我对这本书中提到的所有概念都非常熟悉,甚至所以然

作为本科专业就是数学的学生，我对这本书中提到的所有概念都非常熟悉，甚至“所以然”的层面——为什么这些概念是这个样子，以及这些概念背后的数学理念，也有一定的了解。所以，请允许我在某些地方直接跳到“所以所以然”的层面，在阐述自己对数学理念的理解的同时，分析一下作者在这里这样写是如何表现数学理念的。这本书第一章以“模型”为开篇，表达的是数学与现实世界互相作用的方式。这本书的名字叫“数学是什么”，而第一章的目的，我认为是阐明“数学不是什么”。传统的印象中，数学经常是认识世界本质并改造世界的角色，但真正的数学却是一套抽象的理论体系。它的发展可能有物理学与应用的需要作为动力，但数学本身不负责描述客观世界，它只是提供一个自洽的、可能用来描述客观世界的体系。作者举的几个例子都表明，数学要想与现实世界发生作用，只能经过“建模”与“解释”两个步骤间接地进行。这之中，现实世界的许多因素被忽略掉了，只剩下最简单的数量关系。但数学能够保证的是，在这个自洽的体系之内进行的一切过程都是完全准确而自洽的。数学求真，但并不是客观世界的“真实”，而是体系完整与逻辑自洽。大学时，我见到某个论坛上有人提问：如果你穿越到魔法世界，你的专业是做什么的？我对此的想法是，“魔法世界”意味着自然规律与现实世界不同，因此物理学对应的就是同样对自然规律即“魔法”的研究；但数学作为思维工具，本身并不依赖于包括（部分）自然规律在内的物理现实。因此，即使在魔法世界，数学也依然是数学，只不过不同体系的发展顺序有所不同。即使能量不守恒，只要存在规律，数学便有动力去建立一个适应这套规律的体系。这一章末尾自然地引出，作为模型的数学，其本身便具有不依赖客观事物的抽象性，进而引出下一章的抽象。“模型”使读者对数学的认识摆脱了实在的事物，接下来便可以进入“抽象”的领域了。第二章写的，则是数学的“数与抽象”。这一整章其实都在围绕着一句话来写：“数学对象是其所做”。对于一个数学对象，它唯一能做的，就是与其它数学对象进行运算，得出结果。作者提出了（抽象的）象棋棋子的比喻：要描述一个棋子，我们不得不提到其它棋子与游戏规则。当我们完整地描述了这个棋子在游戏中与所有其它棋子可能的相互作用，以及在游戏规则中的地位时，我们就完整地描述了这个棋子。同样，定义了一个抽象的数学对象能做的所有事及其结果，就等于定义了这个数学对象。作者接下来举了一个例子：零。围绕着零，作者阐述了对零的传统认识（“什么都没有怎么可能存在”，我自己也从课外了解到零曾被当作“玷污了数”的“怪物”）以及抽象认识（加法单位元）。两相对照，使读者清楚地了解到抽象思维的不同之处：讨论一个对象时，直接定义它所做的，而不考虑它的意义，并由定义与运算法则推出它应具有的其余性质。由此，当我们扩展我们能做的事时，我们就能够创造新的数学对象。从自然数开始，当我们加入加法逆元并要求数集对其封闭时，我们就得到了整数；当我们加入乘法逆元并要求数集对其封闭时，我们就得到了有理数；当我们要求多项式方程必须有解时，我们就得到了实数和复数。在创造新的数学对象时，作者一再重申，先不要试图寻找这些对象的意义，而是先看看它们能做什么。想起小学、中学时，负数、分数、无理数的引入是因为“数不够用了”。当时的“不够用”，大部分是实用的意义。但复数引入时，中学老师说的却是“使所有多项式方程有解”。而这本书中，作者一开始就用“使某种方程必定有解”的方式，如同四次变奏一般从自然数一步步扩展到复数。这之中，并未涉及任何实用意义——将数完全建构在了抽象的体系之上。在这本书里，我找到了虚根成对的深层原因：当初定义虚数单位i时，我们唯一规定的性质是平方根为-1，这使得它从与实数的相互作用来看和-i无法区分。如果说第二章解释了数学如何构建概念，那么第三章“证明”则解释了数学如何构建定理体系。作者从证明2的平方根是无理数开始，这也是我最早接触的“真正的”数学证明之一。但作者并不满足于叙述证明本身——作者转过头来就问我们，“为什么奇数乘以奇数一定是奇数？”“为什么一个数不是奇数就是偶数？”这种“打破砂锅问到底”不仅是为了引出数学归纳法，更是在叙述公理化方法的必要性。随后，作者解释了数学的“求真”体现在哪里——一切数学证明的有效性，理论上都是可以完全确定的。圆的分割问题表明证明不能靠直觉上的“想当然”，而算数基本定理等三个定理表明，看似简单、显然的定理，其证明可能非常复杂。二、三两章是这本书的核心，着重说明了“数学是什么”的问题。有了抽象与证明，再加上各个数学体系分支的公理，就可以推出整个数学体系。接下来的几章，将会把刚才学到的体系推演方法，应用于一些一般人略有耳闻但通常都是一知半解的数学用语上，以练习这些读者刚得到的“武器”。第四章“极限与无穷”展示了一个超出我们认知范围之外的事物——无穷。在第二章中，作者说明过，若是把无穷作为一个具体的数引入我们的体系，就会导致其不自洽。而在这一章中，作者在第一个例子“无限小数”中拍出应对方法，“数学对象是其所做”。而我们从经验上认为，无穷相对于有限的一个重要特征是“要多大有多大”——这就够了。我们无法直接“碰到”无穷，但我们能够通过“任意的有限”来构造“要多大”，再通过一个可以不断重复的过程来实现“有多大”。通过同样的方式可以构造“要多近有多近”，即极限的概念。不管是无限小数、瞬间速度还是曲边图形面积，都可以用这种方式严格定义。第五章“维度”则是抽象原理的应用。作者再次重申，不要去想象高维是什么样，而是要考虑高维有什么性质使其成为高维——不过是一个完整的坐标系需要更多的坐标（或者说能容纳更多线性无关向量）而已。其它的性质都是三维中已有的性质的直接推广。至于分数维，作者介绍了一种本着与原有维度定义自洽的原则，采用了尺寸放大时的图形放大比例来定义的方式，但也不排除其它的定义。在这一章，通过维度，作者还阐述了如何推广一个概念——比如距离——的方式，那就是找出这个概念在原有领域（如低维）与目标领域（如高维）都具备的性质。“”第六章“几何”用到的则是证明一部分的内容。作者一开始给出的几何公理体系是欧几里得几何的用意有两点：第一，这是最经典的公理体系，这些公理足够基本，足够“废话”，并且可以推出（平面）三角形内角和为180度等定理，是一个很好的公理体系范例；第二，这个体系与一些地理事实矛盾，而解决方法是“地球是圆的”，说明当公理体系与实践矛盾时，应该质疑的是公理体系的公理，即基本假设。作者通过对比平面几何与球面几何，从而证明平行公设必须是公理而不能被证明这一点，表现了比较不同体系下的相同论述是发现隐含假设的办法——在平面上以前四条公理所做的论述，都能被照抄到球面上，但球面上平行公设显然地不成立。因此可以认为，平行公设隐含假设了平面几何。这又给出了新的启发：改变平行公设，就可以得到不同的几何体系，即球面几何和双曲几何。第七章“估计与近似”则是数学偏向实用的部分，但即便是“近似”的概念，在数学中也是精确定义了的。这一章的风格与其它章节相差较多，但也有基本的思路阐述：何时需要近似，有多少种近似，各种近似在什么条件下有意义，以及计算复杂度概念的初步介绍