湖南省湘潭市潭州实验中学高三数学理月考试题含解析

湖南省湘潭市潭州实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一直两个非零向量，其中为的夹角，若则的值为A.－8

B.－6

C.8

D.6参考答案：D略2.对于非0向量，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 向量的共线定理；充要条件．

专题： 常规题型．分析： 利用向量垂直的充要条件，得到由前者推出后者；通过举反例得到后者推不出前者；利用充要条件的定义得到选项．解答： 解：∵??反之，推不出，例如满足两个向量平行但得到所以是的充分不必要条件故选A点评： 本题考查向量共线的充要条件、考查说明一个命题不成立只要举一个反例即可、考查条件判断条件的方法．3.若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为,则的值是（）

参考答案：A4.设△ABC的三个内角为A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，

cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A．

B．C．

D．参考答案：C5.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.(A)3 (B)6

(C)7 (D)10参考答案：D第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时满足条件，输出，选D.6.设函数（，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：D构造函数，∵，∴，∴为奇函数，当时，，∴在上单调递减，∴在上单调递减．∵存在，∴，∴，化简得，∴，即，令，∵为函数的一个零点，∴在时有一个零点，∵当时，，∴函数在时单调递减，由选项知，，又∵，∴要使在时有一个零点，只需使，解得，∴的取值范围为，故选D．7.“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，故选：B．8.在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右。下列说法正确的是（

）A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定参考答案：C9.设集合，如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=kx2﹣kx，g（x）=，若使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为

．参考答案：2【分析】根据题意：g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），所以二次函数图象过（1，0），即k=1，可得函数f（x）=x2﹣x，当0＜x＜1时，要使f（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）=，g（x）=，当g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，即kx2﹣kx﹣lnx≥0，令m（x）=kx2﹣kx﹣lnx≥0则m′（x）=2kx﹣k﹣≥0．实数k存在且唯一，当x=1时，解得k=1．即k=1．可得函数f（x）=x2﹣x．当0＜x＜1时，要使f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．令h（x）=x2﹣ax+a﹣1≥0，∵对一切正实数x恒成立且唯一，∴△=a2﹣4（a﹣1）=0，解得：a=2．故答案为：2．12.已知数列{an}满足a1=﹣1，|an﹣an﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016=

．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由|an﹣an﹣1|=2n﹣1，（n∈N，n≥2），可得：|a2n﹣a2n﹣1|=22n﹣1，|a2n+2﹣a2n+1|=22n+1，根据：数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，可得a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，可得：a2n﹣a2n﹣1=22n﹣1，同理可得：a2n+1﹣a2n=﹣22n，再利用“累加求和”即可得出．【解答】解：由|an﹣an﹣1|=2n﹣1，（n∈N，n≥2），则|a2n﹣a2n﹣1|=22n﹣1，|a2n+2﹣a2n+1|=22n+1，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=22n﹣1＜|a2n+2﹣a2n+1|=22n+1，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即a2n﹣a2n﹣1=22n﹣1，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＞|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=﹣22n，当数列{an}的项数为偶数时，令n=2k（k∈N*），∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=﹣22，a4﹣a3=23，a5﹣a4=﹣24，…，a2015﹣a2014=﹣22014，a2016﹣a2015=22015．∴a2016﹣a1=2﹣22+23﹣24+…﹣22014+22015==．∴a2016=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．13.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M,则点M恰好取自阴影部分的概率为

.参考答案：14.某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是

.参考答案：15.设U=，A=，若，则实数m=____参考答案：-316.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是

.参考答案：17.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

一年级二年级三年级女生373男生377370参考答案：16三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，，（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,．（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．参考答案：解：（I）由已知可得：=，由已知，，∴

…………2分所以

…………3分由，由的增区间为，减区间为

………5分（II）对于任意，总存在，使得，

……………………6分由（I）知，当时，取得最大值.………………8分对于，其对称轴为当时，，，从而………………10分当时，，，从而……12分综上可知：…………………略19.（本小题满分12分）设函数f（x）＝x－lnx，其中a≠0．（Ⅰ）若f（x）在区间（m，1－2m）上单调递增，求m的取值范围；（Ⅱ）求证：＞．参考答案：（Ⅰ）.当时，对一切恒成立，所以的单调递增区间是，因为在区间上单调递增，所以，所以；……………………（3分）

当时，由得，由得，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，……………………（4分）因为在区间上单调递增，所以，所以，得……………………（5分）当时，，当时，.……（6分）综上，当时，；当时，；当时，.………………………（7分）20.设函数.（Ⅰ）若存在，使得，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m是（Ⅰ）中的最大值，且正数a，b满足，证明：.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【分析】（Ⅰ）先由函数解析式求出最小值，再由题意得到，进而可求出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再结合基本不等式，即可证明结论成立.【详解】解：（Ⅰ）存在，使得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，当且仅当时取“”.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，熟记基本不等式，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.21.已知：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，（2）由（1）可得c=2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）∵==，∴cosAsinB﹣2sinBcosC=2cosBsinC﹣sinAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosC+2cosBsinC，∴sin（A+B）=2sin（B+C），∴sinC=2sinA，∴=2；（2）由（1）可得c=2a，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴4=a2+4a2﹣a2，解得a=1，则c=2，∵cosB=，∴sinB=，∴S=acsinB=×1×2×=．22.已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考