四川省眉山市仁寿县禄加中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析

四川省眉山市仁寿县禄加中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面向量与夹角为，，则（

）A．7

B．

C．

D．3参考答案：C2.若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值为（）A．4 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】先将x+y乘以+展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵+=1，∴x+y=（+=1）（x+y）=5++≥5+4=9，当且仅当=时，取等号．∴x+y的最小值为9．故选C．3.下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确故选D4.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是A．总偏差平方和

B．残差平方和

C．回归平方和

D．相关指数R2参考答案：B5.抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是（）

A．B．C．D．参考答案：A6.已知三个正态分布密度函数（,）的图象如图所示则（

）A.B.C.D.参考答案：D【分析】正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选：D．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．7.一个十字路口的交通信号灯，红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为秒、秒、秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知圆截直线所得的弦长为4，则实数的值是（

）A．－2

B．－4

C.－6

D．－8参考答案：B试题分析：圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为。因为圆截直线所得弦长为4，所以。故选B。9.在△ABC中，“A＞60°”是“sinA＞”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义和性质进行判断即可．【解答】解：在△ABC中，若sinA＞，则60°＜A＜120°，即A＞60°成立，当A=150°时，满足A＞60°但sinA=，则sinA＞不成立，故“A＞60°”是“sinA＞”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质和取值范围是解决本题的关键．10.已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（

）A．5B．20C．10D．40参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中,已知焦点为的抛物线上的点到坐标原点的距离为,则线段的长为

．参考答案：12.过原点向曲线可作三条切线，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略13.不等式：

。参考答案：略14.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为

，表面积为

参考答案：15.在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】欲求AM的长小于AC的长的概率，先求出M点可能在的位置的长度，AC的长度，再让两者相除即可．【解答】解：在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC′）==．答：AM的长小于AC的长的概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率里的古典概型．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的．16..已知复数是纯虚数，则实数m为__________．参考答案：2解：因为复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，所以实部为零，即m2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2.17.已知集合，且，求实数m的值______．参考答案：3【分析】由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m的值即可.【详解】由题意分类讨论：若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；若，解得：或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，综上可得，.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）=ax2﹣（1+a）x+lnx（a≥0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=0时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）要使方程f（x）=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m=﹣1有唯一实数解，令g（x）=﹣1，（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）=，（x＞0），（i）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；

（ii）当0＜a＜1时，令f′（x）=0，得x1=1，x2=＞1

令f′（x）＞0，得0＜x＜1，x＞，令f′（x）＜0，得1＜x＜，函数f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递增，（1，）上单调递减；

（iii）当a=1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iv）当a＞1时，0＜＜1

令f′（x）＞0，得0＜x＜，x＞1，令f′（x）＜0，得＜x＜1，函数f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递增，（，1）上单调递减；

综上所述：当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+∞），单调递减区间为（1，）；当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞），单调递减区间为（，1）（II）当a=0时，f（x）=﹣x+lnx，由f（x）=mx，得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m=﹣1，要使方程f（x）=mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m=﹣1有唯一实数解，令g（x）=﹣1，（x＞0），∴g′（x）=，由g′（x）＞0得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数．g（1）=﹣1，g（e）=﹣1，g（e2）=﹣1，故﹣1≤m＜﹣1或m=﹣119.如图，已知椭圆的右准线的方程为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）过定点作直线与椭圆交于点（异于椭圆的左、右顶点）两点，设直线与直线相交于点.①若，试求点的坐标；②求证：点始终在一条直线上.

参考答案：解:⑴由得所以椭圆的方程为．…2分⑵①因为，，，所以的方程为，代入，，即，因为，所以，则，所以点的坐标为．……………6分同理可得点的坐标为．…………8分②设点，由题意，．因为，，所以直线的方程为，代入，得，即，因为，所以，则，故点的坐标为．……………………10分同理可得点的坐标为．………12分因为，，三点共线，所以，．所以，即，由题意，，所以．即．所以，则或．若，则点在椭圆上，，，为同一点，不合题意．故，即点始终在定直线上．16分20.已知函数f（x）=ex，g（x）=mx2+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数h（x）=xf（x），当a=1，b=0时，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间，求m的值；（2）当m=0时，记F（x）=f（x）﹣g（x）①当a=2时，若函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，求b的取值范围；②当b=﹣时，试探究是否存在正整数a，使得函数F（x）的图象恒在x轴的上方？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】52：函数零点的判定定理；3W：二次函数的性质．【分析】（1）求解导数得出：h（x）=xex，（﹣∞，﹣1）上单调递减，（﹣1，+∞）单调递增，x=﹣1时h（x）去极小值．（2）①当m=0时，记F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，根据函数性质得出：2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0，②判断得出：当a=1时，F（x）=ex﹣x，F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，最小值为F（0）=1，＞0，F（x）＞0恒成立．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ex，函数h（x）=xf（x），∴h（x）=xex，∴h′（x）=ex+xex，∵h′（x）=ex+xex=0，x=﹣1，h′（x）=ex+xex＞0，x＞﹣1，h′（x）=ex+xex＜0，x＜﹣1，∴h（x）=xex，（﹣∞，﹣1）上单调递减，（﹣1，+∞）单调递增，x=﹣1时h（x）取极小值，∵当a=1，b=0时g（x）=mx2+ax+b=mx2+x，若函数h（x）与g（x）具有相同的单调区间∴﹣=﹣1，m=．（2）当m=0时，记F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣ax﹣b，①当a=2时，F（x）=ex﹣2x﹣b，∴F′（x）=ex﹣2，∵F′（x）=ex﹣2=0，x=ln2，F′（x）=ex﹣2＞0，x＞ln2F′（x）=ex﹣2＜0，x＜ln2，∴F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，F（x）的最小值为F（ln2）=2﹣2ln2﹣b，∵函数F（x）在[﹣1，2]上存在两个不同的零点，∴2﹣2ln2﹣b＜0，F（﹣1）≥0，F（2）≥0，解得出：b＞2﹣2ln2，b≤+2，b≤e2﹣4，即2﹣2ln2＜b≤+2，②根据题意，函数F（x）的图象恒在x轴的上方，等价于F（x）＞0对x∈R恒成立．∴只需F（x）min＞0．∵F（x）=ex﹣ax+，∴F′（x）=ex﹣a．∵a≥1，由F′（x）＜0，得x＜lna；由F′（x）＞0，得x＞lna．∴F（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．∴F（x）min=F（lna）=a﹣alna+＞0．∴只需F（lna）=a﹣alna+＞0．令φ（a）=a﹣alna+，a≥1，则φ′（a）=﹣lna≤0，∴φ（a）在[1，+∞）上单调递减．而F（lna）=a﹣alna+＞0等价于1+＞lna．当a=e2≈7.39时，上式成立；而当a=8时，上式不成立．故当1≤a＜8时，函数F（x）的图象恒在x轴的上方．∴a=7为所求的最大值．21.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米．（Ⅰ）列出与的函数关系式，并写出其定义域；（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？参考答案：解：（Ⅰ）矩形的宽为：米

………1分

………………3分定义域为

…4分注：定义域为不扣分（Ⅱ）

……6分

当且仅当

即时取等号，此时宽为：米所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．

……8分（Ⅲ）法一：，

………10分当时，

在上是单调递减函数