达朗贝尔定理课件

达朗贝尔原理又称为“动静法”用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化研究对象是动力学问题所用的方法是静力学方法引入惯性力第五章达朗贝尔原理

达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。

引进惯性力的概念，进而应用静力学方法研究动力学问题.

达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。§5–4定轴转动刚体对轴承的动压力

●转子的静平衡和动平衡§5–3动静法应用举例§5–2惯性力系的简化§5–1

达朗贝尔原理第五章达朗贝尔原理设质量为m的非自由质点M，在主动力F和约束力FN作用下沿曲线运动，ABMFFN引入质点的惯性力Fg

=－ma在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。一、质点达朗贝尔原理ama§5-1

达朗贝尔原理Fg质点达朗贝尔原理的投影形式质点达朗贝尔原理对于任一质点系中每个质点有：二、质点系达朗贝尔原理这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。对于一般质点系，有n个形式如上式的平衡方程,根据静力学中空间任意力系的平衡条件，考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于零。质点系达朗贝尔原理惯性力

FaFg—惯性力作用在使物体（小车）产生加速度的施力物体（推车人）FgF动力学问题形式上的静力平衡任何物体都将给予企图改变它运动状态的任何其他物体以阻力.例：电机护环直径D，环截面面积A，材料密度（kg/m3），转子角速度=常数。求：护环截面张力。解：研究对象：xy四分之一护环运动分析：dF1F21.刚体作平动§5-2刚体惯性力系的简化m2mnm1a1a2anFgnFg1Fg2CaC合力大小：位置：结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。主矢向转轴O点简化主矩2.刚体绕定轴转动刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。向质心C点简化’结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在轴(质心)上；该力偶的矩等于Jz

(JC)，方向与

相反。例：图示均质杆AB质量为m，长为l，绕O点作定轴转动，角速度为，角加速度为，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。解：运动分析向O点简化向质心C简化刚体有对称面，且平行与对称面运动向质心C点简化CCCC3.刚体作平面运动主矢主矩例：图示均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平面作无滑动的滚动，角速度为，角加速度为，计算圆轮上惯性力系向圆心O简化的结果。解：运动分析向圆心O简化O惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。

注意—与简化中心选取无关—与简化中心选取有关3.刚体作平面运动

●

主矩

●

主矢向质心简化1.刚体作平动向质心简化

●

主矢

●

主矩2.刚体做定轴转动

●

主矢

●

对转轴的主矩向固定轴简化例题汽车连同货物的总质量是m，其质心C离前后轮的水平距离分别是b和c,离地面的高度是h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。ABCcbh§5-3

动静法应用举例ABCcbhFgFBmgFNAFNBa研究对象:汽车连同货物惯性力系合成:Fg=ma

汽车受到的外力：重力G，FNA

、FNB

以及水平摩擦力FB

(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。

例题

如图所示，匀质滑轮的半径为r，质量为m，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1（A）和m2

（B）的重物,且m1

>m2

。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。

OABrO解：系统为研究对象受力：重力m1g，m2g，mg，轴承约束反力FN。OABraam1gmgm2gFNy惯性力分别为：OOABraam1gmgm2gFNyOαMgOMgO=JO

α

=惯性力偶矩：例电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁合重P，如图所示。绞盘与电机转子固结在一起，转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。已知重物质量为m，绞盘半径为R。求由于加速度提升重物而对支座A，B的附加压力。。RP。解：以整体为研究对象，受力如图所示，根据动静法：惯性力为：B解得：。B由于加速度提升重物而对支座A，B的附加压力等于附加动反力分别为：

例题

如图所示，匀质圆盘的半径为r，质量为m，可绕水平轴O转动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承O处的反力。ABrOC解：圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。ArOCyxαxFgt=matC=m

rαFgn=mr2=0MgOMgO=JOα

=mgFOxFOy

FOx+Fgn=0FOy+

Fgt－mg=0？惯性力系若向C点简化？ArOCyαxMgCmgFOxFOy

讨论Fgt=matC=m

rαMgC=Jc

α

=Fgn=mr2=0

FOx+Fgn=0FOy+

Fgt－mg=0ArOCyxαxMgOArOCyαxMgCFgt=matC=m

rαMgO=JOα

=Fgn=mr2=0Fgt=matC=m

rαMgC=Jc

α

=Fgn=mr2=0惯性力系向转轴O和质心C简化结果对比“动静法”解题步骤选取研究对象对研究对象进行传统的受力分析，受力图运动分析，给研究对象施加惯性力列平衡方程求解思考：动静法与动力学普遍定理求解动力学问题相比，有何优缺点？优点：加惯性力，系统平衡，可充分应用静力学各种平衡方程,方程形式(矩心)非常灵活;涵盖了平面运动微分方程.缺点：加速度分析；内力变外力；约束反力；容易掩盖系统动力学特性。例题用长l的两根绳子AO和BO把长l，质量是m

的匀质细杆悬在点O。当杆静止时，突然剪断绳子BO，试求刚剪断瞬时另一绳子AO的拉力。OlllBACOllBACθ解：绳子剪断后，杆AB平面运动；杆AB上受绳子AO的拉力F和杆的重力mg.对杆作加速度分析,

质心C作基点aA

=

anA

+atA=aCx+aCy+atAC

+anACmgFOxyαBCAθ在绳剪断瞬时，杆的角速度ω=0,角加速度α≠0。因此anAC

=AC·2=0atAC=lα／2把上式投影到点AO上即FgCx

=maCx,FgCy

=maCyM

gC=JCzα根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩OllBACθmgFFgCxFgCyM

gC例题

半径为R，重量为W1的大圆轮，由绳索牵引，在重量为W2的重物A的作用下，在水平地面上作纯滚动，系统中的小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。AOCW1W2R

解：考察整个系统，有4个未知约束力。

如果直接采用动静法，需将系统拆开。可以考虑先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。

1.应用动能定理。AOCW1W2RFFNFOxFOy两边对时间t求导，且AOCW1W2RFFNFOxFOyCFFNJCαW1a2.应用动静法取轮子为研究对象将

带入上式得ABeC例：转子质量m=20kg，偏心距e=0.1mm，转速n=12000r/min。求：当质心C转到最低位置时轴承所受的压力。解：研究对象:转子受力分析:如图示FAFBmgFg运动分析:转动静反力附加动反力§5–4

定轴转动刚体对轴承的动压力

●转子的静平衡和动平衡例：两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e，=常量。求：图示位置A、B轴承反力。解：研究对象:转子受力分析:如图示运动分析:转动附加动反力静反力ABC2C1xyFAxFBxFByFg1Fg2mgmg当刚体作定轴转动时，惯性力一般要在轴承上引起附加动压力.刚体上任意点D的加速度分别是定轴转动刚体对轴承的动压力FByFBxFAxFAyFAzODo1rrzyxAzatanOxDatxyanyrzD点D的加速度在各坐标轴的投影分别是FByFBxFAxFAyFAzODo1rrzyxAzatan刚体对y、z轴的惯性积刚体对x、z轴的惯性积FRx、FRy

、

FRz分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，

MOx、MOy

、

MOz分别为主动力系对点O的主矩在各坐标轴上的投影。根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，FByFBxFAxFAyFAzODo1rrzyxAzatan求得定轴转动刚体轴承处的反力。该反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力和附加动压力。定轴转动刚体轴承处的动反力分析定轴转动刚体轴承处的动反力分析消除附加动压力的条件·静平衡和动平衡

在转动刚体的轴承上可能因惯性力而产生的巨大的附加动压力，以致使机器坏损或引起剧烈的振动。要使定轴转动刚体的轴承不受附加动压力的作用，必须也只须转动轴是刚体的一个中心惯性主轴。刚体的静平衡和动平衡●动平衡

当刚体绕任何一个中心惯性主轴作匀速转动时，其惯性力自成平衡，这种现象称为动平衡。●

静平衡质心在转动轴线上的情况称为静平衡。●静平衡的检查静不平衡的转子

静平衡的刚体转动时，惯性力的主矢必等于零。因此，如果这刚体不是动平衡的，那么它的惯性力只能合成为一