矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂-课件

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交换第i行与第j行记为rirj。15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。

(1)交换矩阵的两行；

(2)以数k0乘矩阵的某一行；

(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。例如下页一.矩阵的初等变换第四节矩阵的初等变换与矩阵的秩

定义1

对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。

(1)交换矩阵的两行；

(2)以数k0乘矩阵的某一行；

(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。

用数k乘以第i行记为rik。15-1-11-2131-93738-11r24———44-8121-15-113-973-181例如下页一.矩阵的初等变换一.矩阵的初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。

(1)交换矩阵的两行；

(2)以数k0乘矩阵的某一行；

(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。

第j行的k倍加到第i行记为ri+krj。15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页-113-1一.矩阵的初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。

(1)交换矩阵的两列；

(2)以数k0乘矩阵的某一列；

(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。

交换第i列与第j列记为cicj。15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页一.矩阵的初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。

(1)交换矩阵的两列；

(2)以数k0乘矩阵的某一列；

(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。

用数k乘以第i列记为cik。15-1-11-2131-93738-11c34———-4412-415-11-231-97381例如下页一.矩阵的初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。

(1)交换矩阵的两列；

(2)以数k0乘矩阵的某一列；

(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。

第j列的k倍加到第i列记为ci+kcj。15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页若矩阵A经过初等行变换后变为B,用AB表示,并称矩阵A与B是行等价的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作列等价，记作二、矩阵之间的等价关系有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法 ＋数乘矩阵、矩阵乘法 ×矩阵的转置 T（上标）方阵的行列式 |∙|不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换10三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵（1）阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵①零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方②所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的“列标”随着“行标”的增大而严格增大。下页行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.例A为阶梯形矩阵，B不是阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.（2）行简化阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵①每个非零行的首元为1②首元所在的“列”除首元以外，其余元素均为零。例为行简化阶梯形矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）下页首页r2-2r1r3+3r1A=12-301210-5——10101-202-2r3-2r1——10101-2002r30.5——10101-2001r1-r3——100010001r2+2r3例1．用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形例2．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形解：一系列初等行变换=B为阶梯形矩阵（不唯一）一系列初等行变换=C为行简化阶梯形矩阵（唯一）解：113102-141-1410005A=020-20-10104501001010-1000000541001010-1005400001001

例3．将矩阵113102-141-1410005A=化为（1）阶梯形（2）行简化阶梯形=B为阶梯形矩阵B1001010-10014/50000=C为行简化阶梯形矩阵下页行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.（3）标准形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：

定义2

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。=I(2,4)

例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I=0001100000100100r2r4———=I(2,4)

1000010000100001I=0001100000100100c2c4———下页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：

定义2

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。=I(3(4))

例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I=0040100001000001r34———=I(3(4))

1000010000100001I=0040100010000001c34———下页四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：

定义2

对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有下列三种：I(i,j)、I(i(k))、I(i,j(k))。=I(2,4(k))

例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001I=010k100000100001r2+kr4———=I(2,4(k))1000010000100001I=1000100010000k01c4+kc2———下页容易验证：初等矩阵的可逆性：首页I(i,j(k))-1=I(i,j(-k))

。I(i(k))-1=I(i(k-1))，

I(i,j)-1=I(i,j)，

这是因为

I(i,j)I(i,j)=I，

I(i(k-1))I(i(k))=I

，

I(i,j(-k))I(i,j(k))=I

。

（1）

|I(i,j)|=-1，（2）|I(i(k))|=k，（3）|I(i,j(k))|=

1，因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：1-12

定理1

设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

例如，设3011-12011A=，有I(1,2)A=3011-12011010100001=011301与交换A的第一行与第二行所得结果相同。下页五、初等变换与矩阵乘法的关系r1r2=B

=B

0-110101000011-12

定理1

设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。

例如，设3011-12011A=，有I(1,2)A=3011-12011010100001=011301与交换A的第一列与第二列所得结果相同。AI(1,2)=3011-12011=121310，下页五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：=B

323定理1

设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。I(1,3(2))A=3011-12011102010001=0111-12请与对矩阵A进行行变换结果相对照。

例如，设3011-12011A=，有=B

=B

下页r1+2r3310102010001323定理1

设A是一个mn矩阵。对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。I(1,3(2))A=3011-12011102010001=0111-12AI(1,3(2))=3011-12011=7410-11。请与对矩阵A进行列变换结果相对照。

例如，设3011-12011A=，有下页=B

定理1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.六、用初等行变换求逆矩阵定理2：任何一个矩阵A一系列初等行变换阶梯形矩阵B（不唯一）一系列初等行变换行简化阶梯形矩阵C（唯一）

定理3

任意一个矩阵Amn=(aij

)mn经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵D：D=。Or(n-r)O(m-r)(n-r)O(m-r)r

Ir

矩阵D称为矩阵A的标准型。下页例4．用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形解：一系列初等行变换一系列初等行变换=C为行简化阶梯形矩阵（唯一）一系列初等列变换六、用初等行变换求逆矩阵

定理3

任意一个矩阵Amn=(aij)mn经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵D：定理4

如果A为n阶可逆矩阵，则A的标准型为D=I

n。D=。Or(n-r)O(m-r)(n-r)O(m-r)r

Ir

矩阵D称为矩阵A的标准型。

证明：因为矩阵A经过若干次初等变换，可以化为标准型矩阵D，所以存在初等矩阵P1，，Ps，Q1，，Qt

，使

P1Ps

AQ1Qt

=D，因此|P1

|

|Ps||A||

Q1||Qt|=|D|，又因为P1，，Ps，A,

Q1，，Qt

都可逆，它们的行列式都不等于零，所以|D|0，从而只有D=I

n。下页查看例题

定理5

n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。证明：充分性是显然的，只需证必要性。若A可逆，则经若干次初等变换可化为I，也就是存在初等矩阵P1，，Ps，Q1，，Qt，使即A可以表示为一些初等矩阵的乘积。=Ps-1P1-1Qt-1

Q1-1，=Ps-1P1-1IQt-1

Q1-1于是A

P1PsAQ1

Qt=I，下页

如果A可逆，则A-1也可逆，所以存在初等矩阵

P1，P2，，Ps，使A-1=P1P2

Ps

，那么有A-1A=P1P2

Ps

A，即I=P1P2

Ps

A，又A-1=P1P2

Ps

I，所以对A的行施以若干次初等变换化为I，对I的行施以同样的初等变换化为A-1，

若矩阵A可逆，则矩阵(A|I)经初等行变换可化为(I|

A-1)。

定理5

n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。求逆矩阵的初等行变换法：注意：只有A能化为I时，A才可逆。下页即(A|I)(I|

A-1)初等行变换A=的逆矩阵。例5．求矩阵12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-110027-21—r2+r3r1-0.5r3—100-2.51-0.50105-110013.5-10.5，-2.553.51-1-1-0.510.5A-1=。(A|I)=r30.5若矩阵A可逆，则矩阵(A|I)经初等行变换可化为(I|

A-1)。下页

解例6

若矩阵A可逆，则矩阵(A|I)经初等行变换可化为(I|

A-1)。注意：（1）(A|I)→(I|

A-1)只能进行初等行变换（2）只有A能化为I时，A才可逆。若A化为有一行的元素全为0，则A不可逆。(3)同样的道理也可对A能进行初等列变换求A-1。方法为：例7：已知下页即初等行变换六、用初等变换解矩阵方程39六、用初等变换解矩阵方程例6：设AXB，如A可逆。则XA-1B∵A可逆，则A-1也可逆，所以存在初等矩阵

P1，P2，，Ps，

使A-1=P1P2

Ps

，∴A-1A=P1P2

Ps

A，即I=P1P2

Ps

A，又XA-1B∴XA-1B=P1P2

Ps

B

，所以对A的行施以若干次初等变换化为I，对B的行施以同样的初等变换化为XA-1B，若矩阵A可逆，则矩阵(A|B)经初等行变换可化为(I|

A-1B)。结束即(A|B)(I|

A-1B)初等行变换例7解

解矩阵方程例8：

解矩阵方程求X

解

解法有多种

（1）先求

（2）例9．解线性方程组七、矩阵的秩

定义3

设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m,n))，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。1.k阶子式：

例如，已知矩阵242110352231A=。

选定第1、3两行及第2、4两列，1032得2阶子式。下页

定义3

设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m,n))，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。1k阶子式：

例如，已知矩阵242110352231A=。

选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式。242231352下页五、矩阵的秩注意：（1）A中每个元aij素都是A的子式；（3）如果A中所有的r阶子式都等于零，则A中的所有r+1阶子式也都等于零

定义4

设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩(A)=r或r(A)=r。当A=O时，规定r(A)=0。2、矩阵的秩：下页矩阵A

的秩就是A

中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A

中有某个s

阶子式不等于零，则R(A)≥s； 若矩阵A

中所有t

阶子式等于零，则R(A)<t

．若

A为n阶矩阵，则A的n

阶子式只有一个，即|A|． 当|A|≠0时，R(A)=n;

可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．

当|A|=0时，R(A)<n;

不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．

例如，所以r(A)=3。定义4设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩(A)=r或r(A)=r。当A=O时，规定r(A)=0。2、矩阵的秩：：100210010301已知A=，B=，100210r(B)=2；r(C)=3。C=，100001110100210301=10，因为

又如下页例１求矩阵的秩解：≠０而所有三阶子式全为零∴此矩阵的秩为２r(A)=2例2：求矩阵A

和B

的秩，其中解：在

A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例2：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？例2：求矩阵A

和B

的秩，其中解（续）：B

还有其它

3

阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．3。矩阵秩的计算定理6

矩阵经初等变换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系即若一个矩阵A一系列初等变换B,则r(A)=r(B)（2）.阶梯形矩阵的秩例为阶梯形∴A的秩为3，即r(A)=3结论：阶梯形矩阵的秩=它的非零行个数提问：一个阶梯形矩阵A的秩与它的非零行有什么关系？下页3矩阵秩的计算定理6

矩阵经初等变换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系即若一个矩阵A一系列初等变换B,则r(A)=r(B)（2）.阶梯形矩阵的秩结论：阶梯形矩阵的秩=它的非零行个数求矩阵秩的步骤：（3）初等变换法求秩①A一系列初等变换阶梯形矩阵B

（不唯一）②r(A)=r(B)=B的非零行个数3、矩阵秩的计算

定理6

矩阵经初等变换后，其秩不变。

解：=B

，∵r(B)=B的非零行个数=3。113102-141-1410005A=020-20-10104501001010-1000000541001010-1005400001001

例3．求矩阵的秩。113102-141-1410005A=∴r(A)=r(B)=3下页12313