电磁场的数学物理基础知识课件

章电磁场的数学、物理基础知识7/26/2023第一章

电磁场的数学、物理基础知识1-1电磁场与矢量代数1-2正交曲面坐标系1-3标量场及其梯度1-4矢量场的通量、散度与高斯散度定理1-5矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理1-6亥姆赫兹定理1-7电磁场麦克斯韦方程组1-8矢量场惟一性定理7/26/20231-1电磁场与矢量代数1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(叠加)1.1.3矢量的乘积运算7/26/20231-1电磁场与矢量代数场的概念:场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自变量的函数。标量场矢量场稳恒场均匀场——描绘场的函数为标量函数φ=φ(x,y,z,t)——描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t)——不随时间变化的场φ(x,y,z),A(x,y,z)——不随空间变化的场φ(t),A(t)只有大小而没有方向的量。如电压、电荷量、电流、面积等在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等。具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。7/26/20231.1.1矢量及其表示方法矢量的定义与表示：几何表示：有向线段代数表示：基于坐标系的参数表示矢量的代数运算(四则运算)：几何方法及其意义代数方法及其运算规则(与坐标系相关)7/26/20231.1.1矢量及其表示方法矢量：表示既有大小也有方向的量，如或标量：只有大小的量，如

矢量几何图示如右：矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。7/26/20231.1.1矢量及其表示方法一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。，

zxyAO单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。（1.1.1）矢量表示法——在三维空间中，矢量可表示为一根有方向的线段。该线段的长度代表该矢量的模，该线段的方向代表该矢量的方向。7/26/2023在直角坐标系中矢量的表示例如：7/26/2023一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分量。负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。7/26/20231.1.2矢量相加(几何表示)，

图1-1两矢量相加ABA+BABA+B(a)平行四边形法则

(b)首尾相接法则

两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B

图1-2两矢量相减-

BBAA-B交换律A+B=B+A结合律A±B±C=A±(B±C)=(A±B)±CA和B相减为新矢量A

B

7/26/20231.1.2矢量相加(代数表示)，

直角坐标系中的矢量及运算AxAyAzAyzx图1-3直角坐标中的A及其各分矢量若则7/26/20231.1.2矢量相加(代数表示)矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。矢量乘法图1-4f与A

相乘AƒA(ƒ>0)ƒ

A(ƒ<0)标量ƒ与矢量A的乘积用ƒA表示，它是A的ƒ倍。

若则7/26/2023两个矢量的标量积（点积）定义为这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的余弦三者的乘积。两个矢量的矢量积（叉积）的模等于这两个矢量的模以及这两个矢量之间夹角的正弦三者的乘积，而方向垂直于两矢量所构成的平面，其指向按“右手法则”来确定。（1.1.26）1.1.3矢量的乘积运算7/26/20231.1.3矢量的乘积运算A•B=ABcosθ⑴A•B=B•A⑵(A+B)•C=A•C+B•C⑶λ(A•B)=(λA)•B=A•(λB)⑷若A⊥B，则A•B=0(5)A自身的点积，即=0°，A•A=A21.矢量的标量积dotproduct/scalarproduct

Acosθ7/26/2023例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：ex·ey=ey·ez=ex·ez=0ex·ex=ey·ey=ez·ez=1

直角坐标系中的点积运算由单位矢量的正交性得7/26/20232.矢量的矢量积crossproductC=A×B=ABsinθecec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。(a)矢量积的图示；(b)右手螺旋7/26/2023矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即A×B=-B×AA×(B+C)=A×B+A×CA、B相平行（=0或180˚)时，AB=0，反之亦然；A自身的叉积为零，AA=0。7/26/2023直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

ex×ey=ezey×ez=ex,ez×ex=eyex×ex=ey×ey=ez×ez=0

在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为=ex(AyBz-AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez(AxBy-AyBx)7/26/20232.矢量的矢量积crossproduct⑴A×B≠B×AA×B=－B×A⑵C×(A+B)=C×A+C×B⑶λ(A×B)=(λA)×B=A×(λB)⑷若A//B，则A×B=07/26/2023标量积满足交换律和分配律，矢量积只满足分配律。若两个矢量垂直，即它们之间的夹角为90o，则它们的标量积等于零，而矢量积最大，等于这两个矢量的模的乘积；若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。反过来说也是对的。若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。7/26/20233.矢量的混合积⑴转换性C•(A×B)=A•(B×C)=B•(C×A)C•(A×B)=|C|•|A×B|cosθ⑶三个矢量共面的条件C•(A×B)=0

Cx

Cy

Cz

C

•

(

A×B)=Ax

Ay

AzBx

ByBz⑵坐标表示式7/26/2023（1）矢量混合积的几何意义：关于混合积的说明：7/26/2023bc

a

baS=|a

b|hc7/26/2023hac

a

bb其混合积(abc)=0三矢a,b,c共面因此，7/26/2023定理1三个不共面的矢量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积,并且当构成右手系时混合积为正数;当构成左手系时混合积为负数,也就是有定理2证明:先证明必要性“”，即已知三个矢量共面，求证因为，所以7/26/2023证毕.再证明充分性“”，即已知求证:三个矢量共面.由及定义,得即而又所以,矢量垂直,首先,若即结论显然成立.以下设所以证毕.7/26/2023定理3证明:三个矢量共面时,结论显然成立.以下设它们不共面.的绝对值都等于以为棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等.又因为具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系)即它们的符号也相同.证毕.只证明第一组.第二组可以类似考虑.7/26/2023推论1例1设三向量满足证明:由两边与所以,7/26/2023矢量混合积在直角坐标系下的分量表示设直角坐标系定理4证明:7/26/2023所以,推论2三个矢量共面的充要条件为7/26/2023例2.已知四面体ABCD的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的体积.ABCD解:它的体积等于以为棱的平行六面体体积的六分之一所以7/26/2023解7/26/2023式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.7/26/2023解例47/26/2023例5求矢量对的分解式.(也即将表示成的线性组合)解:所以可设上式两边同时点乘得则得同理可以得到7/26/2023向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小结7/26/2023例6证明:证毕.7/26/20234.矢量的三重积A×(B×C）⑴A×(B×C）≠（A×B）×C不满足结合律⑵A×(B×C）=（A•C)B－(A•B)C7/26/2023矢量代数运算式均为矢量垂直于所在平面并与成右手螺旋关系。7/26/2023矢量代数运算式7/26/2023位置矢量与距离矢量位置矢量——由坐标原点出发引向空间某一点的有方向线段，称为该点的位置矢量或矢径。设P点的坐标为，则

其模设P‘点的坐标为，则

其模图位置矢量与相对位置矢量7/26/2023相对位置矢量及模其中，P点的位置矢量为图位置矢量与相对位置矢量r

P

(x,y,z)RrP

(x,y,z)Royzx习题1-77/26/2023标量体元矢量面元矢量线元矢量积分运算矢量线积分矢量面积分标量体积分7/26/20231-2正交曲面坐标系矢量线元把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数7/26/2023直角坐标系7/26/2023直角坐标系7/26/20237/26/2023圆柱坐标系空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量(ρ,φ,z)来表示，如下图示。其中，ρ是位置矢量OP在xy面上的投影，φ是从+x轴到位置矢量OP在xy面上的投影之间的夹角，z是OP在z轴上的投影。由图可以看出，圆柱坐标与直角坐标之间的关系为x=ρcosφy=ρsinφz=z如同直角坐标系一样，圆柱坐标系也具有三个相互垂直的坐标面，7/26/2023圆柱坐标系一点的投影圆柱坐标系三个互相垂直的坐标7/26/2023圆柱坐标系7/26/2023圆柱坐标系7/26/2023圆柱坐标系7/26/20237/26/2023

7/26/2023球坐标系在球坐标系中，空间一点P唯一地用三个坐标变量(r,θ,φ)来表示，如图示.位置矢量r又称为矢径(RadiusVector)，r是其大小，θ是位置矢量r与z轴的夹角，φ是从+x轴到位置矢量r在xy面上的投影OM之间的夹角。球坐标与直角坐标之间的关系为

x=rsinθ·cosφy=rsinθ·sinφz=rcosθ同样，球坐标也有三个坐标面坐标面表示一个半径为r的球面，r的变化范围为0≤r<∞。7/26/2023坐标面θ=常数表示一个以原点为顶点、z轴为轴线的圆锥面，θ的变化范围0≤θ≤π。坐标面表示一个以z轴为界的半平面，φ的变化范围为0≤φ<2π。7/26/2023球坐标系一点的投影球坐标系三个互相垂直的坐标面7/26/2023球坐标系7/26/20237/26/2023，

7/26/2023正交曲面坐标系圆柱(r,,z)yzxP00=

0r=r0z=z

0Oxzy=

0

0

0球(r,,

)r=r

0=

0P0O直角(x,y,z)zxyz=z

0x=x

0y=y

0P0O7/26/20237/26/2023场的概念描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。即若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：温度场、速度场、电磁场。稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关变化场（时变场）：场函数与时间有关7/26/2023形象描绘场分布的工具——场线/面标量场--等值线(面)其方程为矢量场--矢量线其方程为二维场三维场7/26/20231-3标量场及其梯度标量场u(x,y,z)的等值面U(x,y,z)=const等值面——函数均取相同值的曲面。在空间中，每一点对应着也仅对应着一个确定的函数值，因此它必属于也仅属于一个等值面。空间中所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。例1-1，习题1-17/26/20231.3.2标量场的方向导数与梯度方向导数定义方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。在空间某点的方向有无穷多个，哪一个方向导数值最大?!设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P

可微，则在点P

沿任意方向

的方向导数为P7/26/2023方向导数给出了函数ψ(P)在给定点处沿某个方向的变化率。从场中的给定点P出发，标量场ψ在不同方向上的变化率是不同的，必定在某个方向上变化率最大。定义一个矢量G，其大小就是函数ψ在该点的最大方向导数的值，其方向就是在点P处变化率最大的方向，这个矢量G称为函数ψ在点P处的梯度（Gradient）。梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场ψ的梯度可表示为梯度的定义7/26/2023梯度的意义：

标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数;梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。方向导数梯度7/26/2023已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数

梯度与等值面垂直.例如,电力线垂直于等电位面方向导数梯度7/26/2023若引入算符，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为称作哈米尔顿算子，记号(读作nabla或del)是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。标量拉普拉斯算子（LaplaceOperator)，即

▽2=▽·▽在直角坐标系中标量函数ψ的拉普拉斯表达式为既具有矢量性质，又具有微分性质

7/26/2023▽：哈密尔顿算符(del)哈密尔顿算符

——是一个兼有微分运算和矢量运算双重性质的运算符——服从矢量运算的规则；——代表一种微分运算，服从微分运算规则。①▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量

函数时才代表一种运算。②只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的

位置。▽矢量算子7/26/2023哈密尔顿算符可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。7/26/2023梯度的展开式P87/26/2023梯度的性质（1）方向导数等于梯度在该方向上的投影，即（2）标量场ψ中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数ψ(P)增大的方向。也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。（3）▽×▽ψ≡0如果一个矢量场A满足▽×A=0，即A是一个无旋场，则矢量场A可以用一个标量函数ψ的梯度来表示，即A=▽ψ，该标量函数称为势函数(PotentialFunction)，对应的矢量场称为有势场(如果一个矢量场无旋,则可以表示成一个有势场的梯度)。如静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。例1-2、3，习题1-2、3、4、57/26/2023例求f=4e2xy+z在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。解：于是，f在P1处沿R12方向上的方向导数为：7/26/20231-4矢量场的通量与散度矢量场A矢量线——线上每一点的切线方向与该点矢量场的方向相同，像静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等，都是矢量线的例子。矢量线l+dl设P为矢量线上任一点，其矢径为l，则根据矢量线的定义，必有7/26/20231-4矢量场的通量与散度矢量线的疏密表征矢量场的大小矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向7/26/2023矢量场的描述有旋场无旋场矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问题，引入通量。在场区域的某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量。（标量）7/26/2023矢量场的通量通量：矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量表示，即通量可为正、或为负、或为零。7/26/2023物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。矢量场的通量在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。通过闭合面S的通量的物理意义：a)若，穿出闭合曲面的矢量多于穿入的矢量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；

b)若，穿出闭合曲面的矢量少于穿入的矢量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；

c)若，闭合面无源或者正、负源相抵时。7/26/2023由物理得知，真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数0之比，即，可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。>0

(有正源)<0

(有负源)=0(无源或正、负源相抵)矢量场通量的性质

7/26/2023温州大学物理与电子信息学院思考：有正有负，什么情况为负的？问题：任意曲面不包围点电荷，此时电通量如何？答：从电通量的物理本质上看，必定为零，因为穿入的条数和穿出的条数一样，也可从立体角定义去求解7/26/2023通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。矢量场的散度(divergence)通量描述整个体积“流量”的情况，不能反映场域内每一点的通量特性，场中某一点附近的“流量”？定义：单位体积的净流出的通量，称为散度7/26/2023通量概念描述了空间一个较大范围内场与源之间的关系。而散度概念将描述空间每一点场与源之间的关系。矢量场的散度——矢量穿过闭合曲面的通量与该闭合曲面所包围的小体积之比的极限。一个矢量场的散度是一个标量，可理解为矢量的散度是通量体密度，包围单位体积闭合面的通量。矢量场的散度(divergence)如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小到点P时：7/26/2023直角坐标系中散度可表示为散度可用算符哈密顿表示为哈密顿拉普拉斯27/26/2023散度展开式P11例1-57/26/2023例1-5已知矢量场，求：（1）矢量的散度；（2）矢量由内向外穿过圆柱面与平面z=h1和平面z=h2所围封闭曲面的通量，其中k0、a、h1、h2均为大于零的常数，且h2>h1。7/26/2023解：（1）由圆柱坐标散度式（1-28）可知7/26/2023解：（2）设圆柱侧面为S1，上下底面分别为S2、S3，由通量式（1-24）可知由于矢量F只有半径方向的分量，即矢量垂直于圆柱侧面S1，平行于上下底面S2、S3，因此上式中只有第一项存在，故其矢量积分可以简化为标量积分，即7/26/2023对面积的曲面积分的计算法设曲面∑：z=z(x,y)(1)(2)(3)(4)z=z(x,y)单值，即与z轴平行的直线与∑的交点只有一个；z=z(x,y)在Dxy上具有连续偏导数；f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续；则7/26/2023同理：7/26/2023例：zxy0h问题：∑1能否投影到xoy面上?dS=?解：把∑1投影到yoz面上，则R∑17/26/2023zxy0h∑1R关于yoz面对称，被积函数是x的偶函数.7/26/2023zxy0h解：把∑1投影到yoz面上，则R∑17/26/2023zxy0h∑1R7/26/2023散度的意义在矢量场中，若•A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）

(正源)

(负源)图0.3.3通量的物理意义

7/26/2023上式称为散度定理,也称为高斯公式。1.4.4矢量场高斯散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即散度定理：通量元密度7/26/20231.4.4矢量场高斯散度定理Thedivergencetheorem从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域V的闭合面S上的场之间的关系。如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，反之亦然。散度定理的物理意义：矢量函数的面积分与体积分的相互转换。矢量场散度的体积分=该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量7/26/20231-5矢量场的环量与旋度环量——矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为矢量场的环量是一个标量，用来描述一个矢量场的旋涡特性。大小和正负取决于矢量场的分布以及该闭合曲线积分的环绕方向。可见，若在闭合有向曲线l上，矢量场A的方向处处与线元dl的方向保持一致，则环量>0；若处处相反，则<0。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。图1.4.1环流的计算7/26/2023水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。7/26/2023矢量场的旋度(curl)引出：研究闭合曲线内每一点处的环流。过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当S点P时，存在极限1.环流密度——环流密度环流密度是单位面积上的环量。7/26/20232.旋度：旋度是一个矢量。若以符号rotA表示矢量A的旋度，则其方向是使矢量A具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中rot是英文字母rotation的缩写，en为S的法线方向，S为闭合曲线l包围的面积。矢量场的旋度(curl)它与环量密度的关系为－S的法线方向7/26/2023矢量的旋度：在矢量场A中，围绕P点做一闭合回路c，所围面积为S，其法线方向单位矢量为n；A的旋度是矢量，其大小为S0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即7/26/2023物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向无关。计算公式：7/26/2023旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若A=J0

称之为旋度场（或涡旋场），J

称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处A=0，称之为无旋场。它描述A在该点处的旋涡源强度。7/26/2023旋度的展开式P14广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为直角坐标系中拉梅系数均为1，故7/26/2023矢量函数A在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式分别为7/26/2023一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位的最大变化率及其方向；一个矢量函数的散度是一个标量函数，它描述了空间各点场矢量与通量源之间的关系；一个矢量函数的旋度是一个矢量函数，它描述了空间各点场矢量与旋涡源之间的关系。只有当场函数具有连续的一阶偏导数时，梯度、散度、旋度的定义才是有意义的。在某些场量不连续的交界面上，就不可能定义梯度、散度和旋度。3、梯度、散度、旋度的比较：7/26/2023如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。3、梯度、散度、旋度的比较：7/26/20231.5.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem矢量函数的线积分与面积分的相互转化。——斯托克斯定理下页上页

在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回7/26/2023场的旋度和散度——形象说明根据散度或旋度的定义式可知，它们都是在曲面或体积趋于零，即缩小到一点时定义的。矢量对一闭合曲面的通量（或所包围区域散度的体积分）等于零，并不能说该区域每点无源。7/26/2023场的旋度和散度——形象说明场的旋度和散度用水流来作比较最形象，旋度就是考察水中是否存在漩涡，在电磁场中就是看电场线或磁感线是否闭合，磁感线是闭合的就是说它是有旋场，散度可以认为是看水在何处有源头何处有汇聚，在电磁场中就是看是否某处有发射场线或收回场线。7/26/20231-6矢量场中的常用定理矢量场的分类梯度场、散度场和旋度场的关系定理矢量场的积分定理矢量场唯一性定理亥姆霍兹定理7/26/20231.6.1矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1)调和场若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0则在该区域V内，场F为调和场。注意：工程实际中不存在在整个空间内旋度和散度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场7/26/2023⑴标量场的梯度为无旋场;⑵矢量场的旋度为无源(散)场;⑶无旋场必可表示为标量场的梯度；如，则必存在某一标量场ψ，使

得。⑷无源场必可表示为另一矢量场的旋度；如，则必存在某一矢量场，使得。1.6.2梯度场、散度场和旋度场的关系定理7/26/2023⑸如果一个矢量场B为另一个矢量场的旋度，即，则任意选择的值，矢量场的值不受影响。这说明不论是有源场，还是无源场，或取任何值，对的涡旋性皆无影响。即矢量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。

7/26/2023(1)高斯(散度)定理1.6.3矢量场的积分定理此定理揭示了矢量场的“表里”关系。(2)斯托克斯定理此定理揭示了矢量场的“边面”关系。7/26/2023设有矢量场，在以S为界面的区域V内，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知,1.6.4矢量场唯一性定理已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。7/26/20231.6.5亥姆霍兹定理1)场与源，源与散度、旋度矢量场是由场源激发出来的,应把源看作是产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量(环流量)的源。进一步说,用场的散度可唯一确场中任一点的通量源密度，用场的旋度可唯一确定场中任一点的环量源密度。7/26/2023假如在有限空间τ内,一个场矢量的散度和旋度处处已给定,边界条件也已确定,那么,这个矢量场就是给定的了.进而这个矢量场还可用无旋场,一个标量函数的梯度