期末试卷安大网络书店提供电动力学mk chapter

证明定律在交换下是协变的方程在变换下不是协变证明根据题意不妨取如下两个参考系并取分别固着于两参考系的直角坐标系且令t0时两坐标系对应轴重合 计时开始后系沿系的x轴以速度v作直线运动根 变换xxyztt 定律 v在系 F

Fdt2

vdtvQxxvt,yy,zz,t d2[xvt,y,

md2 F

dt2

v2v dv2可见在系中定律有相同的形式F所以定律在变换下是协变

v以真空中的麦氏方程E

B为例q位于O点并随B在中q是静止的故:v v,v0B

于是方程vBrE将v v写成直角分量形式;

(x2(x2y2z2)3(x2y2z2)3

v(x2(x2y2z2)3

ex ey由变换关系有在中

[(xvt)2[(xvt)2y2z2]3E[(x[(xvt)2y2z2)3v

zq

v3

ex

eyvE [(yz)ex(zxvvv

vt)ey(xvt

y)ez可见E 又在系中观察qvex运动J此时

于是E 设有两根互相平行的尺在各自静止的参考系中的长度均为 对于某一参考系运动但运动方向相反 且平行于尺子求站在一根尺子上测量另一根解根据相对论速度交 可得 1相对于1v

1vc在1系中测量2系中静长为l0 1cl1c

1v21v即得l c

c此即是在系中观测到的相对于v v1 c静止长度为l0的车厢vs运行车厢的后壁以速度u0个小球求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间解根据题意取地面为参考系SS1v1vc车 l 车 球速u 0u1cS中观察小球在此后v l01

uvl(10t

u

u0v1u0c一辆以速度v运动的列车上的观察者在经过某一高大建筑物时看见其避雷针上跳起一脉冲电火花电光迅速先后照亮了铁路沿线上的两铁塔求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差设建筑物及两铁塔都在一直线上与列车前进方向一致铁塔到建筑物的地面距离已知都是解由题意得右示意图取地面为静止的参考系 列车为运动的参考系xx轴平行同向与列车车速方向一致令t0时刻为列车经过建筑物时并令此处为系与的原点如图在系中光经过tl0的时间后同时照亮左右两 c但在系中

xl0v

(1v)11cvx

xxvxlv

(1v)1vc1vc1 cv2dxo (11 cv2 d

o (1v)1 cv1 cv21 cv2cc1v20tdd 1(1v)(1v) 1 cv2cc1v20有一光源S与R相对静止距离为lS R装置浸在均匀无限的液体介质静止折射率n中试对下列三种情况计算光源发出讯号到收到讯号所经历的时间SRSRv液体垂直于SR连线方向以速度v运动解1 液体介质相对于SR装置静止时

cSRv取固着于介质的参考系 系沿x轴以速度v运动在系中测得光速cn由速度变换关系得在系中cv1v (1vR接收到讯号的时间为t2 vnSRv同2 中取相对于S-R装置静止的参考系为系相对于介质静止的系为系如下建立坐标可见ux

R Rv

在系中y

uy11 cvc22v

uy1vuy1vcc

c22v2 1c22v2 1cnc2v1 cvc在坐标系ux轴运动在l不vx轴运动他看到这两个物体的距离是多少解根据题 系取固着于观察者上的参考又取固着于 B两物体的参考系为在中A,B以速度u沿x轴运动相距为 在系中 B静止相距为

l1u1uc1uc又系相对于以速度v沿x轴运动系相对于系以速度u沿x轴运动 系相对于系以速度vu1c

x在1c1cl

c1c一把直尺相对于系静止直尺与x轴交角 今有一观察者以速度v沿x轴运动他看到直尺与x轴交角有何变化解取固着于观察者上的参考系为在系 lxl lyl1v1vcv1c 系 lx ltglllx

l1v1vc

l两个惯性系和中各放置若干时钟同一惯性系的诸时钟同步相对于vx轴运动设两系原点相遇时

t 问处于系中某点 处的时0与系中何处时钟相遇时指示的时刻相同读数是多少解根据变换关系得0x

xvtLy yL(zzLLLL t t

L(z设P(xyzt处的时钟与系中Q(x,yzt处时钟相遇时在 式中有t

解得x

c1c1cvv

)代入 得

vx

)11cv1 vc 相遇时ttv火箭由静止状态加速到v

v20m 解1 在静止系中加速火箭令静止系为系瞬时惯性系为系且其相对于系的速度为

xvv1c

v是火箭相对于

v,v,在系中

u2 c

(1uv c

a

dt 而系相对于火箭瞬时静止uv,v v2a

a(1 )2 20

v2)c

a0 t 47.5一平面镜以速度v自左向右运动一束频率为0 与水平线成0夹角的平面光波自左向右入射到镜面上求反射光波的频率及反射角 解1 平面镜水平放置取相对于平面镜静止的参考系为系取静止系为系并令入射光线在平面xoy内在系中入射光线kixkcos0kiyksin0kiz0,i由变换关系得kk

(k00ksin

vc iz(vkcos 在系中平面镜静止由反射定律可得k(kcosv

);kk c

k0;(vkcos0 代入逆变换关系得

v)c

vc

)]kcoskryksin

vc

0在系中观察 入射角02

反射角

若垂直入射02

镜面垂直于运动方向放置同 选择参考系并建立相应坐标在系中入射光线满足kixkcos0kiyksin0kiz0,i由变换关系得kk

(k00ksin

vc iz[v(kcos)](vkcos 在系中平面镜静止由反射定律可得k(kcosv

)(k

v

);kk c

c

k0;(vkcos0 代入逆变换关系得

v)c

vc

kryksin

vc

0v0v其中k .并令 反射光满 反射 tg

反射光频率2[(1cos(cos 如果垂直入射0 于是系中会观察到ir0反射光频率2(10 变换中若定义快度y为tanhy证明变换矩阵可写 a

0 0 对应的速度合成yy 对应的速度合成 证明

a

0 0 其中

(chy)2exex e(chy)2Q(chy)2(shy)2 又thychy a

0 0 速度合

thythythy由定义thy

e2ye2y

,thy

e2ye2y thythy e2(y) 得1thythy e2(yy) th( ythyth(yy),yyy vvP0以速度v作匀速运动求它产生得电磁势和场,AE 解选随动坐标系v

P0

v在系中P产生的电磁势 P0R,A30R 30R v

v

[3(P0R)R

v

~3],B势A

vi 由逆变换A A Ax i0A

y

0得A 0iz

~系中电磁势 P0~ R AAxex exc2exc2v v电磁场 v

r

B

B

0,

(Bc

E

(c

c2由坐标变换xaxx ixy 0yz

0z ict xxyzt=0

xRyRz

(x,y,z)(x,y.,v设在参考系

vv的方向运动问 v v解如图系以

vx轴方向相对于

v vB)

BB平 平

(Bc

(Bc

令 则EvBv两边同时叉乘B并利用矢量分析EvEvB v (EB,B

vBQv 即若v v

cvv vv vv2 2vB 同理Bv

则B Ec两边同时叉乘E并利用矢量分析vBvE c cBvEQv

v (EE Ec

取模v BEv

c

v

c 则当v (EB)时 EE做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生压缩这时在电荷的运动方向上电场v与库仑场相比较会发生减弱如何理解这一减弱与变换 E 解e以速度vv沿x轴方向运动选e在系中 0平 40由变换 得 0 平 40

xyzv v0 E平行(1c2)4r3(1c2 E0为系中库仑0当vc时E平行 压 有一沿z轴方向螺旋进动的静磁场BB0(coskmzexsinkmzey 其km m为磁场周期长度z轴以速度vc运动的惯性系m性系中观察到的电磁场1时该电磁场类似于一列频率为ckm的圆偏振解由电磁场变换式在 E平行E平行 E(EvB)vBcezB0(coskmzexsinkmzey B B平 B B E)c2B

sinkze EcB0(sinkmzexcoskmzey rrcB0[cos(kmz2)exsin(kmz2rr BB0(coskmzexsinkmzeyr

vcv当1时v B, 矢量k(k,i )的变换关系得ka k(kv)k,kk0,kk0,(vk) c 该圆偏振电磁波的频率为有一无限长均匀带电直线在其静止参考系中线电荷密度为 该线电荷以速vc沿自身长度匀速移动d点电荷 在直线静止系中确定力然后用力变换 在直线静止系中由定理d处的电场强度为

eee veee v磁场v0.e受力v vvv v

B eE

iv 矢 e受到 力矢量为

v

(k, vv

F ckv (Fkx k y

kz

2d

0k kk 0,

v 2d, 2

v1cv1ce受力F K 在直线静止系中电流密 矢量J

v vJ

(J, 设不 则SJ

(0,0,0, S

由变换JaJJx Jy J z J J

c,

J

0,SJ

(c,0,0, 在 xyz系中线电荷密度为 电流为I 定理e处场强为E

d 取er 0I 环路定律得e处磁感应强度为B2de所受 力为v

eevev0I

2d0cv2 0c

r

2)er

rr质量为M得静止粒子衰变为两个粒子m1和 解衰变前粒子的动量为v 能量为wMc 衰变后设两粒子动量为 pp2c2m2c22量分别为w p2cp2c2m2c22

p1, p1p2p 由

p2c2m2c11p2c2p2c2m2c11p2c2m2c222

Mc c[M2(mc[M2(mm)2][M2(mm)2 m1E1

c2[M2p2c2p2c2m2c11

m22 的两2粒子解由 p1p2

p2p

p

2pp

pm 1由能量守 代入 m2m2m22 ppcos c p1设E和v是粒子体系 参考系中的总能量和总动p

px 相对于以速度v沿x轴方向运动中的粒子体系总能

E

),E(E

),tg (cosE 证coscos1

sin 考虑在ddcosd的光束证明当变换到另一惯性系时证

d v动量矢量p( c

满 pv p c (p p pxE(Evpx)(Ecpxp在p

vx轴的夹角tgpy p (pcosEc

(cosEv 波矢量k(k, c对沿x轴方向的特 k(kvc ck k3(k 代入 式

kcos

cosc

c1vc

cos11sin1

1v2c2sin1vcosc

在另一个惯性系中ddcosd对沿x轴方向得特 变换 coscos1

中已 d

ddcos

cosd(1

)(12)dcos(1cos

d 考虑一个质量为m1 能量为E1的粒子射向另一质量为m2的静止粒子的体系通常在高能物理中选择质心参考系有许多方便之处在该参考系中总动量为零求质心系中每个粒子的动量 正负电子对撞机 的设p,pp能量为2 2.2GeV(1GeV=103p,pp解(1)

vv vv 能量为E2p2c2m2c4E2p2c2m2c 系 p20,p1E2p2c2m2c4,E2m2c pc

1112cc2

c

E1

E1c pc2112cc2

c

E2

E2c pc(EE c 得E1E2(E1E2pc(EE c

E Emc

E2m2E2m2c

r v 2

p2p2c2m2c11p2c2p2c2m2c11p2c2m2c22 2

21

EEE(m2m2)c22m

M2c4m2c4m2c42mEc

2 2 v

2[p

E)]

E2 p2,c (p,c2质心系中prv E)] [ p2,c 由不变量ppp得2mE1e c E1 11.9104GeVmec2v电荷为 质量为m的粒子在均匀电场E内运动初速度为零试确定粒子的运动迹与时间的关系并研究非相对论情况解1 v

1vcv1vcv分量式为dPx0,dPy0,dPz 由题意PxPy 当t0时Pz PzP2cP2c2m2ce2E2c2m2c1vc1vc eEce2E2c2m2e2E2c2m2c 设粒子从 0运动 eEc e2E2ce2E2c2m2ce2E2c2m2c

mc1(eE1(eE dv 力学方程eE

P,Pmv分量式dPx0,dPy0,dPzeE 由题意PxPy 当t0时Pz Pz

eE

eE由 zz

设粒子从 0运动则z

tdt m

Ee Bey解设系oxyz以uv沿z轴运动 0时o,o重QE 当u 2E B时在

内 E平 E平 Eu(EuB)u(Eu B2 u u(Ec2 E)uE(1E2

)c u 即E21题结果e在xmc2 z iuzx

变换y

y ict zuzcutxyy11ux u

1],y0,zut,其中u B,u 11 cu2已知t 0时点电荷q1位于原点q2静止于y轴(0,y0,0)上q1以速度v沿x轴匀速运动试分别求出q1 q2各自所受的力如何解释两力不是等值反向解选参考系q1上在系观察时粒子静止只有静电场 0为E14r3B10在系中观察q1

vvx , 4 4 4 c24 c24

vE(12

v

Bv v 4[(12)r2 )2 v

E1

01012y0

v1c1v00 qqeq受力F q(E00 v同理q产生场E

q ,B0 0

vv2 qvv2在q处

2

,B 4y000v qqq受力 q(EvB) 12

4y0 两个静止电荷q位于y轴上相l2

vx 此属于静电场情况两电荷之间的静电库仑0F q04l

由上题求得原点处q在 l处产生的电磁场 v BvE E l处q受力

c c2q1y2v q1y2vFq(EvB)qE vEv

q(12)Eq0 q0F

c

4l频率为的光子能量为

动量为 碰在静止的电子上试证电子可以散射这个光子散射后光子频率比散射前光子频率小不同于经典理论中散射光频率不变的结论p证明 设电子可以吸收这个光子反应后它的动量为 反应前光子能量 电pm2c4p2cm2c4p2ce

vhkv

hk 能量守恒hmec2 式代入 hmec22hmec2

m2c4m2c4em2c4(hep2)电子可散射这个光子散射后的频率为 p

hkhkp2(hk)2(hk)22h2kkh()

hmec2mm2c4p2ce

m2c4pm2c4p2ce

Qp h()