考研极限试题

“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学指导资料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，跟着高等教育的普通化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促进愈来愈多的大学毕业生选择考研持续进修，希望能学到专业的知识，获得更高的学历，以加强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生因为各种的原由希望经过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表示：应届与往届的考生基本各占一半。自1989年起，研究生入学数学考试推行全国一致命题，其命题的范围与内容严格依据国家考试中心拟订的“数学考试纲领”，该考试纲领除了在1996年实行了一次重要的修理之外，从1997年起向来沿用到现在，但时期也进行了几次小规模的补充。所以要求考生能实时认识掌握当年数学考试纲领的变化，并能按纲领指明的“认识”，“理解”，“掌握”的不一样考试要求系统有要点的复习。往常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试对比，考试的深度与难度都将大大的增添，命题者常常将考试成绩的希望值设定在80（按总分150分）左右命题，试题波及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合剖析技术（包含各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，裁减率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本指导讲义。该讲义共分三个部分，编写时严格依据考试纲领，含盖面广、量大，在突出要点的同时，着重于基本观点的理解及基本运算能力的培育，力争给同学们做出有效的指导。第一章函数极限与连续考试内容函数的观点及其表示，函数的有界性、单一性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的成立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无量小与无量大的关系，无量小的性质及无量小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的观点，函数中断点的种类，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的观点，掌握函数的表示法，会成立简单应用问题中的函数关系。2、认识函数的有界性、单一性、奇偶性及周期性的观点，注意这些问题与其余观点的联合应用。3、理解复合函数、分段函数的观点，认识隐函数、反函数的观点。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的观点，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无量小、无量大的观点；掌握无量小的比较方法，会用等价无量小计算极限。9、掌握利用罗必达法例求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的观点，会鉴别函数中断点的种类。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理），并会利用这些性质。§1函数一、函数的观点二、函数的性质：有界性、单一性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点）：四则运算、复合运算（复合函数）、逆运算（反函数）；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题21、（88）已知f(x)ex,f[(x)]1x，且(x)0，求(x)及定义域。2、（92）已知f(x)sinx,f[(x)]1x2，求(x)定义域。3、设f(1)x(1x21),x0，求f(x)。x4、

f(sinx

1sinx

)

sin2

x

12

x

3，求

f(x)

。2x,x025、（97）g(x)x,x0,求g[f(x)]。2x,x,f(x)0x,x06、设f(x)1x,x0，求f[f(x)]。1,x01,x17、（90）f(x)x，求f[f(x)]。0,1x221x08、求y0x的反函数。x2112x2,x19、（96）设函数f(x)x3,1x2，12x16,x21）写出f(x)的反函数g(x)的表达式；2）g(x)能否有中断点、不行导点，如有，指出这些点。1cab，试证：f(x)为奇函数。10、设f(x)知足：af(x)bf( ),a,b,c为常数，且xx11、xR,f(x)知足：2f(x)f(1x)x2，求f(x)。12、设f(x)连续，且sinx，求(),lim( )。f(x)x2limf(x)fxxfxx13、（89）设f(x)连续，且f(x)1x2f(x)dx，求f(x)。014、（97）设f(x)11x2112f(x)dx，求f(x)dx。1x00§2极限一、定义及性质（1）独一性；（2）局部有界性；（3）局部保号性:（i）若f(x)0,(或f(x)0),且limf(x)A，则A0(或A0);xx0oo（ii）若limf(x)A0(或A0),则U(x0,),xU(x0,)，f(x)0(或f(x)0);xx0二、求极限的方法（要点）1、用定义证明和察看法11如limarctanx;limarctanx;limex;limex0。x2x2x0x02、用极限的四则运算法例和函数的连续性3、用两个重要极限：i)sinx1sinu1）limx（或limx0u0u注意比较以下几个极限：limsinx0，limsinx1，limxsin11，limxsin10xxx0xxxx0x1)x1)n1ii)lim(1e,lim(1e,lim(1x)xexxnnx011)u一般形式：lim(1u)ue，lim(1eu0uu往常对于含三角函数的0型极限用i)，对于1型极限用ii)。04、(1)用等价无量小计算极限0时，常有的等价无量小有sinx,tanx,ln(1x),ex1,arcsinx,arctanx~x,1cosx~1x2,(1x)1~x(0).2注意：x的宽泛的代表性sinu,tanu,ln(1u),eu1,arcsinu,arctanu～u1cosu～1u2,(1u)1～u等2有界函数乘无量小仍为无量小。5、用罗必达法例设（1）limf(x)0()，limF(x)0( )，（xx0或x）（2）在x0的某个去心邻域内（当x充分大时）f(x),F(x)可导，且F(x)0（3）limf(x)A()F(x)则limf(x)limf(x)A()F(x)F(x)基本种类有0和。对于0,，能够经过初等变形转变为0和。对于1,0,00，00经过取对数再用罗必达法例。6、用变量代换注意：该方法要视极限的详细形式而定，如：在计算

xx0的极限时，假如被求极限中含有xx0的因式时，能够令xx0=t；在计算x的极限中，假如被求极限中含有1，则可令1t。在研究xx生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则夹逼（两边夹）定理；单一有界定理：单一递加（减）有上界（下界）的数列必有极限。8、利用导数定义9、用定积分定义当已知函数f(x)可积时，有nlimni1

f(i)11nf(x)dx，lim0nnni1

f(ia)11f(ax)dx=1f(x)dxann0a0ni)11a1limf(af(ax)dx=f(x)dxn1nn0ailimn(ba)i)baf(x)dxbn1nnai10、用微分和积分中值定理11、用Taylor公式注意：下边几类极限一般要议论左右极限：分段函数在分段点的极限；x0时，与绝对值或开偶次方根相关的极限；1x0时，含有形如axx0因式的极限。三、无量小阶的比较设,均为无量小，且不为0，假如：（1）lim/0时，则称是的高阶无量小，或称是的低阶无量小，记0( )。（2）lim/c0时，则称与为同阶无量小，特别当c1时，称与是等价无量小。（3）lim/kc0时，则称是的k阶无量小。注意：无量小的比较是在数学考试中一个常常考的考点，特别在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数f(x)与另一已知函数g(x)是同阶无量小，求f(x)中所含的参数；当函数f(x)知足什么条件时，是xn的同阶（高阶）无量小；将给出的几个无量小按其阶从小到大摆列。例题（一）极限的计算1、（00）设对随意的x，总有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，则limf(x)：xx（A）存在且等于零，（B）存在但不必定为零，（C）必定不存在，（D）不必定存在。2、（1）limexsinx；（2）limtanxx；x0xcosxsinxx0x2sinx3sinx3）（97）lim0(1cosx)

x2cos1（4）（00）limarctanxx。ln(1x；x)x0ln(12x3)3、（1）lim1x1tanx；（2）（99）lim1tanx1sinx。x01x1sinxx0xln(1x)x214、（1）（00）lim(2exsinx)。（2）（05）（数三、四）lim1x1(3)x04xx01exx21ex5、（1）lim[(11)xe]x；（2）limx(x2100x)。xxx6、（1）（04）求极限lim13[(2cosx)x1]；（2）（93）lim3x25sin2；x0x3x5x3x7、（1）（99）lim(11)；（2）（94）lim[xx2ln(11)]。x0x2xtanxxx1113x1axbxcx8、（1）（03）lim(cosx)ln(1x2)；（2）lim,(a,b,c0)。x0x3x(xt)f(t)dt9、（05）设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim01)x(x02x0f(xt)dt10、（07）limarctanxsinx=。x0x3（二）对于数列极限：10、（03）设an,bn,cn均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn，则必有：nnn（A）anbn对随意n成立；（B）bncn对随意n成立；（C）极限limancn不存在；（D）极限limbncn不存在。nn11、（98）设数列xn与yn知足lim(xnyn)0，则以下判断正确的选项是：n（A）若xn发散，则yn必发散，（B）若xn无界，则yn必有界，（C）若xn有界，则yn必为无量小，（D）若1为无量小，则yn必为无量小。xn12、（1）（98）lim(ntan1)n2；（2）limn(nn1)。nnn（3）（02）limln[n2na1]nn(12a)13、x12,x222,...,xn22L2，求limxn。n14、（96）x10,x6x，证明limx存在并求之。1n1nnn15、（97）设a12,an111存在。(an)，证明：limann16、设x12,xn121,(n1)，求limxn。n17、（06）设数列xn知足0x1，xn1sinxn，n1,2,1证明：（1）limxn存在，并求该极限；xn2（2）计算limxn1nnxn18、lim(111)。n2n2....n12n2n19、（95）lim(12....2n22)。nnn1nn2nnn（三）极限中常数确实定20、（04）若limsinx，求a、b。x(cosxb)5x0ea21、（1）（97）设x0时，etanxex与xn是同阶无量小，则n?（2）（96）设x0时，f(x)ex1ax为x的三阶无量小，求a,b。1bx（3）（05数二）当x0时，(x)kx2与(x)1xarcsinxcosx是等价无量小，则？1cosx2dt，g(x)x5x6，则当x0时f(x)是g(x)的（（4）设f(x)sint）056A：低阶无量小B：高阶无量小C：等价无量小D：同阶但不等价无量小（5）（06）试确立常数A,B,C，使得（1/3，-2/3，1/6）ex(1BxCx2)1Axo(x3)22、（98）求a,b,c，使limaxsinxc,(c0)。3x0xln(1t)dttatanxb(1cosx)23、（94）设lim2x)d(1ex2x0cln(1)（A）b4d，（B）b4d，

2,a2c20，则有：（C）a4c，（D）a4c。24、（1）（01）设当x0时，(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高阶的无量小，而xsinxn是比(ex21)高阶的无量小，则正整数n等于：（A）1，（B）2，（C）3，（D）4。（2（）01）已知f(x)在(,)内可导，且limf(x)e，lim(xc)xlim[f(x)f(x1)]，xxxcx求c的值。25、（02）设函数f(x)在x0的某个领域内拥有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0，若af(h)bf(2h)f(0)在h0时是比h高阶的无量小，试确立a、b的值。26、（02）设函数f(x)在x0的某领域内拥有二阶连续导数，且f(0)0，f(0)0，f(0)0，证明：存在唯一的一组实数1,2,3，使得当h0时，1f(h)2f(2h)3f(3h)f(0)是比h2高阶的无量小。27、lim(3ax3bx2xx)1x3

，求a,b。§3连续与中断一、f(x)在点x0连续（要点）：limf(x)f(x0)或limy0。xx0x0初等函数在定义区间内是连续的，分段函数分界点的连续性要用定义议论。二、若f(x)在点a不连续，称a为f(x)的中断点。中断点分两类：第一类中断点（左、右极限都存在）：可去中断点（左、右极限都相等）和跳跃中断点（左、右极限不相等）第二类中断点：无量中断点（起码有一侧极限为无量大），振荡中断点等。注意：这一部分在数三、四中是一个常考的考点，主要以已知连续性或中断点的种类确立参数，计算题中以议论中断点种类并补充定义使其连续为主；在数一、二中一般不独自以单个观点出题，往常会跟函数的成立、极限、微分方程等观点联合考察。三、闭区间上连续的函数有以下性质：1）最值定理：闭区间上连续的函数必定取到最大值M和最小值m（必有界）；更一般地：我们能够获得以下结论设f(x)在开区间(a,b)内连续，且limf(x)及limf(x)都存在，则f(x)在(a,b)内有界。xaxb2）介值定理：闭区间上连续的函数必定取到介于最小值和最大值M之间的任一数；3）零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)与f(b)异号，则起码有一点(a,b)，使得f()0。推行的零点定理：设f(x)在区间(,)上连续，且limf(x)()，limf(x)( )，则起码存xx在一点(,)，使f()0例题1etanxx0arcsinx1（02）设函数f(x)在x0处连续，则a=。2ae2xx0ln(1ax3)x0xarcsinx203x0af(x)在x0a）设函数f(x)6，问为什么值时，处连续；为（eaxx2ax1x0xxsin4何值时，x0是f(x)的可去中断点？3、（00）设函数f(x)x,)内连续，且limf(x)0，则常数a、b知足：bx在(aex（A）a0,b0,（B）a0,b0,（C）a0,b0,（D）a0,b0.4、（05）设f(x)1，则（）xex11（A）x0,x1都是f(x)的第一类中断点。（B）x0,x都是f(x)的第二类中断点。1（C）x0是f(x)的第二类中断点,x是f(x)的第二类中断点1（D）x0是f(x)的第二类中断点，x是f(x)的第一类中断点15、（04）设f(x)lim(n21)x，则f(x)的中断点为x。nnx16、（98）设f(x)lim1x2n，议论f(x)的中断点，结论为：n1x（A）不存在中断点，（B）存在中断点（C）存在中断点x0，（D）存在中断点7、以下命题中正确的选项是（）

1，1。（A）设函数f(x)在xx0处连续,g(x)在xx0处不连续，则f(x)+g(x)在xx0处必不连续（B）f(x)，g(x)都在xx0处不连续，则f(x)+g(x)在xx0处必不连续（C）设函数f(x)在xx0处连续，g(x)在xx0处不连续，则f(x)g(x)在xx0处必不连续（D）f(x)，g(x)都在xx0处不连续，则f(x)g(x)在xx0处必不连续x8、（98）求f(x)(1x)tan(x))内的中断点及种类。4在(0,21(exe)tanx,]上的第一类中断点是x9、（07）函数f(x)1在[x(exe)(A)0;(B)1;(C);(D)。2210、设f(x)在[a,b]上连续，且a2f(x)b2，求证：[a,b],使f( )2。11、f(x)在[0,1]上非负连续，f(0)f(1)0，证明：对lR(0l1),x0[0,1]，使f(x0)f(x0l)。12、证明：方程xpqcosx0恰有一个实根，此中p,q为常数，且0q113、设f(x)在[a,b]上连续，ax1x2b，试证，对两个正数t1与t2，必定点c[a,b]，使t1f(x1)t2f(x2)(t1t2)f(c)。（此题的证明思想应掌握，并应能将结论推行到更加一般的状况）14、（04）函数f(x)xsin(x2)在以下哪个区间内有界：x(x1)(x2)2（A）（－1，0）；（B）（0，1）；（C）（1，2）；（D）（2，3）。单元练习1、求函数f(x)sin(x)的定义域2、函数f(x)ln(1e1x)的定义域为______________。3、若f(x)的定义域为（0，1），则函数f(ex1)的定义域为___________。4、f(x)xsinxecosx，x(,)是（）（A）有界函数（B）单一函数（C）周期函数（D）偶函数n2n为奇数５、xnnn，则当n时，xn是（）1为偶数n（A）无量大批（B）无量小量（C）有界变量（D）无界变量６、设f(x)是连续函数，且f(x)x12f(t)dt，则f(x)＝_____________07、当x0时，以下四个无量小量中，哪一个是比其余三个更高阶的无量小（）（A）x2（B）1x21（C）xtanx（D）1cosx28、设f(x)，g(x)在x0的某个领域内连续，且当x0时f(x)是g(x)高阶的无量小，则当xxxtg(t)dt的0时，f(t)sintdt是（）00（A）低阶无量小（B）高阶无量小（C）同阶但不等价无量小（D）等价无量小5x9、(x)0

sintdt，(x)1dt，则当x0时(x)是(x)的（）sinxt0（A）低阶无量小（B）高阶无量小（C）同阶但不等价无量小（D）等价无量小10、已知limln(1x)(axbx