帕德逼近算法

《MATLAB程序设计实践》课程作业一、用MATLAB编程实现“帕德逼近”的科学计算算法，及举例应用。1）帕德逼近算法说明如下：帕德逼近是一种有理分式逼近，逼近公式如下：大量实验表明，当L+M为常数时，取L=M，帕德逼近精确度最好，而且速度最快。此时，分子与分母中的系数可通过以下方式求解。首先，求解线形方程Aq=b，得到（…）的值，其中，，然后，通过下式求出的值。注意，函数的帕德逼近不一定存在。在MATLAB中编程实现的帕德逼近法函数为：Pade。功能：用帕德形式的有理分式逼近已知函数。调用格式：f=Pade(y,n)或f=Pade(y,n,x0)。其中，y为已知函数；n为帕德有理分式的分母多项式的最高次数；x0为逼近点的x坐标；f为求得的帕德有理分式或在x0处的逼近值。2）程序源代码如下：①在m文件中编写实现函数的Pade逼近的代码如下：functionf=Pade(y,n,x0)%用帕德形式的有理分式逼近已知函数%已知函数：y%帕德有理分式的分母多项式的最高次数：n%逼近点的坐标：x0%求得的帕德有理分式或在x0处的逼近值：fsymst;A=zeros(n,n);q=zeros(n,1);p=zeros(n+1,1);b=zeros(n,1);yy=0;a(1:2*n)=0.0;for(i=1:2*n)yy=diff(sym(y),findsym(sym(y)),n);a(i)=subs(sym(yy),findsym(sym(yy)),0.0)/factorial(i);end;for(i=1:n)for(j=1:n)A(i,j)=a(i+j-1);end;b(i,1)=-a(n+i);end;q=A\b;p(1)=subs(sym(y),findsym(sym(y)),0.0);for(i=1:n)p(i+1)=a(n)+q(i)*subs(sym(y),findsym(sym(y)),0.0);for(j=2:i-1)p(i+1)=p(i+1)+q(j)*a(i-j);endendf_1=0;f_2=1;for(i=1:n+1)f_1=f_1+p(i)*(t^(i-1));endfor(i=1:n)f_2=f_2+q(i)*(t^i);endif(nargin==3)f=f_1/f_2;f=subs(f,'t',x0);elsef=f_1/f_2;f=vpa(f,6);end3）算法实现流程图如下：开始开始定义变量，输入：定义变量，输入：symst;A=zeros(n,n);q=zeros(n,1);p=zeros(n+1,1);b=zeros(n,1);赋初始值，输入赋初始值，输入yy=0;a(1:2*n)=0.0No开始循环判断No开始循环判断i≤2nYesYesyy=diff(sym(y),findsym(sym(y)),n);yy=diff(sym(y),findsym(sym(y)),n);a(i)=subs(sym(yy),findsym(sym(yy)),0.0)/factorial(i);开始循环判断开始循环判断i≤nNoNoYesYesNo开始循环判断No开始循环判断j≤nq=A\b;q=A\b;p(1)=subs(sym(y),findsym(sym(y)),0.0);b(i,1)=-a(n+i)Yesb(i,1)=-a(n+i)YesA(i,j)=a(i+j-1)A(i,j)=a(i+j-1)No开始循环判断No开始循环判断j≤nYesYesp(i+1)=a(n)+q(i)*subs(sym(y),findsym(sym(y)),0.0)p(i+1)=a(n)+q(i)*subs(sym(y),findsym(sym(y)),0.0)f_1=0;f_1=0;f_2=1;No开始循环判断No开始循环判断2≤j≤i-1YesYesp(i+1)=p(i+1)+q(j)*a(i-j)p(i+1)=p(i+1)+q(j)*a(i-j)开始循环判断开始循环判断1≤j≤n+1NoNoYesYesf_1=f_1+p(i)*(t^(i-1))f_1=f_1+p(i)*(t^(i-1))开始循环判断1开始循环判断1≤i≤nNoNoYesYesf_2=f_2+q(i)*(t^i)f_2=f_2+q(i)*(t^i)对对nargin==3进行循环判断NoNoYesYes输出结果f=f_1/f_2;输出结果f=f_1/f_2;f=vpa(f,6)输出结果f=f_1/f_2;f=subs(f,'t',x0);结束结束4）用勒让德公式（取4项）逼近函数，并求当x=0.5时的函数值。源代码及运算结果如下：>>f=Pade('1/(1-x)',4)f=(1.+1.00060*t+.988095*t^2+.821429*t^3+2.92857*t^4)/(1.+.595238e-3*t-.119048e-1*t^2+.107143*t^3-.500000*t^4)>>f=Pade('1/(1-x)',4,0.5)f=2.0757实现流程图为：开始开始输入：f=Pade('1/(1-x)',4)输出结果，其形式为帕德有理分式调用帕德函数，分母最高次项为4次调用帕德函数，分母最高次项为4次，计算x=0.5时的逼近值输入：f=Pade(‘1/(1-x)’,4,0.5)输出结果，其形式为x=0.5时的逼近值结束二、求解工程问题，计算立柱的直径。已知：P=15kN,[σ]=35Mpa，l=0.4m1）建模：钻床受力图如下：llPPM=PlA钻床受力图AA立柱受力图A-A如图所示，钻床立柱受到拉力P和弯矩M=Pl的作用，立柱受到的拉应力之和为P与M的共同作用，其最大值σ（max）应小于许用拉应力[σ]，即：σσ(max)=P/F+M/W≤[σ]（1）其中，对于圆柱体而言，F=πd2/4为立柱截面积，W=πd3/32为抗弯系数，将FW带入（1）式后，可得：σσ=4P/πd2+32M/πd3≤[σ](2)化简上式，可得立柱直径d应满足：[[σ]πd3/32-Pd/8-Pl≥0（3）于是，该工程问题可以看作是单变量三次代数方程的求根问题！2）算法实现fzero函数:fzero函数用于求解单变量非线性方程根据（3）式的关系，将立柱直径d的系数项依次算出：[σ]=35*106MPa，P=15000N，l=0.4m，并带入到关系式中：在命令窗口输入：>>x=fzero('(35*10^6*pi)/32*x^3-(15000/8)*x-15000*0.4',[01])x=0.1219流程图为：开始开始调用fzero函数输入：x=fzero(f，x0)输出：区间[0，1]的根，x=0.1219m结束三、用MATLAB的符号解法,求解常微分方程:1：>>x=dsolve('D2x=(-2/t)*D1x+(2/(t^2))*x-(10*cos(ln(t)))/(t^2)','x(1)=1','x(3)=3')x=1/13*t*(28*tan(1/2*log(3))^2+1+9*tan(1/2*log(3)))/(1+tan(1/2*log(3))^2)-9/13/t^2*(6*tan(1/2*log(3))^2+3+tan(1/2*log(3)))/(1+tan(1/2*log(3))^2)-(3*tan(1/2*log(t))^2+2*tan(1/2*log(t))-3)/(1+tan(1/2*log(t))^2)>>t=[1.5,2,2.5]t=1.50002.00002.5000>>x=subs(sym(x),findsym(x),t)x=2.47762.83362.9391plot(t,x,'-r')流程图如下：x=x=dsolve('D2x=(-2/t)*D1x+(2/(t^2))*x-(10*cos(ln(t)))/(t^2)''x(1)=1','x(3)=3''x(1)=1','x(3)=3'x=x=?t=[1.5,2,2.5]x=subs(sym(x),findsym(x),t)t=[1.5,2,2.5]x=subs(sym(x),findsym(x),t)x=x=?plot(t,x,'-r')plot(t,x,'-r')2>>y=dsolve('D2y+(1/t)*Dy+(1-1/(4*t^2))*y=sqrt(t)*cos(t)','y(1)=1','y(6)=-0.5')y=1/4/t^(1/2)*sin(t)*(-240*cos(1)*sin(1)^4+160*cos(1)*sin(1)^6-210*sin(1)+1330*sin(1)^3-2240*sin(1)^5+1120*sin(1)^7+90*cos(1)*sin(1)^2-4+72*sin(1)^2-192*sin(1)^4+128*sin(1)^6-2*6^(1/2)*cos(1)-5*cos(1))/(5-20*sin(1)^2+16*sin(1)^4)/sin(1)-1/2/t^(1/2)*cos(t)*(-112*sin(1)^4+80*sin(1)^6-105*sin(1)*cos(1)-560*cos(1)*sin(1)^5+560*cos(1)*sin(1)^3+35*sin(1)^2-12*cos(1)-64*cos(1)*sin(1)^4+64*cos(1)*sin(1)^2-6^(1/2))/(5-20*sin(1)^2+16*sin(1)^4)+1/4*(t*cos(t)+sin(t)*t^2-sin(t))/t^(1/2)>>t=[2,3,4.5]t=2.00003.00004.5000>>y=subs(sym(y),findsym(y),t)y=0.9544-0.2187-2.7915plot(t,y,'-r')流程图如下：y=dsolve('D2y+(1/t)*Dy+(1-1/(4*t^2))*y=sqrt(t)*cos(t)',y=dsolve('D