圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

精品文档-下载后可编辑圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.

定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线

y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若

kAM+kAN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若kAM

·kAN=c（常数），直线l恒过定点.

证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为

x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.

由

y2=2px

t=ty+m

y2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，

kAM

+kAN

=y1-y0

x1-x0

+y2-y0x2-x0

=2p（y1+y2+2y0）

y1y2+y0（y1+y2）+y20

=2p（2pt+2y0）

-2pm+2pty0+y20

=c，

即：

4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，

要斜率为定值，即要

t=-2pmc+y20c-4py0

4p2-2py0c

为定值，所以

c=0，t=-y0p.

（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；

（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率

k=-

py0.

（2）kAM

·kAN

=y1-y0x1-x0

·y2-y0x2-x0

=

4p2

-2pm+2pty0+y20

=c.

即

-2pmc+2pty0c+

cy20-4p2=0

可解得：

m=2pty0c+cy20-4p22mc

，直线l方程为：

x=ty+

2pty0c+cy20-4p22pc，

即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点

（cy20-4p22pc，-y0）

.

定理2：已知

A（x0，y0）

是椭圆

x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过

A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若kAM·kAN=c常数，直线l恒过定点；（2）若

kAM+kAN=c常数，直线l斜率为定值.

证明：（1）若直线l斜率不存在，设

M（t，b1-t2a2），N（

t，-b1-t2a2）

[HT5，5”]kAM·kAN

=（b

1-t2a2

-y0）（-b1-

t2a2-y0）

（t-x0）2

=

[HT]

y20-b2（1-t2a2）

（t-x0）2

=

b2（1-

x20a2）-b

2（1-t2a2）

（t-x0）2

=b2a2·

t+x0t-x0

=c，则b2a2

·t+x0t-x0

=cx0=0，

c=b2a2

才满足.

若直线MN斜率存在，设为

y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）

b2x2+a2y2-a2b2=0

y=kx+m

（a2k2+b2）x2+2a2mkx+

a2m2-a2b2=0

x1+x2=

-2a2mka2k2+b2

，x1x2=

a2m2-a2b2

a2k2+b2.

kAM

·kAN

=y1-y0x1-x0·

y2-y0x2-x0

=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）

x1x2-x0（x1+x2）+x20=

-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b2

a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+

a2k2x20

=

-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b

2y20-2my0b2

a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20=

m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b2

a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=

b2a2

·m2+y20-2my0-x20k2

m2+2mkx0+k2x20-y20=

b2a2·

（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）

（m-y0+kx0）（m+y0+kx0）

=b2a2

·m-y0-kx0

m+y0+kx0

.

所以m=

（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0

b2-a2c

直线MN方程为：

y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0

b2-a2c

=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c

）+a2cy0+b2y0b2-a2c.

恒过定点

（-a2c+b2

b2-a2c

x0，a2c+b2b2-a2c

y0）.

当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：

①若

x0=0，y0=b直线恒过定点

（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；

②x0=a，y0=0，直线恒过定点

（a（a2c+b2）

a2c-b2），0）

；

③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点

（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；

④若

x0=-a，

y0=0

直线恒过定点

（a（a2c+b2）b2-a2c

，0）.

（2）若直线MN斜率不存在，

kAM+kAN

=

b1-t2a2-y0t-x0

+

-b1-t2a2-y0t-x0

=-2y0t-x0

=c，

则y0=0，c=0才满足.

若直线MN斜率存在，

kAM+kAN

=y1-y0

x1-x0

+y2-y0x2-x0

=

kx1+m-y0x1-x0

+kx2+m-y0x2-x0=

[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0

x1x2-x0（x1+x2）+x20=

-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+

2x0y0a2k2

a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=

c.

若直线MN斜率k为定值，则可化为

a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2

+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0

c=0

2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0

-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0

①②③

c=0

k=b2x0a2y0

1，2代入3也成立

当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.

定理3：已知

A（x0，y0）

是双曲线

x2a2

-y2b2

=1（a>0，b>0）

上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若

kA