2020年中考数学总复习：三角形及其全等课件

2020年中考数学总复习三角形及其全等2020年中考数学总复习1考点一三角形的相关概念与性质中考真题1.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于

点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于

DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是

()A.1

B.

C.2

D.

答案

C由作图可知AF是∠BAC的平分线,∵∠B=90°,BG=1,∴点G到AC的距离等于1,∴△ACG的面积是

×1×4=2.故选C.思路分析先判断AF是∠BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距

离,最后根据三角形面积公式求解即可.考点一三角形的相关概念与性质中考真题1.(2019内蒙古包22.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于

AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为

()

A.2

B.4

C.3

D.

答案

A连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,∴AF=CF,AB=CB,易得∠1=∠2,∵

AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=AF,∴BC=CF=AF=3,∴FD=AD-AF=1.在Rt△DCF中,由勾股定理得

CD=

=2

,故选A.

2.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,AD33.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别

以点B,D为圆心,大于

BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度是

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D由作图叙述可知CE⊥AB,∵AE=2,BE=1,∴AB=AC=3,在Rt△ACE中,CE=

=

,故选D.3.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在△ABC中,AB=44.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=

AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为

()A.17.5°

B.12.5°

C.12°

D.10°答案

D∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=180°-(∠C+∠BAC)=35°,∴∠C=35°.∵∠DAE=90°,AD=AE,∴∠AED=∠ADE=45°,∴∠EDC=∠AED-∠C=45°-35°=10°.故选D.4.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在△ABC中,AB55.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线

段是

()

A.线段DE

B.线段BE

C.线段EF

D.线段FG答案

B连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线

段DE、EF、FG都不经过△ABC的顶点,仅有线段BE经过△ABC的顶点B,所以线段BE是△ABC的中线,故

选B.5.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在△ABC中有四条线66.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,

∠C=25°,则∠BAD为

()A.50°

B.70°

C.75°

D.80°答案

B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠ADC=180°-(25°+25°)=130°.因为∠ADC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130°-60°=70°,故选B.6.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在△ABC中,直线D77.(2017吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是

()

A.70°

B.44°

C.34°

D.24°答案

C由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故

选C.7.(2017吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆88.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪

线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是

()

答案

A由勾股定理得正方形的对角线的长是10

,因为10

<15,所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.8.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方99.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个

顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

D①如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则△BCD就是等腰三角形;②如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则△ACE就是等腰三角形;③如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则△BCM、△BCF是等腰三角形;④如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则△ACH就是等腰三角形;⑤如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则△AGB就是等腰三角形;⑥如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI就是等腰三角形.故选D.9.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在Rt△ABC中,1010.(2016河北,16,2分)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边

三角形,则满足上述条件的△PMN有

()A.1个

B.2个

C.3个

D.3个以上答案

D如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则△PCD为等边三角形.在OC,

DB上分别取M,N,使CM=DN,则△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60°,则△PMN为等边

三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.思路分析要寻找等边三角形,可以利用圆规得到等腰三角形,根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三

角形就可以判定其为等边三角形.10.(2016河北,16,2分)如图,∠AOB=120°,11解题关键解决本题的关键是要选择恰当判断等边三角形的方法,另外,本题还可以借助对称性发现等边

三角形一定有无数多个.11.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角

形,则满足条件的点C的个数是

()A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如图,①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0

(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两

个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的

点C有5个,故选A.

解题关键解决本题的关键是要选择恰当判断等边三角形的方法,另1212.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是

()A.BH垂直平分线段AD

B.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AH

D.AB=AD答案

A由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,∴点B、C都在线段AD的垂直平分线

上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.12.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角△ABC,依1313.(2016安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠

PBC.则线段CP长的最小值为

()

A.

B.2

C.

D.

答案

B∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.设AB的中点为O,则P在

以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,∵OB=

AB=3,BC=4,∴OC=

=5,又OP=

AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.13.(2016安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB1414.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则

∠BFC=

()

A.118°

B.119°

C.120°

D.121°答案

C在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠FBC=

∠ABC=21°,∠FCB=

∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.故选C.评析本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.14.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在△ABC中,∠B1515.(2015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列

各值:①线段MN的长;②△PAB的周长;③△PMN的面积;④直线MN,AB之间的距离;⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是

()A.②③

B.②⑤C.①③④

D.④⑤答案

B∵点M,N分别为PA,PB的中点,∴无论点P怎样移动,总有MN=

AB,直线l与直线MN的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以①③④中的值不变.随着点P的移动,点P与点A,B的距离及∠APB的大小发生变

化,故选B.15.(2015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直1616.(2015广西南宁,7,3分)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为

()

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°答案

A∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠C=

∠ADB=35°.故选A.16.(2015广西南宁,7,3分)如图,在△ABC中,AB1717.(2019辽宁大连,13,3分)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为

.答案2

解析∵△ABC是等边三角形,AB=2,∴BC=CA=AB=2,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°.∵CA=CD=2,∴∠CAD=∠D,BD=CB+CD=4,∵∠ACB=∠CAD+∠D,∴2∠D=∠ACB=60°,∴∠D=60°×

=30°,∴∠BAD=180°-∠B-∠D=180°-60°-30°=90°.在Rt△ABD中,AD=

=

=2

,故答案为2

.17.(2019辽宁大连,13,3分)如图,△ABC是等边三1818.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已

知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,△OAB的面积为

,则△OAB内部(不含边界)的整点的个数为

.答案4或5或6解析∵A(5,0),S△OAB=

,点B在x轴的上方,∴点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CD∥EF∥OA,∴CD=

OA=

,EF=

OA=

,∴线段CD可以覆盖1个或2个整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,∴△OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.

18.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系1919.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单

位:km).笔直铁路经过A,B两地.

(1)A,B间的距离为

km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为

km.19.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面20答案(1)20(2)13解析(1)由点A和点B的坐标可知,AB∥x轴,A,B间的距离=12-(-8)=20km.(2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12km,

OE=1km,所以CE=18km,设CD=AD=xkm,则DE=(18-x)km,在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解

得x=13,所以C,D间的距离为13km.

思路分析(1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点

为E,易得AE=12km,CE=18km,设CD=AD=xkm,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.解题关键正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.答案(1)20(2)13解析(1)由点A和点B的坐标可2120.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=

AC,则等腰△ABC底角的度数为

.答案15°或45°或75°解析如图,当BA=BC时,∵BD⊥AC,∴AD=CD=

AC,∵BD=

AC,∴AD=BD=CD,20.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰△ABC中,22∴∠A=∠C=

×(180°-90°)=45°.如图,当AB=AC且∠A为锐角时,∵BD=

AC=

AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°.如图,当AB=AC且∠BAC为钝角时,∵BD=

AC=

AB,∴∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ACB=

×30°=15°.同理,当BC=AC时,可求得∠CBA=∠CAB=75°或15°.故答案为15°或45°或75°.方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.∴∠A=∠C= ×(180°-90°)=45°.方法点拨等2321.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB=

,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为

.答案1或9解析分两种情况讨论:①BC边上的高在△ABC内时,如图,过A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∵AB=

,AD=3,∴BD=

=5.在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=3,∴CD=

=4.∴BC=BD+CD=9.②BC边上的高位于△ABC外时,如图,同①可求得BD=5,CD=4,∴BC=1.综上,BC的长为1或9.21.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB= ,AC24思路分析根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.易错警示本题容易只考虑BC边上的高在△ABC内的情况而导致漏解.22.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分

△ABC的周长,则DE的长是

.

思路分析根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形25答案

解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,∵D是AB的中点,∴AD=DB.∵DE平分△ABC的周长,∴AC+CE+AD

=DB+BE,∴AC+CE=BE,∴BE=CF+CE=EF,∴DE是△ABF的中位线,∴DE∥AF,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=12

0°,又AC=CF=1,∴∠FAC=∠AFC=30°,作CH⊥AF,则AH=

AC,所以AF=

AC=

,∴DE=

AF=

.思路分析延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为△ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从

而求得DE的长.解题技巧对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.答案

 解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF2623.(2017陕西,12A,3分)如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为

.

答案64°解析∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠1=

∠ABC,∠2=

∠ACB,又∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴2∠1+2∠2=180°-∠A=128°,∴∠1+∠2=64°.23.(2017陕西,12A,3分)如图,在△ABC中,BD2724.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,

CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为

m.

答案100解析∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位线,∴AB=

MN,∵MN=200m,∴AB=100m.24.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开2825.(2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=

+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'

落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为

.

答案

或1解析

在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)当∠MB'C=90°时,∠B'MC=∠C=45°.设BM=x,则B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=

x,∴

x+x=

+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如图,当∠B'MC=90°时,点B'与点A重合,此时BM=B'M=

BC=

.综上所述,BM的长为1或

.25.(2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠2926.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;(2)求证:△ABC的内角和等于180°;(3)若

=

,求证:△ABC是直角三角形.

26.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在△ABC30解析(1)∠C>∠A+∠B.(2)证明:如图,过点B作直线DE∥AC,∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBE,又∵∠ABD+∠ABC+∠CBE=180°,∴∠A+∠ABC+∠C=180°,∴△ABC的内角和等于180°.(3)证明:原式可变形为

=

,∴(a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,∴a2+c2=b2,∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形.解析(1)∠C>∠A+∠B.(3)证明:原式可变形为 = 31考点二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是

()A.∠A=∠D

B.∠ACB=∠DBCC.AC=DB

D.AB=DC答案

C根据题中已有条件,分别添加∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,

ASA,SAS定理,能推出△ABC≌△DCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定

理,不能推出△ABC≌△DCB,选项C符合题意.故选C.考点二三角形全等1.(2018四川成都,6,3分)如图,已322.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ

的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.

此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角

形全等的依据是

()

A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案

D因为在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),故选D.2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪333.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及其

中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其

中正确的命题的序号为

.答案①②解析等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰

三角形全等,命题①正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS

证得原两三角形全等,命题②正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得

两个直角三角形全等,命题③错误.故正确的命题是①②.3.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:①底344.(2019四川成都,12,4分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为

.

答案9解析∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴CE=BD=9.4.(2019四川成都,12,4分)如图,在△ABC中,AB355.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中:

①∠ABC=∠ADC;②AC与BD互相平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S=

AC·BD.正确的是

.(填写所有正确结论的序号)答案①④5.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,A36解析①在△ABC和△ADC中,

∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC,①正确.②∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,在△ABO和△ADO中,

∴△ABO≌△ADO.同理,△CBO≌△CDO.∴OB=OD,∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠DOC=90°,∴AC⊥BD,AO与OC不一定相等,∴②不正确.③∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,∵∠ABD和∠CBD不一定相等,∴③不正确.④∵AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=

BD·AO+

BD·CO=

BD·(AO+CO)=

AC·BD,④正确.解题关键掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.解析①在△ABC和△ADC中,∵∠ABD和∠CBD不一定相376.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.

证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,∴BF=CE.在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,387.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.

证明本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力,满分8分.∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=CB.在△ADF和△CBE中,

∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE.7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形AB398.(2019河南,17(1),5分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是

上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.求证:△ADF≌△BDG.

证明∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠C=45°.∵AB为半圆O的直径,∴∠ADF=∠BDG=90°.∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.

(3分)∵∠DAF和∠DBG都是

所对的圆周角,∴∠DAF=∠DBG.∴△ADF≌△BDG.

(5分)8.(2019河南,17(1),5分)如图,在△ABC中,B409.(2019河北,23,9分)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°.边AD与边BC交于点P(不与点

B,C重合),点B,E在AD异侧.I为△APC的内心.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,分别直接写出m,n的值.

备用图9.(2019河北,23,9分)如图,△ABC和△ADE中,41解析(1)证明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△ABC≌△ADE.

(3分)∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.∴∠BAD=∠CAE.

(4分)(2)PD=6-x.

(5分)如图,当AD⊥BC时,x最小,PD最大.∵∠B=30°,AB=6,∴x=

AB=

×6=3.∴PD的最大值为3.

(7分)(3)m=105,n=150.

(9分)提示:根据I为△APC的内心可得∠IAC=

∠PAC,∠ACI=

∠ACP,所以∠AIC=180°-

∠PAC-

∠ACP=90°+

∠APC,所以∠AIC的大小取决于∠APC的大小.假设点P与点B重合,此时∠AIC=90°+

∠B=105°,随着点P接近点C,∠APC的最大值接近于120°,假设∠APC=120°,此时∠AIC=90°+

×120°=150°,即105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.思路分析(1)根据SAS可证明△ABC≌△ADE,得出∠BAC=∠DAE,进而可得∠BAD=∠CAE;(2)易得PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(AD⊥BC)时,PD取得最大值;(3)根据I为△APC的内心易知∠AIC=90°+

∠APC,可得∠AIC的大小取决于∠APC的大小.根据30°<∠APC<120°进而确定105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.解析(1)证明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△4210.(2018云南昆明,15,6分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.

证明∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,

(1分)在△ABC和△ADE中,

(3分)∴△ABC≌△ADE(ASA),

(5分)∴BC=DE.

(6分)(其他证法参照此标准给分)10.(2018云南昆明,15,6分)如图,在△ABC和△A4311.(2018陕西,18,5分)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于

点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.证明∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.

(2分)∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG,∴AH=DG,∴AG=DH.

(5分)思路分析首先利用平行线的性质得出∠A=∠D,∠BHA=∠CGD,进而判定△ABH≌△DCG,最后根据全

等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.归纳总结全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理.①

当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.②当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或

一角对边相等.③当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.11.(2018陕西,18,5分)如图,AB∥CD,E、F分4412.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:△ABE≌△BCF.

证明在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C=90°.

(2分)又BE=CF,

(3分)∴△ABE≌△BCF.

(5分)12.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,4513.(2018河北,23,9分)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,

并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.(1)求证:△APM≌△BPN;(2)当MN=2BN时,求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.

13.(2018河北,23,9分)如图,∠A=∠B=50°,46解析(1)证明:∵P为AB中点,∴PA=PB.又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN,∵MN=2BN,∴PN=BN,∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.详解:∵△BPN的外心在该三角形的内部,∴△BPN是锐角三角形,∴∠BPN和∠BNP都为锐角,又∵∠B=50°,∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.思路分析(1)根据ASA可证明:△APM≌△BPN;(2)根据△APM≌△BPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果;(3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据∠BPN和∠BNP都为锐角及∠B=50°可得α的取值范围.解析(1)证明:∵P为AB中点,∴PA=PB.思路分析(4714.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、

BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.图2图1解析(1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.14.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:△ACB和△4815.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,

BF=EC.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.解析(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

(3分)又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.

(5分)(2)AB∥DE,AC∥DF.

(7分)理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.

(9分)15.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直49考点一三角形的相关概念与性质1.(2018北京门头沟一模,1)如图所示,有一条线段是△ABC(AB>AC)的中线,该线段是

()A.线段GH

B.线段ADC.线段AE

D.线段AF答案

B通过观察可知,点D为线段BC的中点,则线段AD符合题意.故选B.考点一三角形的相关概念与性质1.(2018北京门头沟一模,502.(2019北京西城一模,9)如图,在线段AD,AE,AF中,△ABC的高是线段

.

答案

AF解析因为AF⊥BC,所以△ABC的高是线段AF.2.(2019北京西城一模,9)如图,在线段AD,AE,AF513.(2019北京密云一模,9)如图所示的网格是正方形网格,则线段AB和CD的长度关系为:AB

CD(填

“>”“<”或“=”).

答案<解析设网格小正方形的边长为1,由勾股定理可得,AB=

,CD=

,

<

,即AB<CD.3.(2019北京密云一模,9)如图所示的网格是正方形网格,524.(2017北京丰台一模,14)如图,小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上,且小量角器的中心在大量角

器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°,那么在小量角器上对应的度

数为

.(只考虑小于90°的角度)

答案70°解析由题意可知,点P和两个量角器的中心组成一个等腰三角形,所以小量角器上对应的度数为(180°-40°)÷2=70°.4.(2017北京丰台一模,14)如图,小量角器的0°刻度线535.(2018北京海淀一模,19)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接CD,过点B作CD的平行线EF,求证:

BC平分∠ABF.

证明∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=

AB=BD,∴∠ABC=∠DCB.∵DC∥EF,∴∠CBF=∠DCB,∴∠CBF=∠ABC,∴BC平分∠ABF.5.(2018北京海淀一模,19)如图,△ABC中,∠ACB546.(2018北京朝阳一模,19)如图,在△ACB中,AC=BC,AD为△ACB的高线,CE为△ACB的中线.求证:∠DAB=∠ACE.

证明∵AC=BC,CE为△ACB的中线,∴∠CAB=∠B,CE⊥AB,∴∠CAB+∠ACE=90°,∴∠B+∠ACE=90°.∵AD为△ACB的高线,∴∠D=90°,∴∠DAB+∠B=90°,∴∠DAB=∠ACE.6.(2018北京朝阳一模,19)如图,在△ACB中,AC=557.(2018北京平谷一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,EF垂直平分CD,交AC于点E,交BC于

点F,连接DE,求证:DE∥AB.

证明∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵EF垂直平分CD,∴ED=EC,∴∠EDC=∠C,∴∠EDC=∠B,∴DE∥AB.7.(2018北京平谷一模,19)如图,在△ABC中,AB=568.(2017北京西城一模,20)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB的延长线于点E,连接CE.求证:∠BCE=∠A+∠ACB.证明∵DE垂直平分BC,∴BE=CE.∴∠BCE=∠CBE.∵∠CBE=∠A+∠ACB,∴∠BCE=∠A+∠ACB.8.(2017北京西城一模,20)如图,在△ABC中,BC的579.(2017北京朝阳二模,20)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点

E.求证:CE=AB.

证明∵AB=AC,AD是BC边上的高,∴AD也是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠CAE.∵CE∥AB,∴∠E=∠BAE,∴∠E=∠CAE,∴CE=AC.∵AB=AC,∴CE=AB.9.(2017北京朝阳二模,20)如图,在△ABC中,AB=58考点二全等三角形1.(2019北京平谷一模,12)如图,在△ABC中,射线AD交BC于点D,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,请补充一个条件,

使△BED≌△CFD,你补充的条件是

(填出一个即可).

答案答案不唯一,如BD=DC解析由已知条件可知∠BDE=∠CDF,∠BED=∠CFD=90°,所以只需要添加一对边相等的条件,如BD=CD,

答案不唯一.考点二全等三角形1.(2019北京平谷一模,12)如图,在592.(2018北京丰台二模,19)如图,E,C是线段BF上的两点,BE=FC,AB∥DE,∠A=∠D,AC=6,求DF的长.

解析∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF.∵BE=FC,∴BE+EC=FC+EC,∴BC=EF.又∵∠A=∠D,∴△ABC≌△DEF,∴AC=DF.又∵AC=6,∴DF=6.2.(2018北京丰台二模,19)如图,E,C是线段BF上的603.(2018北京丰台一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE

=DF.证明连接AD.∵AB=AC,D是BC边的中点,∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADB=∠ADC=90°,又AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,即AD为∠BAC的平分线.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.3.(2018北京丰台一模,19)如图,在△ABC中,AB=614.(2017北京海淀一模,19)如图,在△ABC中,D,E是BC边上两点,AD=AE,∠BAD=∠CAE.求证:AB=AC.证明证法一:∵AD=AE,∴∠1=∠2.∵∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAE,∴∠B+∠BAD=∠C+∠CAE.∵∠BAD=∠CAE,∴∠B=∠C.∴AB=AC.证法二:∵AD=AE,∴∠1=∠2.∴180°-∠1=180°-∠2,即∠3=∠4.在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(ASA),∴AB=AC.4.(2017北京海淀一模,19)如图,在△ABC中,D,E625.(2017北京海淀二模,19)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.请你添加一条线把它分成两个全等的三

角形,并给出证明.

解析连接AC,则△ABC≌△ADC.证明如下:在△ABC与△ADC中,

∴△ABC≌△ADC.5.(2017北京海淀二模,19)如图,在四边形ABCD中,63一、选择题(每小题2分,共6分)30分钟40分1.(2019北京门头沟一模,4)如图,△ABC为等边三角形,如果沿图中虚线剪去∠B,那么∠1+∠2等于

()

A.120°

B.135°

C.240°

D.315°答案

C如图,∠3+∠4=180°-∠B=120°.∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,∴∠1+∠2=360°-120°=240°.故选C.一、选择题(每小题2分,共6分)30分钟1.(2019北京门642.(2018北京海淀一模,1)用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是

()答案

A由高线的定义可知选项A符合题意.故选A.2.(2018北京海淀一模,1)用三角板作△ABC的边BC上653.(2017北京石景山一模,9)用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于

DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C;③作射线OC,则射线OC为∠AOB的平分线.由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是

()

A.SASB.AASC.ASAD.SSS答案

D由作图可知,OE=OD,EC=DC,∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE(SSS).故选D.解题关键解决本题的关键是要明确使用圆规的目的,同时要掌握全等三角形的判定方法.3.(2017北京石景山一模,9)用尺规作图法作已知角∠AO66二、填空题(每小题2分,共6分)4.(2019北京顺义一模,14)如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为

.

答案1解析∵DE为△ABC的中位线,∴DE=

BC=4.∵AB=6,∠AFB=90°,∴DF=

AB=3.∴EF=DE-DF=1.二、填空题(每小题2分,共6分)答案1解析∵DE为△AB675.(2018北京东城一模,13)含30°角的直角三角板与直线l1,l2的位置关系如图所示,已知l1∥l2,∠1=60°.以下三

个结论中正确的是

(只填序号).①AC=2BC;②△BCD为正三角形;③AD=BD.

答案②③解析由l1∥l2,∠1=60°,可得∠CDB=60°,又∠CBD=60°,所以△BCD为正三角形;∠ACD=∠A=30°,所以AD=

CD=BD.所以正确的结论是②③.5.(2018北京东城一模,13)含30°角的直角三角板与直686.(2018北京门头沟一模,10)如图,在5×5的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中,格点上有A、B、C、D、E五个点,如果要求连接两个点之后的线段的长度大于3且小于4,则可以连接

.(写出一个答案即可)答案

AD(答案不唯一)解析根据勾股定理计算两点之间的距离d,满足3<d<4即可,如AD、BD等,答案不唯一.6.(2018北京门头沟一模,10)如图,在5×5的正方形(69三、解答题(共28分)7.(2018北京东城一模,19)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D.BF平分∠ABC,交AD于点E,交AC于

点F.求证:AE=AF.证明∵∠BAC=90°,∴∠FBA+∠AFB=90°.∵AD⊥BC,∴∠DBE+∠DEB=90°.∵BF平分∠ABC,∴∠DBE=∠FBA,∴∠AFB=∠DEB,又∵∠DEB=∠FEA,∴∠AFB=∠FEA,∴AE=AF.解题关键解决本题的关键是要借助等角的余角相等,通过等量代换解决.三、解答题(共28分)证明∵∠BAC=90°,∴∠FBA+708.(2017北京东城一模,20)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于

AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,求∠BAD的度数.解析由题意可得:MN所在直线是AC的垂直平分线,则AD=DC.∴∠C=∠DAC.∵∠C=30°,∴∠DAC=30°.∵∠B=55°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=95°.∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°.8.(2017北京东城一模,20)如图,在△ABC中,∠B=719.(2019北京石景山二模,21)如图,AB平分∠CAD,∠ACB+∠ADB=180°.(1)求证:BC=BD;(2)若BD=10,cos∠ADB=

,求AD-AC的值.

解析(1)证明:在AD上截取AE,使得AE=AC,连接BE.∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠EAB.∵AB=AB,∴△ACB≌△AEB,∴BC=BE,∠ACB=∠AEB.∵∠ACB+∠ADB=180°,∠AEB+∠BED=180°,∴∠ADB=∠BED,∴BE=BD.∴BC=BD.(2)作BF⊥AD于点F,由(1)知BE=BD,∴EF=DF,在Rt△BFD中,∵BD=10,cos∠ADB=

,∴DF=4,∴DE=8,∴AD-AC=AD-AE=DE=8.9.(2019北京石景山二模,21)如图,AB平分∠CAD,7210.(2017北京顺义一模,23)已知:如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC=AD,∠DAC=∠ABC.(1)求证:BD平分∠ABC;(