第二部分-常用算法课件

第二部分常用算法与MATLAB语言编程1．算法的概念2.方程求根3．矩阵求逆4．数字积分（欧拉，梯形，龙格库塔）5．数字积分的精度及稳定性常用算法

方程求根矩阵求逆数值积分欧拉法t0t1ty(t)hyy(t0)y(t1)图2-5-1t0t1tf(t)ff(t0)图2-5-2h设一阶微分方程

如果t1离t0很近，即h很小，曲线y(t1)可用切线来近似，其切线方程重复上述近似过程，当t=t2时，则有一般近似公式

如果令，称为计算步矩，则

(1)这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。如果hn是固定不便的，称定步长积分；如果hn是变化的，称变步长积分。由欧拉法数字积分的递推计算公式可看出，只要给出方程的初值（t0,y0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。欧拉法的计算是十分简单的，其计算的截断误差正比于h2

，由此，要获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h减小得过小，将引起由于舍入误差累计而产生的累积误差过大，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。%%%%欧拉法积分程序x0=0;y0=0;h=0.0001;xm=5;xx=[];x=x0;y=y0;whilex<=xmx=x+h;y=y+fx(x)*h;

%x=x+h;xx=[xx;x,y];endplot(xx(:,1),xx(:,2))holdonx=0:0.1:xm;plot(x,(x.^2)./4,'--r')functiony=fx(x)y=x/2;梯形法（预报——校正法）四阶龙格-库塔（Runge-Kutta）法1、Runge-Kutta法推导实际上，可以由对dy/dx=求导得到高阶微商就更复杂了。为了提高精度，用r阶展开计算公式：一般常用是计算4阶函数值，得到每步截断误差为的四阶Runge-Kutta法其递推公式为:2、根据四阶龙格-库塔法的递推公式：已知系统的状态方程为 采用四阶龙格-库塔法进行求解和仿真，其求解步骤和方法如下:：1、由，可知；2、仿真算法3、由时刻的状态为，得到

取不断递推，便可得到所需时刻各点的状态变量和输出量。functiony=runk(x1,a,b,c,d)globalts

ymvspttsh=.5*ts;h=[0tsh

tsh

ts];k0=zeros(size(a(:,1)));u1=(ymv(sp)+x1)/2;v=[ymv(sp)u1u1x1];ymv(sp)=x1;sp=sp+1;n=length(k0);y0=[ymv(sp:(sp+n-1))]';k1=a*(y0+h(1)*k0)+b*v(1);k2=a*(y0+h(2)*k1)+b*v(2);k3=a*(y0+h(3)*k2)+b*v(3);k4=a*(y0+h(4)*k3)+b*v(4);y1=y0+[k1,k2,k3,k4]*([1;2;2;1]*ts/6);y=c*y1+d*x1;ymv(sp:(sp+n-1))=y1';sp=sp+n;MATLAB中的ode45（）函数可实现四阶/五阶龙格-库塔算法，其调用格式为：[t,y]=ode45('f',tspa,x0)其中：f为定义的常微分方