广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学2022年高三数学理测试题含解析

广西壮族自治区桂林市新世纪高级中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题p:函数在定义域上为减函数，命题q:,当a+b=1时，，以下说法正确的是(

)A.为真

B.为真

C.p真q假

D.p、q均假参考答案：D略2.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6B．8C．8D．12参考答案：A略3.定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为A.(1,2]

B.（1,2）．C.（0,2）

D.（0,1）参考答案：B4.的展开式中x2y2的系数是A．56 B．84 C．112 D．168参考答案：D因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.故选D.

5.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（

）A.B.C.D.参考答案：D【分析】如图所示：在边长为2的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6.如图所示的韦恩图中，阴影部分对应的集合是（） A．A∩B B． ?U（A∩B） C． A∩（?UB） D． （?UA）∩B参考答案：C7.已知是函数的一个零点,若,,则(

)\A、f(x1)<0,f(x2)<0

B、f(x1)<0,f(x2)>0

C、f(x1)>0,f(x2)<0

D、f(x1)>0,f(x2)>0参考答案：B8.已知a＞0，b＞0且a≠1，则“logab＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】已知logab＞0，解出a，b的值，再根据充分条件和必要条件的定义进行求解；【解答】解：∵a＞0，b＞0且a≠1，若logab＞0，∴a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，?（a﹣1）（b﹣1）＞0，若“（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴或，可以推出a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，∴“logab＞0，∴“logab＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分必要条件，故选C．【点评】本题以对数的定义与运算为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．9.榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A．

B．C.

D．参考答案：C依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积；表面积.10.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线、则下列四个命题不正确的是

A．若则

B．若

C．若则

D．若，则参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从抛物线上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且，则的面积为_____．参考答案：10由抛物线的定义可知|PF|+|PM|=5,并且点P到准线的距离12.如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为．则关于的函数解析式及定义域为

．参考答案：，13.在中，是的中点，，点在上且满足,则的值为

参考答案：略14.已知集合，若，则实数的取值范围是，其中=

。参考答案：4略15.已知函数，则____________参考答案：316.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，

，

．（用数字作答）参考答案：20，3517.已知向量，，若，则

．参考答案：5∵且∴∴∴∴故答案为5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.参考答案：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：……1分（1）圆柱的高……2分圆柱的侧面积……3分半球的表面积……5分所以铆钉的表面积()……7分（2）……8分

……9分设钉身长度为，则……10分由于,所以，……12分解得……13分答：钉身的表面积为，钉身的长度约为。19.某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[160，165）50.050第二组[165，170）a0.350第三组[170，175）30b第四组[175，180）c0.200第五组[180，185]100.100合计

1001.00（1）为了能选拔出优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，试确定a，b，c的值并求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（2）在（1）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组中至少有一名学生被A考官面试的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】本题的关键是找到频率分布直方图每一组的频数，在根据古典概型的计算公式求得概率．解：（1）由频率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第三组人，第四组人，第五组人．所以第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（2）设第三组的3名学生为A1、A2、A3，第四组的2名学生为B1、B2，第五组的1名学生为C1．则从6名学生中抽取2名学生有15种可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试共有9种可能其中第四组的2名学生至少有一名学生被A考官面试的概率为．【点评】本题考察频率分布直方图、分层抽样、古典概型的基本知识，是一道常见的高考题．20.已知f(x)=是定义在［-1，1］上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论.参考答案：解：∵f(x)=是定义在［-1，1］上的奇函数，∴f(0)=0，即a=0.∴f(x)=.函数f(x)在［-1，1］上为增函数.证明如下：任取＜≤1,∴＜0,-1＜＜1,∴＞0.∴-===＜0,∴∴f(x)在［-1，1］上为增函数.

略21.（本题12分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：求数列{bn}的通项公式；(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式∴数列{an}的通项公式为an＝2n.故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1∴Hn＝。∴数列{cn}的前n项和Tn＝＋.22.抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：

是否存在直线，使得，，成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（I）抛物线的焦点，

………1分椭圆的左焦点，

………2分

则．

………3分（II）设直线，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切线，的斜率分别为，，

再由，得，

即，

故，这说明直线过抛物线的焦点