初中数学勾股定理单元检测试题及答案

初中数学勾股定理单元检测试题及答案

第一章勾股定理单元检测测试（含答案）一、选择题（每小题4分，共40分）1、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则边AC的长是（）。A、5B、3C、4D、13改写：已知直角三角形ABC中，BC=2，AB=3，求AC。答案为B、3。2、如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（）。A、2B、10C、5D、3改写：在图1中，△ABC中AC为底，求其高。答案为D、3。3、如果△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么这个三角形是（）。A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形改写：已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求该三角形的类型。答案为C、钝角三角形。4、把直角三角形两直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的（）。A、2倍B、3倍C、4倍D、5倍改写：已知直角三角形两直角边扩大到原来的3倍，求斜边扩大到原来的倍数。答案为C、4倍。5、对于任意两个正整数m、n（m＞n），下列各组三个数为勾股数的一组是（）。A、m²+mn，m²－1，2mnB、m²－n²，2mn，m²+n²C、m+n，m－n，2mnD、n²－1，n²+mn，2mn改写：已知两个正整数m、n（m＞n），求勾股数的一组。答案为B、m²－n²，2mn，m²+n²。6、如图2，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）。A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对改写：在图2中，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，求该三角形的类型。答案为A、直角三角形。7、如图3，一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口2h后，两船相距（）。A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里改写：已知一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，2小时后两船相距多少海里？答案为B、30海里。8、下列叙述中，正确的是（）。A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方B、如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=c²，则∠A=90°D、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c²=b²－a²改写：判断下列叙述中哪一个是正确的。答案为A、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。9、CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=2，AC：BC=3：1，则CD为（）。A、5B、4C、3D、10改写：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知AB=2，AC：BC=3：1，求CD。答案为C、3。10、如图4，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（）。A、0B、1C、2D、3改写：在图4中，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是多少个？答案为B、1。二、填空题（每小题3分，共30分）1、若a²+b²=c²，且a=3，c=5，则b=（）。改写：已知a=3，c=5，且a²+b²=c²，求b。答案为4。2、如图5，已知AB=CD，∠BAC=90°，∠EDC=90°，且AB=2，BC=3，则DE=（）。改写：在图5中，已知AB=CD，∠BAC=90°，∠EDC=90°，AB=2，BC=3，求DE。答案为4。3、如图6，已知AD⊥BC，DE⊥AB，AD=5，DE=12，则BC=（）。改写：在图6中，已知AD⊥BC，DE⊥AB，AD=5，DE=12，求BC。答案为13。4、如图7，已知AB=8，AC=6，AD=5，则BD=（）。改写：在图7中，已知AB=8，AC=6，AD=5，求BD。答案为1。5、如图8，已知ABCD为矩形，点E、F分别在AB、BC上，且∠AED=∠DFC，则EF=（）。改写：在图8中，已知ABCD为矩形，点E、F分别在AB、BC上，且∠AED=∠DFC，求EF。答案为AD。11、如图5所示，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置。已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点为M，连结AM，则有AM=8cm。12、如图6所示，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别为1和2，则正方形的边长为5。14、如图7所示，△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF=5，则有CE2+CF2=29。15、在△ABC中，若AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数为90°。16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为偶数。17、某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于8.5m。18、若直角三角形两直角边的比为3:4，斜边长20cm，则斜边上的高为15cm。19、如图8所示，在△ABC中，∠B=90°，D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连接AD，∠DAC:∠DAB=2:5，则有∠DAC=30°。20、如图9所示，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠ABC=90°，则∠DAB的度数为60°。解答题：21、如图10所示，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB和CD分别是图中1×3的两个矩形的对角线，显然AB∥CD。过点E且垂直于AB的直线与CD相交于点F。我们可以通过观察图形发现，EF与AB平行，且EF=2。根据平行四边形的性质，可得BE=AF=3，DE=2，CE=4。因此，△CED为等腰直角三角形，CE=DE=4。证毕。2、如图11-②所示，以点D为原点建立直角坐标系，记点A坐标为(0,4)，点C坐标为(8,0)，点E坐标为(4,3)，点F坐标为(7,1)。求点E按照之前的方式运行到球的路线长度（不考虑球的大小）。23、如图12所示，在三角形ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，已知AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm，求DE的长度。24、如图13所示，已知矩形ABCD中AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，求该矩形的面积。四、综合应用题25、勾股数的规律是：若a、b、c为勾股数，则a、b、c必满足a²+b²=c²。根据此规律，当a=19时，b=180，c=181。当a=2n+1时，b=4n(n+1)，c=4n(n+1)+1。根据(2)的结论，15，111，112不是一组勾股数，因为它们的a值不符合2n+1的形式。26、如图14所示，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海。上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意。反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？根据勾股定理，可得AC=13海里，BC=5海里，AB=12海里。由于AC和BC已知，可以求出∠ACB的正弦值sinθ=AC/BC=13/5。又因为BC和CD已知，可以求出∠BCD的正切值tanα=BC/CD=5/3。由于∠ACB=π/2，可得∠ACD=π/2-θ，∠BCD=α，因此可以求出∠ACD和∠ABD的正切值，分别为tan(π/2-θ)=-5/13和tan(π/2-α)=3/4。设走私艇C距离MN的距离为x海里，则走私艇C离开MN的时间为t=x/13小时。根据题意可得以下方程：tan(π/2-θ)=(x+5)/13tan(π/2-α)=(x-12)/13解方程可得x≈20.4，因此走私艇C最早会在9时50分+1小时34分=11时24分进入我国领海。二、填空题11、MN=412、513、(12,13,5)14、连接CE，证明∠ECF=90°20、AC=2√2DA，∠DAB=135°三、解答题21、如图4所示，连接BE，因为网格的特征，得∠F=∠G=∠BCE=90°，由勾股定理，得AE=AB=√10，BE=√20因为AE=AB，所以∠BAE=∠BAC=90°，即EA⊥AB22、（1）如图3所示，作点3关于直线AB的对称点E1，连接E1F、E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF（2）如图5所示，过F作AB的平行线，交E1E的延长线于点N，连接EN、FN在△FNE1中，由勾股定理可得E1F=5，E1N=4，FN=3因为E1是点E关于AB的对称点，所以EH=E1H，所以EH+HF=E1F=5所以E球运行到F球的路线长度为5图523、解：在直角三角形$\triangleABC$中，根据勾股定理有$AD^2=AB^2-BD^2$，即$AD^2=81-(4+DE)^2$；在直角三角形$\triangleADC$中，同理可得$AD^2=AC^2-DC^2$，即$AD^2=49-(4-DE)^2$。因此，有$81-(4+DE)^2=49-(4-DE)^2$，化简得$(4+DE)^2-(4-DE)^2=32DE=2$。24、解：连接$AC$，由勾股定理可得$AC^2=3^2+4^2=5^2$，又$AC^2+BC^2=5^2+12^2=13^2=AB^2$，因此$\triangleACB$为直角三角形。根据面积公式$S_{\text{四边形}ABCD}=S_{\triangleACB}-S_{\triangleACD}=\dfrac{1}{2}\times12\times5-\dfrac{1}{2}\times3\times4=24\text{（m}^2\text{）}$。25、解：（1）由勾股定理可得$b^2-a^2=1^2$，又$(2n+1)^2+a^2=b^2$，两式相减得$(2n+1)^2-a^2=1$，解得$a=90$，$b=91$，$c=181$。（2）同理可得$b+a=(2n+1)^2$，$b-a=1$，将两式相乘得$b^2-a^2=(2n+1)^2-1$，代入已知条件得$(2n+1)^2-1=8c$，即$(2n+1)^2-8c=1$。根据裴蜀定理，当且仅当$(2n+1)^2$与$8$互质时，存在正整数$x$和$y$，使得$(2n+1)^2x+8y=1$。显然$(2n+1)^2$与$8$互质，因此存在正整数$x$和$y$，使得$(2n+1)^2x+8y=1$。将其化简可得$(2n+1)^2-8y=1$，因此$b=2n^2+2n+1$，$a=2n^2+2n$。（3）当$n=7$时，$b=113$，$a=112$，但$2n(n+1)=2\times7\times8=112\neq111$，因此$15$，$111$，$112$不是一组勾股数。26、解：设$MN$与$AC$相交于$E$，则$\a