辽宁省沈阳市王海涛吉他艺术培训中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析

辽宁省沈阳市王海涛吉他艺术培训中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（

）A.70° B.20° C.35°

D.10°参考答案：B2.若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(

)A．

B．或

C．

D．参考答案：B

3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（

）A

B

C

D

参考答案：A略4.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．5.设复数z满足i（z﹣2）=3（i为虚数单位），则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z看作未知数，解方程即可．【解答】解：复数z满足i（z﹣2）=3（i为虚数单位），∴z﹣2=，∴z=2+=2﹣3i．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．6.点M的直角坐标是（1，﹣），则点M的极坐标为（）A．（2，） B．（2，﹣） C．（2，） D．（2，2kπ+）（k∈Z）参考答案：B【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】利用直角坐标与极坐标互化公式即可得出．【解答】解：点M的直角坐标是（1，﹣），则点M的极坐标=2，tan=﹣，可得θ=﹣．∴极坐标为．故选：B．7.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（

）

A．8

B．±8

C．16

D．±16参考答案：A略8.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.下列事件中，随机事件是(

)A、连续两年的国庆节都是星期日

B、国庆节恰为星期日C、相邻两年的国庆节，星期几不相同 D、国庆节一定不在星期日参考答案：B10.如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若∠BAD=，CD=2，则BC=（）A．2 B．4 C． D．参考答案：A【考点】圆周角定理．【分析】利用正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：由题意，，∴BD=2，∵∠BAD=，∴∠BCD=，∵CD=2，∴12=BC2+4﹣2BC，∴BC2+2BC﹣8=0，∴BC=2．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是________________.该否命题的真假性是________________.(填“真”或“假”)参考答案：命题“若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数”,假略12.在等差数列中，，则__________；参考答案：2013.已知，且，则的最小值是

。参考答案：14.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是． 参考答案：假设一个三角形中，三个内角都小于60°【考点】反证法与放缩法． 【专题】证明题；反证法． 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【解答】解：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°的反面是：一个三角形中，三个内角都小于60°．则应先假设在一个三角形中，三个内角都小于60°． 故答案是：一个三角形中，三个内角都小于60°． 【点评】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题． 15.抛物线被直线所截得的弦长为

。参考答案：8

略16.计算，可以采用以下方法：构造等式：，两边对x求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算_________．参考答案：略17.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件，则

.参考答案：试题分析：因红骰子向上的点数是的倍数,故有两种可能;在此前提下,两骰子的点数之和大于的可能有共五种可能,即而所有可能为种可能,故由古典概型的公式可得所求条件事件的概率为.应填.考点：条件事件的概率和计算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列{}满足+=2n+1

（）（1）求出，，的值；

（2）由（1）猜想出数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明。参考答案：所以＝,又得＝,同理＝.(2)猜测证明：(数学归纳法)①由（1）当n＝1时，＝命题成立；②假设时,成立,则时,由已知把及代入化简即时,命题成立.由①②得19.（1）已知，求证：；（2）求证：不可能是一个等差数列的中的三项.参考答案：（1）见解析；（2）见解析.分析：（1）先利用，结合基本不等式即可证得；（2）本题直接证明难度较大,可采用反证法,即假设为同一等差数列的三项,进而根据等差数列的定义,分析出矛盾,进而得到原结论成立.

本题考查的知识点是等差数列的定义,反证法,熟练掌握反证法的适用范围及证明步骤是解答的关键.详解：（1）∵，∴；（2）假设是公差为的等差数列中的三项，设，则，∴，故．∵，∴是有理数．而是无理数，故产生矛盾．∴假设不成立，即不可能是一个等差数列中的三项．点睛：本题主要考查了命题的证明，常用的证明思路有直接证明和间接证明即反证法，本题还考查了基本不等式的应用，属于中档题.20.已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点.(1)证明：直线的斜率互为相反数；

(2)求面积的最小值；(3)当点的坐标为，且.根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否互为相反数？②面积的最小值是多少？参考答案：（1）设直线的方程为.由

可得.设，则.∴∵.又当垂直于轴时，点关于轴，显然.综上，.

（2）=.当垂直于轴时，.∴面积的最小值等于.

（3）推测：①；②面积的最小值为.

略21.已知，求证：。参考答案：证明：要证，只需证：,只需证：只需证：只需证：，而这是显然成立的，所以成立。22.在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示．（1）求甲班的平均分；（2）从甲班和乙班成绩90～100的学生中抽取两人，求至少含有甲班一名同学的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由茎叶图能求出甲班的平均分．（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，利用列举法能求出至少含有甲班一名同学的概率．【解答】解：（1）甲班的平均分为：；（2）甲班90﹣100的学生有2个，设为A，B；乙班90﹣100的学生有4个，设为a，b，c，d，从甲班和乙班90﹣100的学生中抽取两人，共包含：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（