矢量分析黑白底

矢量分析黑白底第1页，课件共58页，创作于2023年2月本章内容21.1矢量代数1.2

标量场的方向导数与梯度1.3

矢量场的通量与散度，散度定理1.4

矢量场的环流和旋度，斯托克斯定理1.5亥姆霍兹定理1.6

常用正交曲线坐标系第2页，课件共58页，创作于2023年2月1.1矢量代数1.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示，本书中在符号上加短横线

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示则直角坐标系中x,y,z方向的单位矢量分别为：或第3页，课件共58页，创作于2023年2月4矢量用坐标分量表示或第4页，课件共58页，创作于2023年2月5（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法

在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律第5页，课件共58页，创作于2023年2月6（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角它就是一个矢量模(A)与另一个矢量模在该矢量上的投影(Bcosɵ)的乘积。第6页，课件共58页，创作于2023年2月7（4）矢量的矢量积（叉积）qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则第7页，课件共58页，创作于2023年2月8（5）矢量的三重积——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积第8页，课件共58页，创作于2023年2月9例：设的模为1，求a,b.解:故有两组解,

第9页，课件共58页，创作于2023年2月1.2曲面坐标系10

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。第10页，课件共58页，创作于2023年2月1、直角坐标系

11位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量

点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx第11页，课件共58页，创作于2023年2月2、圆柱面坐标系12坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量第12页，课件共58页，创作于2023年2月133、球面坐标系球面坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量第13页，课件共58页，创作于2023年2月4、坐标单位矢量之间的关系

14直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oqrz单位圆

柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系qq

ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系

f第14页，课件共58页，创作于2023年2月1.3标量场的梯度15如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：第15页，课件共58页，创作于2023年2月16标量场的等值面

标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。第16页，课件共58页，创作于2023年2月172.方向导数方向导数：

对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化。

等值面沿某一给定方向l0的变化率，称为该标量场沿l0方向的方向导数。例：温度场10C20C30C0CL1100米80米L2200米L3第17页，课件共58页，创作于2023年2月18甲：（每米的温度变化为）（0C--30C）/100m=-3/10C/m乙：（每米的温度变化为）（0C--30C）/200m=-3/20C/m丁：（每米的温度变化为）（0C--30C）/80m=-3/8C/m同一个温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同：

L1的方向导数为-3/10L2的方向导数为-3/20L3的方向导数为-3/8第18页，课件共58页，创作于2023年2月19M0为标量场u(M)中的一点，那么为标量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记作，即M0MNnl一般情况：第19页，课件共58页，创作于2023年2月20方向导数计算公式意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向减小；

——

u(M)沿方向无变化。

特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——

的方向余弦。

式中：

第20页，课件共58页，创作于2023年2月213、标量场的梯度（或）大小：该点的最大方向性导数。即沿过该点等值面的法线方向的方向性导数。方向：过M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为正法线。上例中：梯度：3/8（-L3）第21页，课件共58页，创作于2023年2月224、梯度与方向性导数的关系enelM0MNuu+u标量场沿l方向的方向导数等于梯度沿该方向的投影，即梯度与该方向的单位矢量的点乘。第22页，课件共58页，创作于2023年2月235、梯度的计算（直角坐标系中）直角坐标系中，由方向性导数与梯度的关系可得标量场u沿三个坐标轴的方向性导数：XYZ其中：是哈密顿算子，又称为矢性微分算符，具有矢量和微分的双重性质。第23页，课件共58页，创作于2023年2月246、梯度的性质：梯度的线积分与路径无关（）

该积分与路径无关的条件是被积函数可以表示为某一函数的全微分。梯度的表达式：直角面坐标系

第24页，课件共58页，创作于2023年2月25

例1.2.1

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；

(2)求该函数沿单位矢量el=

excos60＋eycos45

＋ezcos60方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为第25页，课件共58页，创作于2023年2月26表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为第26页，课件共58页，创作于2023年2月27而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。第27页，课件共58页，创作于2023年2月1.4矢量场的通量与散度281、矢量场

概念：设空间某一区域存在一矢量函数，它的大小及方向随空间位置变化（可能还是时间函数）。则称为该区域存在一矢量场：例：速度场，电场，磁场2、矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。该点附近曲线的疏密和该点矢量的大小成正比。矢量线oM

第28页，课件共58页，创作于2023年2月293、矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

在讨论矢量场通量之前，介绍有向面积元规定该面积元的正法线方向为有向面积元：对于封闭曲面，约定其外法线为正法线方向Sn面积元矢量通量的概念:与面积元的标量积定义为矢量穿过面积元矢量的通量。第29页，课件共58页，创作于2023年2月30

问题：矢量场穿过一有限大面积的通量：

其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量；

如果曲面S是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：第30页，课件共58页，创作于2023年2月31通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义第31页，课件共58页，创作于2023年2月324、矢量场的散度

为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。设想有一包围P点的闭合曲面，逐渐缩小到P点附件，则闭合曲面所包围的体积V逐渐减小，且矢量场穿过闭合曲面的通量也逐渐减少。但是在一般情况下，两者之一有一极值。该极值与闭合曲面的形状无关。定义：矢量场的散度等于该极值散度：第32页，课件共58页，创作于2023年2月33意义：矢量场穿过包围单位体积的闭合曲面的通量，又称通量密度。

散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。第33页，课件共58页，创作于2023年2月345、散度定理（高斯定理）体积的剖分VS1S2en2en1S由散度定义：该式只对微小体积V->0成立。对于有限大体积V，分为许多小体积V1、V2……每一小体积有：+）…….左=右第34页，课件共58页，创作于2023年2月35左：V为整个有限体积。右：面积之和

(1)V内两个相邻小体积的分界面

(2)V的外表面得：高斯定理。

从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即

散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。第35页，课件共58页，创作于2023年2月36直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为oxy在直角坐标系中计算Ñ·FzzDxDyDP

不失一般性，令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则直角坐标系散度的表达式：第36页，课件共58页，创作于2023年2月37根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为

同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为第37页，课件共58页，创作于2023年2月38例：已知点电荷q所产生的电场强度，求其在任何一点M处的散度。解：可见，除点电荷q所在位置(r=0)外，电场的散度处处为0。第38页，课件共58页，创作于2023年2月1.5矢量场的环流和旋度39矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场

不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。第39页，课件共58页，创作于2023年2月40如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环流的概念

矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即第40页，课件共58页，创作于2023年2月41

过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限称为矢量场在点M处沿方向n的环流面密度。

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

特点：其值与点M处的方向n有关。2、矢量场的旋度（）

（1）环流面密度第41页，课件共58页，创作于2023年2月42而

推导

的示意图如图所示。oyDz

DyCMzx1234计算的示意图

直角坐标系中、、的表达式第42页，课件共58页，创作于2023年2月43于是

同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度第43页，课件共58页，创作于2023年2月旋度的计算公式:直角坐标系第44页，课件共58页，创作于2023年2月45旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零第45页，课件共58页，创作于2023年2月463、Stokes定理Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第46页，课件共58页，创作于2023年2月474、散度和旋度的区别

第47页，课件共58页，创作于2023年2月481、矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场第48页，课件共58页，创作于2023年2月492、矢量场按源的分类（1）无旋场性质：，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场第49页，课件共58页，创作于2023年2月50（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场第50页，课件共58页，创作于2023年2月51（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分第51页，课件共58页，创作于2023年2月1.7拉普拉斯运算与格林定理

1、拉普拉斯运算

标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：第52页，课件共58页，创作于2023年2月53

矢量拉普拉斯运算概念：即注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：第53页，课件共58页，创作于2023年2月542.格林定理

设任意两个标量场

及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场

及

满足下列等式。

根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成式中S

为包围V的闭合曲面，为标量场

在S表面的外法线en

方