中考数学复习课件-中考考点解读-第六单元-圆-第24讲-与圆有关的位置关系

第24讲与圆有关的位置关系1知识梳理素养形成2真题自测明确考向知识梳理素养形成与圆有关的位置关系直线与圆的位置关系三角形的外接圆与内切圆真题自测明确考向命题点1切线的性质(10年5考)1．(2019·益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是() A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD体验益阳中考真题D2．(2018·益阳)如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝_____度．453．(2016·益阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为_______.115°4．(2014·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为() A．1 B．1或5 C．3 D．5B5．(2020·益阳)如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA＝MB，OA，OB分别交⊙O于C，D.求证：AC＝BD.证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB.∵MA＝MB，∴△ABO是等腰三角形，∴OA＝OB.∵OC＝OD，∴OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD.6．(2020·湘西)如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D.下列结论不一定成立的是() A．△BPA为等腰三角形

B．AB与PD相互垂直平分

C．点A、B都在以PO为直径的圆上

D．PC为△BPA的边AB上的中线延伸训练B7．(2020·金华)如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是() A．65° B．60° C．58° D．50B命题点2切线的判定(10年1考)8．(2017·益阳)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∵OA＝OC,∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)及已知有∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4.由勾股定理，得∴BD＝OD－OB＝5－3＝2.

延伸训练(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC＋∠OCD＝180°.∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴DC为⊙O的切线．

焦点1切线的性质样题1如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于() A．20° B．25° C．30° D．40°B重点难点素养拓展

1．(2020·永州)如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4变式训练C2．(2020·南京)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D.若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0，8)，则点D的坐标是() A．(9，2) B．(9，3) C．(10，2) D．(10，3)A3．(2020·眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D.已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为________.

解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，然后利用勾股定理或直角三角形边角关系计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系等求解．方法指导焦点2切线的判定样题2如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F.(1)如图1，当∠ACD＝45°时，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．[分析]

(1)如图1中，连接OD，欲证明ED是切线，只要证明∠EDO＝90°即可；(2)如图2中，连接BC，利用勾股定理，以及含30°角的直角三角形的性质求出CD、DE即可．[解答]

(1)证明：连接OD.∵∠ACD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°.∵ED∥AB，∴∠AOD＋∠EDO＝180°，∴∠EDO＝90°，∴ED⊥OD，∴DE是⊙O的切线．(2)解：连接BC，AD.∵CF＝DF，∴AF⊥CD，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∵AB∥ED，∴ED⊥DC，∴∠EDC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，AB＝2，

4．(2020·衡阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F.(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AD＝8，AE＝10，求BD的长．变式训练解：(1)BC与⊙O相切．理由：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD⊥BC.∵OD为半径，∴BC与⊙O相切.(2)连接DE.∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°.∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C.∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，5．(2020·娄底)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．(1)证明：连接OD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE.又BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．

(3)解：CE＝AB－BE.理由如下：过D作DH⊥AB于H.∵BD平分∠ABC，DE⊥BE.∴DH＝DE.在Rt△BED与Rt△BHD中，∴Rt△BED≌Rt△BHD(HL)，∴BE＝BH.∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DCE＝∠A.又∠DHA＝∠DEC＝90°，DH＝DE，∴△ADH≌△CDE(AAS)，∴AH＝CE.∵AB＝AH＋BH，∴AB＝CE＋BE，∴CE＝AB－BE.证明圆的切线时，常采用有交点，连半径，证垂直．证明垂直时常会用到如下方法：(1)图中有90°角(直径所对圆周角为90°或已知线段垂直关系)时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质：证明切线与已知直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形相似得证；方法指导④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证；(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰三角形“三线合一”的性质得证．1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”() A．3步 B．5步

C．6步 D．8步C提升数学核心素养2．(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，_______________________________.求证：_________________________________．AB＝OB，EN切半圆O于FEB，EO就把∠MEN三等分解：已知：如图2，