江苏省常州市市花园中学高三数学理测试题含解析

江苏省常州市市花园中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位,若复数i，i，则

A．i

B.i

C.i

D．i参考答案：A略2.设，则a，b，c的大小关系是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.以点（2，0）为圆心且与直线相切的圆的方程为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略4.已知抛物线C1：y2=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（）A．2 B． C． D．1参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用弦长，求出抛物线中的a，可得双曲线中的c，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线方程为y=x﹣2a，代入y2=8ax，整理可得x2﹣12ax+4a2=0，∵直线l被抛物线C1截得的线段长是16，∴=16，∵a＞0，∴a=1．∴抛物线C1的准线为x=﹣2，∵双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，∴c=2，b=直线l与y轴的交点P（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d==1，故选D．5.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A．2

B．3

C．4

D．0参考答案：6.函数，则下列不等式一定成立的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C8.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=(

)A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1参考答案：B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．9.已知双曲线：﹣=1（），点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若，则的离心率为（）A.

B.

C.2

D.参考答案：B10.已知命题：

（

）A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是偶函数，则实数的值为_____▲______.参考答案：略12.已知的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.参考答案：-32【分析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出，然后令得各项系数和.【详解】解：因为，且第5项为常数项所以，即令，得所有项系数和故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.13.对于函数若存在，使成立，则称点为函数的不动点，对于任意实数，函数总有相异不动点，实数的取值范围是________参考答案：14.已知数列满足，若，则数列的通项

．参考答案：∵∴，即∵∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列∴∴∴故答案为.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．15.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是．

参考答案：试题分析：由题可知，设大正方形的边长为2，则大正方形的面积为4，由于直角三角形中的一角为，则两条直角边分别为1和，故小正方形的边长为，则小正方形的面积为，因此飞镖落在小正方形内的概率为；考点：几何概型概率模型16.已知向量满足，与的夹角为，则=

．参考答案：2【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．【解答】解：根据条件，===4；∴．故答案为：2．17.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有

种。参考答案：180三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，射线与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为：，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy．（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）求出点A极坐标，即可求点A的直角坐标，求出椭圆的直角坐标方程，即可求椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求出向量的坐标，即可求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）射线与圆C：ρ=2交于点，点A的直角坐标；椭圆Γ的方程为，直角坐标方程为，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设，∵E（0，﹣1），∴，，∴=，当sin（θ+α）=1时，的最大值为．【点评】本题考查三种方程的转化，考查向量知识的运用，属于中档题．19.已知为实数，，为的导函数.

(Ⅰ)若，求在上的最大值和最小值；

(Ⅱ)若在和上均单调递增，求的取值范围．参考答案：解：（1）.

（2），.

由，得，此时，，

由，得或.

又，，，

在上的最大值为，最小值为.

（3）解法一，

依题意：对恒成立,即

,所以

对恒成立,即

,所以

综上:.

解法二，的图像是开口向上且过点的抛物线，由条件得，，

，.解得.的取值范围为．20.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1)

…………1分时,取得极值,

…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知

由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,

…………8分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),

当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.

,故(当且仅当时,等号成立)对任意正整数,取得,

…………10分.故.…………12分（方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，成立，则时，有.做差比较：构建函数，则，单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.

------12分21.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数在上的单调区间；（2）设函数，是否存在区间，使得当时函数的值域为，若存在求出，若不存在说明理由.参考答案：（ⅱ）若，则在和上单调递增，在上单调递减…………6分综上所述：当时，的单调递减区间为：，

单调递增区间为：；当时，的单调递减区间为：

单调递增区间为：和；当时，单调递增区间为：.…………7分22.

徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．（1）把全程运输成本y（元）表示