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文档简介

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：

我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的正交分解

给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空间向量的正交分解xyzQPO

由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.二、空间向量基本定理：都叫做基向量.注:

如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组{x,y,z}使探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.三、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyzxyze1e2e3O

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=p由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3

在空间直角坐标系O–x

y

z

中，对空间任一点P,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).

显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3例题讲解1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习练习2练习3ABCOA/B/C/O/G小结：

如果三个向量不共面,那么对空间

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