北师大版数学必修二课件：112简单多面体

1.2简单(jiǎndān)多面体第一页，共34页。第二页，共34页。1.多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台(léngtái)是简单多面体.【做一做1】下列关于多面体的说法正确的是.(填序号)

①多面体一定有体对角线;②半球体是多面体;③圆台为多面体;④长方体为多面体.解析:四面体没有体对角线,①错误;半球体的围成有曲面(qūmiàn),不是多面体,②错误;同样③错误;④正确.答案:④第三页，共34页。2.棱柱(1)棱柱的定义:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱.(2)棱柱的有关概念(gàiniàn)①棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的侧面,棱柱的侧面是平行四边形.②两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱,底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点.(如图所示)第四页，共34页。(3)棱柱(léngzhù)的分类按侧棱是否垂直于底面按底面多边形形状(xíngzhuàn)③正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.(4)棱柱的表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可记作:五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'.第五页，共34页。做一做2下列说法正确的是()

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫作棱柱C.一个(yīɡè)棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等解析:A,B都不能保证棱柱的侧棱互相平行这个结构特征.对于D,由棱柱的结构特征可知侧棱都相等.最简单的棱柱是三棱柱,有五个面、六个顶点、九条棱.故选C.答案:C第六页，共34页。3.棱锥(1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点(dǐngdiǎn)的三角形,这些面围成的几何体叫作棱锥.(2)棱锥的有关概念:棱锥中的多边形叫作棱锥的底面,其余各面叫作棱锥的侧面,各侧面的公共点叫作棱锥的顶点(dǐngdiǎn),相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱.如图所示.第七页，共34页。(3)棱锥的表示:用顶点和底面各顶点的字母(zìmǔ)表示棱锥.如上图中的棱锥可记作:四棱锥S-ABCD.(4)棱锥的分类①按底面多边形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥、…,其中三棱锥也叫作四面体.②棱锥第八页，共34页。【做一做3】下列(xiàliè)说法正确的是()A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥B.四面体是四棱锥C.侧棱垂直于底面的棱柱不一定是直棱柱D.正棱锥的底面是正多边形解析:有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥,故A错;四面体是三棱锥,故B错;由直棱柱和正棱锥的定义知C错D正确.故选D.答案:D第九页，共34页。4.棱台(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻(xiānɡlín)侧面的公共边叫作棱台的侧棱.如图所示.第十页，共34页。(2)表示(biǎoshì):用表示(biǎoshì)底面各顶点的字母表示(biǎoshì)棱台.如上图中的棱台可记作:四棱台ABCD-A'B'C'D'.(3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……(4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形.第十一页，共34页。做一做4如图所示的几何体是棱台(léngtái)的有()

个 个 个个(ɡèɡè)第十二页，共34页。解析:①③⑤是棱柱,②是多面体,④为圆柱,⑦为棱锥,⑥为棱台.所以(suǒyǐ)答案为A.答案:A归纳总结棱柱、棱锥、棱台(léngtái)的性质比较第十三页，共34页。思考(sīkǎo)辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱.()(2)每个面都是三角形的几何体就是棱锥.()(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.()(4)棱台的侧棱可以与底面垂直.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√第十四页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法探究一棱柱的结构特征

【例1】

如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明第十五页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法分析:根据棱柱的定义、结构特征及性质进行判断.解:(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱.因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是四边形,且AA1,BB1,CC1,DD1互相平行.(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.第十六页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法反思感悟1.判断一个几何体是不是棱柱要紧扣棱柱的定义,同时要抓住以下三个关键点.(1)底面:两个多边形全等,且所在平面互相平行.(2)侧面:都是平行四边形.(3)侧棱:互相平行,且相等.以上三点缺一不可.2.对于棱柱来说,其底面不一定是几何体的上、下两个面,也可以是左、右两个面或前、后两个面.第十七页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法变式训练1下列关于棱柱的性质正确的是(

)A.只有两个面相互平行B.所有棱都相等C.所有面都是四边形D.各侧面都是平行四边形解析:棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只有两个面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等于底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以不是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确,选D.答案:D第十八页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法探究二棱锥、棱台的结构特征

【例2】

判断下列说法是否正确.(1)棱锥的侧面不可能是正三角形;(2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可作为棱锥的底面;(3)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台;(4)棱台的所有侧棱延长后可以不交于同一点.第十九页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个顶点均可作为棱锥的顶点.(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一个棱锥和一个棱台.(4)错误.任何一个棱台,将其所有侧棱延长后一定相交于同一点.第二十页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法反思感悟判断一个几何体是棱锥、棱台的方法主要有以下两种.(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:第二十一页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法变式训练2

下列三种叙述,其中正确的个数为

.

①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台.解析:①中的平面不一定平行于底面,故①错误.②③可用反例去检验,如图所示,故②③错误.答案:0第二十二页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法探究三正棱锥、正棱台中的计算问题

【例3】若正四棱台两底面的面积分别为4和16,其高为,则正四棱台的侧棱的长为

.

解析:作出正四棱台ABCD-A1B1C1D1,如图所示,OO1为棱台的高,其长为

.连接O1A1,OA,则四边形O1A1AO为直角梯形.由正四棱台两底面的面积分别为4和16,知A1B1=2,AB=4,第二十三页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法反思感悟正棱锥、正棱台中的“直角图形”1.正棱锥中的计算问题主要利用正棱锥中的3个直角三角形,即①侧棱、高和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形;②斜高、高和斜高在底面上的射影组成的直角三角形;③侧棱、斜高和底面多边形边长的一半组成的直角三角形.2.正棱台中的计算问题主要利用正棱台中的3个直角梯形,即①斜高、两底面的边心距以及两底面中心的连线组成的直角梯形;②侧棱、两底面中心的连线和两底面相应的外接圆半径组成的直角梯形;③斜高、侧棱和两底面边长的一半组成的直角梯形.另外,由于棱台是由棱锥所截得的,因此棱台问题可以转化为棱锥问题,即利用“还台为锥”的思想来解决.第二十四页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法变式训练3

在正三棱锥V-ABC中,若其底面边长为8,侧棱长为

,则它的高等于

.

第二十五页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法第二十六页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法第二十七页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法方法点睛1.高考中常将多面体与最值结合在一起进行考查,当遇到此类问题时,通常是把多面体展开成平面图形,结合平面几何的知识解决问题.2.本题正面求解确实很困难,题目的巧妙之处是构造了长方体,将函数最值问题转化为有关几何中的距离的最值问题.通常是将其转化为平面图形,利用“两点之间,线段最短”来求解.第二十八页，共34页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思想方法变式训练如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为

cm.

解析:根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,将其展成如图所示的实线部分,则所求最短路线的长为

=13(cm).答案:13第二十九页，共34页。12341.下列几何体中,侧棱一定相等的是()A.棱锥 B.棱柱 C.棱台 D.圆柱(yuánzhù)答案:B第三十页，共34页。12342.(2017宁夏石嘴山期末)如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是()A.①是棱台 B.②是圆台C.③是棱锥 D.④不是棱柱解析(jiěxī):图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②