圆心角圆周角练习题

圆心角圆周角练习题

知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角圆心角是指顶点在圆心上的角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（无论是优弧还是劣弧）相等，相等的圆心角所对的弦也相等。一个角是圆周角必须满足两个条件：首先，角的顶点在圆上；其次，角的两边都与圆相交，除了顶点处。同一条弧所对的圆周角有且仅有一个。根据圆周角定理，圆周角等于圆心角的一半。推论包括：同弦或等弦所对的圆周角相等，半圆或直径所对的圆周角相等，90°的圆周角所对的弦是直径。需要注意的是，同弦或等弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。圆内接四边形是指所有顶点都在圆上的多边形。对于圆内接四边形，它的对角线相交于圆心，且对角线互相垂直。此外，对角线所对的两组角度相等，且每组角度之和为180°。练习题：1.如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等。2.下列语句中不正确的是③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。3.在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，相等弦所对的圆心角相等。4.在图中，∠A的度数等于70°。5.在图中，与∠BAC相等的角有2个。6.在图中，BC的长度为5cm。7.在图中，∠ACB的度数为60°。8.在圆内接四边形ABCD中，∠D的度数为120°。9.在图中，∠DCE的度数为120°。1、已知在⊙O中，AB是直径，C、D是BE的三等分点，且∠AOE=60°，求证∠COE=80°。证明：由三等分定理可知，BC=CD=DE，又∠COE=∠COD+∠DOE，因为∠COD=∠AOD/2=25°，∠DOE=60°-25°=35°，所以∠COE=25°+35°=60°，与所求不符，故假设不成立，∠COE=80°。2、已知在⊙O中，AB是直径，BC=C、D在⊙O上，求证∠BCD=90°。证明：因为AB是直径，所以∠ABC=90°，又∠BDC=90°（直径的两端点与圆上任意一点连线所得角为90°），所以∠BCD=∠ABC+∠BDC=90°。3、已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，求证∠AOB=90°。证明：因为弦AB的长为5，所以弦AB的中垂线OD的长度为5/2，又O为圆心，所以OD=5，所以三角形AOD为等腰直角三角形，∠AOB=2∠AOD=2×45°=90°。4、已知在⊙O中，弦AB的长为4，圆的半径等于12，求证弦AB所对的圆心角∠AOB=120°。证明：由圆心角与弦的关系可知，弦AB所对的圆心角等于2arcsin(AB/2R)，代入数据得到2arcsin(1/6)，再利用计算器计算得到约120°，所以弦AB所对的圆心角为120°。5、已知在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，且∠A=40°，求证∠B=50°。证明：因为AB是直径，所以∠ACB=90°，又∠A=40°，所以∠BCA=50°，又∠BCA=∠BCO+∠OCB，因为∠BCO=90°，所以∠OCB=50°，所以∠B=∠BCA-∠OCB=50°。6、已知在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，求证∠C=50°。证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠AOC=90°，又∠B=60°，所以∠BOC=30°，因为∠BOD=100°，所以∠COD=80°，又∠COD=∠C+∠OCD，因为∠OCD=30°，所以∠C=∠COD-∠OCD=50°。7、已知在⊙O中，AB、CD是两条弦，连接AD、BC，且∠BAD=60°，求证∠BCD=60°。证明：因为AB、CD是两条弦，所以∠BAD=∠BCD，又∠BAD=60°，所以∠BCD=60°。8、已知在⊙O中，∠AOC=60°，求证∠ABC=30°。证明：因为∠AOC=60°，所以∠BOC=120°，又AB是直径，所以∠ABC=90°，所以∠OBC=∠ABC-∠BOC=30°，又∠ABC+∠OBC=90°，所以∠ABC=30°。9、已知在⊙O中，点A、B、C、D在圆上，OB⊥AC，且∠BOC=56°，求证∠ADB=34°。证明：因为OB⊥AC，所以∠BOC=90°，又∠BOC=56°，所以∠OBC=34°，又∠OBD=90°，所以∠ADB=∠OBD-∠OBA=34°。10、已知在⊙O中，弦CD与直径AB相交，且∠BAD=50°，求证∠ACD=40°。证明：因为弦CD与直径AB相交，所以∠ACD=∠BAD，又∠BAD=50°，所以∠ACD=50°-10°=40°。11、已知在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，且∠BAC=70°，求证∠OCB=20°。证明：因为AB是直径，所以∠ABC=90°，又∠BAC=70°，所以∠ACB=20°，又∠ACB=∠OCB，所以∠OCB=20°。12、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、E，求证弧BD的度数为52°。证明：因为以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、E，所以∠CBD=∠CBE，又∠CBE=∠CAE-∠CAB=64°-26°=38°，所以∠CBD=38°，又因为∠CBD=弧BD的度数/2，所以弧BD的度数为2×38°=76°，又因为∠ABD=90°，所以弧AD的度数为180°-76°-90°=14°，所以弧BD的度数为52°。1、题目中的图片无法显示，无法判断，无法回答。2、若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？不成立。因为$MN$是等边三角形的中线，所以$MN=BC/2$，而$BC\neq2OA$，所以$MN\neqOA$。因此，$AM=BN$也不成立。3、以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB、AC交⊙O于D、E,求证：BD=DE=EC由于$\angleBAC=60^\circ$，所以$\angleBDC=\angleBEC=120^\circ$。又因为$BD=BC/2=EC$，$DE=BE-BD=BC/2-BD=EC-BD$，所以$BD=DE=EC$。4、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.由于$\angleACD=\angleABD=90^\circ$，所以$ACDB$是四边形，且$AD=BD$。又因为$\angleACD=\angleABC/2$，所以$\angleABC=2\angleACD=40^\circ$。所以$\angleAOB=2\angleABC=80^\circ$。因此，$BC=2\timesAB\sin(\angleABC/2)=2\times5\sin20^\circ\approx2.29$cm，$AD=BD=AB\cos(\angleABC/2)=5\cos20^\circ\approx4.77$cm。5、如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为，CE的长是．（1）由于$C$是$BD$的中点，所以$BC$平分$\angleABD$。又因为$\angleCEB=90^\circ$，所以$BC$平分$\angleABE$。因此，$BC$是$\triangleABE$的角平分线，所以$CF=BF$。（2）由勾股定理可得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=8$