1,s}则当0<|x-2|<8时，不等式-X+_-3<s成立。因此，Lim==4XT2X+1 3注意：1)只取8=s，这样的8不一定满足X-2|<1这个前提。例如：取s=2，从0<|x-2|<2就不能得出|x-2|<1。2)定量法可以看作是解析法的延伸。二・利用夹逼定理夹逼定理：若数列｛xj/yj/zj第3页满足：（1）ynWxnWzn（n=1,2,3,…）；（2）Limy=a,Limz=a，则数列｛xj的极限在，ns ns且Limx=anT8n（这一准则可以推广到函数的情形，略）根据夹逼定理，可以归结两种证明某个极限的方法：〈1〉“一边挤”〈2〉“两边挤”⑴“一边挤”：如果由已知看出xn>a［或f（x）>a］,要证明气-a（n乎）［或,[或g(x)>f(x)]=0即可。f(x)—a,(x—x。)],那么，只需找到yn>xn证明Limy=a[或Limg(x)=a[或g(x)>f(x)]=0即可。nsn xTx0例4.设0<a<1,试证：Lim[(n+1)«-na]=0ns分析：因(n+1)a-na>0，则只要找到y>(n+1)a-na，且Limyn ns〈证〉：因为0<(n+1)a—na=na[(1+—)a—1]<na[(1+—)—1]=n n n1—a(这里y=L)n n1-a而-1_t0(nT8)即Limyn=0所以，由夹逼定理知，Lim[(n+1)a—na]=0nsnnLimx=A。nsn〈2〉“两边挤”：nnLimx=A。nsnLimy=Limz=A时，nsn nsn例5.例5.设sq（还—1），试证:k=1LimsnnT8〈证〉：因为■k'k■k[：1+——-1=,n2G,'1+———1)(■k[：1+——-1=,n2In2v n2k"掠+1

k=ni «~~k1\+云+kn\n2+k+n2kn(\n2+k+n)所以’n(32+n+n)7+三一1-〃(、"2\+n)Ek £k即 k-1 <S< k-1 n(\；n2+n+n) nn(\n2+n+n)n(n+1) n(n+1)n(tn2+n+n)nn(<n2+1+n)1+—TOC\o"1-5"\h\z由于 n(n+1) n1由于Lim =Lim = =—n*n(tn2+n+n)n.s*"+1+» 4n(n(n+1)_14+1)_14+1)n2Lim 2 =Lim nI Insn(wn2+1+n) ns2(i»+1所以，由夹逼定理，知:Limsns三.利用洛比塔法则：法则一(“0”型未定式的求法)0如果：(1)Limf(x)=0,Limg(x)=0；x—a x^a(2)在a点的邻域内(a可除外)，f(",g(x)，存在，且g("丰

0(3)LimW存在或为无穷大;x-ag'(x)则：LimQ=Lim华x—ag(x) x—ag'(x)法则二（“丝”型未定式的求法）8若：（1）Limf（x）=8,Limg（x）=8；x—a x—a（2），（3）同法则一;则：Lim^xl=Lim*x—ag(x) x—ag'(x)※在使用法则一、法则二时应注意以下几点：（1）只有未定式“0”和“8”才能直接使用法则。使用法则前对求极0 8限的函数严格判断，在连续使用过程中，亦需不断判别，若作到某步不再属于上面两类未定式，应停止使用。（2）除以上两种未定式外，还有“8—8”、“0.8”、“00”、“80”和“18”型，它们不能直接使用法则。但前两类可通过四则运算转化成“0”或“8”08型，后三类可利用对数求极限法，先化成“0.8”型。例6.求证：Limx一泗x=1x—0x-xcosx3〈一〉］0（注：仍是“00（注：仍是“〈一〉］0（注：仍是“00（注：仍是“0型）型）—x-sinx,. 1-cosxLim =Lim x—0x-xcosx x—01-cosx+xsinxsinx=Lim x—02sinx+xcosxcosx-Lim :一（注：不再是未定式，应停止使用法则）x—03cosx-xsinx13x1-0=13（注意：易犯的错误是最后一步不加判断继续使用法则）。

例7.例7.求证:兀ln(-tg-x)ii+0lnctgnx〈证〉：它属于“竺”型未定式。［法则二］8冗ln(—tgsx)

Lim x*0lnctgnx—sec2-x•-,1 2 2-g2（注：应化简再做下去）=Lim―12 （注：应化简再做下去）x^1+0 (—csc2x)ictglx-1. coslx-sinlx=——Lim x-1+0cos—x-sin—x2 2（注：分子、分母是简单乘积关系，各有一个因式的极限值不等于零，可先计算出来，简化运算）.眉才二1 sin眉才二1 sinlx原式=_Lim 211+0cos生x2、…0"（注：属于“°”型）,.兀cos兀x（注：不再是未定式，应停止使用法则）—Li~^m （注：不再是未定式，应停止使用法则）x-1+0—1sin兰x2 2=1(—2)cos1=12sin—2四.利用定积分定义:f(―)+/(―)+ +/(―).形式<1>：Lim n 土型ns如果f（x）在［0,1］上可积，f(—)+f(—)+ +f(—)则Lim n J=j1f(x)dxn—8 n 0下面给予证明:

〈证〉：在区间［0,1］上n-1等分，则每一个分点为x...,x.=i…x=旦(其中IWiWn)因为0v1<2v...Vnnnn所以，Ax=-—-~==Ax(n—8,Ax—0)innn贝V|们|=max{Ax}=—inTOC\o"1-5"\h\zf(L)+f(2)+•••+f(n) .又因为Lim一n n 土=Lim乎1f(-)=Limf(x)-Axn—8 n n—8i=1nn Ax—0 ‘・.・f(x)在[0,1]上可积「・由定积分定义，可知Limf(x)-Ax=j1f(x)dxAx—0 1 0因此，上述命题成立。形式〈2〉：Limnf(上)f(2)f((n)=epx[f1lnf(x)dx]型n—8 nn n 0如果f(x)在［0,1〕上可积，则:Limns(2)…f(n)=epx[f1lnf(x)dx则:Limns0下面给予证明:[01］[01］上n-1等分，分点为n—1 n(其中IWiWn)因为0<—<-<...<—<...<—所以，Ax=x—x=i—上1=1=Axii i—1 nnn们们|=max{Ax.}=—Ax—0,|四—0)又因为Lim'f(写f(2)...f(n)n—8 nn n=epx[inLmTf(1f弓…f(n)】=epx[Limin'f(i)f(-)-f(n)]…1'nnn=epx{Lim\^nf(-)+Inf(2)+…+Inf(-)]•-}…nn nnTOC\o"1-5"\h\z=epx[Lim不Inf(L)•Ax]zi=i n・.・f(x)在［0,1］上可积「・由定积分定义可得:epx[LimXlnf(x)-Ax]=epx[f1Inf(x)dx]或T°i=1 i 0因此，上述命题得证。既然上述两命题都为真，则以后可把它们当作定理使用，可以给我们带来方便。针对此方法的应用，略举一些例子。12 n—+—+•..一例8.证明：Limnn nnT8 n 2〈证〉：令f(x)=x,f(x)在[0，1]上可积应用形式〈一〉：f击+f(2)+•-+f(n)应用形式〈一〉：Lim——n n =f1f(x)dxns n 01+2*n有：Limn——n n=f1xdx=—nT8 n 0 2此题得证。例9.证明：Lim^=e-1nns〈