七年级数学下册第四章三角形3探究三角形全等的条件同步课件新版北师大版

知识点一

判定三角形全等的条件——边边边

内容应用格式图形表示边边边(SSS)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)

注意用“≌”表示时,对应顶点写在对应的位置上

知识点一

判定三角形全等的条件——边边边内容应用格式1例1如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B,E,F,C在同一直线上,试说明:△ABF≌△DCE.图4-3-1分析要说明△ABF≌△DCE,需要得出这两个三角形的三对对应边相

等,题目提供的条件中“AB=DC,AF=DE”恰好是对应边相等,我们只需

再得到BF=CE即可,这个可由“BE=CF”运用等式性质,两边同时加上

EF获得.例1如图4-3-1,AB=DC,AF=DE,BE=CF,B2解析∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SSS).解析∵BE=CF,3知识点二

判定三角形全等的条件——角边角、角角边

内容应用格式图形表示角边角(ASA)两角和它们的夹边分别相等的两

个三角形全等(可以简写成“角

边角”或“ASA”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)

角角边(AAS)两角分别相等且其中一组等角的

对边相等的两个三角形全等(可

以简写成“角角边”或

“AAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)

知识点二

判定三角形全等的条件——角边角、角角边内容4知识详解(1)用“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这两个角的夹边对应相等.因此列举两个三角形全等

的条件时,一定要把夹边写在中间,以突出边角的位置及对应关系,避免出错.(2)用“AAS”来判定两个三角形全等时,要注意边是其中一角的对边,三个条件一定要对应,按“角角边”

的顺序列出全等的三个条件.(3)“AAS”与“ASA”的联系结合三角形的内角和定理可知,“AAS”可由“ASA”推导得出,将两者结合起来可得出:两个三角形,如

果具备两个角和一边对应相等,就可判定其全等.其中“对应”必不可少.如图,△ABC与△DEF不全等

知识详解(1)用“ASA”判定两个三角形全等的条件是两角及这5例2

(2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线

上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.

图4-3-2分析由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS

得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减

去EC即可得BE=CF.例2

(2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B6解析∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(AAS),∴BC=EF,∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF.解析∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,7知识点三

判定三角形全等的条件——边角边

内容应用格式图形表示边角边(SAS)两边和它们的夹角分别相等的两

个三角形全等(可以简写成“边

角边”或“SAS”)在△ABC和△A'B'C'中,∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

知识详解(1)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两条边的夹角,而不是其中一边

的对角.书写时,要按照边角边的顺序来写.

(2)当角是一组相等边的对角,即两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等.如图所示,在

△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B(∠B分别是AC,AD边的对角),显然△ABC和△ABD不全等

知识点三

判定三角形全等的条件——边角边内容应用格式8例3

(2017四川南充中考)如图4-3-3,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是

点E、F,DE=CF,AE=BF,试说明:AC∥BD.

图4-3-3分析欲得出AC∥BD,只要得出∠A=∠B,从而只要得出△DEB≌△CFA即可.例3

(2017四川南充中考)如图4-3-3,DE⊥A9解析∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB=∠AFC=90°,∵AE=BF,∴AF=BE.在△DEB和△CFA中,

∴△DEB≌△CFA(SAS),∴∠B=∠A,∴AC∥DB.解析∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEB=∠AFC=90°10知识点四

全等三角形判定方法的灵活运用判定两个三角形全等时,如果给出的条件不全面,则需要根据已知的条

件结合相应的判定方法进行分析,先找出所缺的条件再说明全等.具体思路如下:知识点四

全等三角形判定方法的灵活运用11(1)已知两边

思路一(找第三边)

思路二(找角)

AB=DE,BC=EF

首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等

①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用

“SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定

全等(后面会学到)

(2)已知两角

思路一(找夹边)

思路二(找角的对边)

∠A=∠D,∠B=∠E

首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全

等

首先找出AC=DF或BC=EF,然后应用

“AAS”判定全等

(3)已知一边一角

思路一(找夹角的另一边)思路二(找夹边的另一角)

思路三(找边的对角)

①边为角的邻边:AB=

DE,∠B=∠E首先找出BC=EF,然

后应用“SAS”判定

全等首先找出∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全

等

首先找出∠C=∠F,然

后应用“AAS”判定

全等

②边为角的对边:AC

=DF,∠B=∠E找边的邻角对应相等,先找出∠A=∠D或∠C=∠F,然后应用“AAS”判定全等

(1)已知两边

思路一(找第三边)

思路二(找角)

 

首先12例4如图4-3-4,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其

延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,

并说明理由.你添加的条件是

(不添加辅助线).图4-3-4分析由中点知BD=CD,又由对顶角相等知∠BDF=∠CDE,故可添加一

个条件用“SAS”或“AAS”或“ASA”判定两三角形全等.例4如图4-3-4,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线13解析可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=

∠DFB).理由:(以DE=DF为例)∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△BDF和△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(SAS).解析可添加的条件是DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠D14知识点五

三角形的稳定性只要三角形三条边的长确定了,这个三角形的大小和形状就确定了,这

就是三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中应用很广,无论什

么构件,只要做成三角形形状,放于任何地方都不变形.例5木匠师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图4-3-5,要使这个木

架不变形,他至少要再钉上

根木条.

()

图4-3-5A.0

B.1

C.2

D.3解析连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性.答案

B知识点五

三角形的稳定性例5木匠师傅用4根木条钉成一15题型一

利用三角形全等说明两直线的位置关系例1如图4-3-6,△ABC是等边三角形,D是AB上一点,以CD为边作等边

三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.试说明:AE∥BC.

图4-3-6分析根据等边三角形的三边相等,三个角相等,推出AC=BC,CE=CD,

∠B=∠BCA=∠ECD=60°,进而得出∠ACE=∠BCD,从而根据“SAS”

得出△ACE≌△BCD,可得∠EAC=∠B=60°=∠BCA,进而得出AE∥BC.题型一

利用三角形全等说明两直线的位置关系分析根据等16解析因为△ABC和△DEC是等边三角形,所以AC=BC,CE=CD,∠B=∠BCA=∠ECD=60°.所以∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中,

所以△ACE≌△BCD(SAS),所以∠EAC=∠B=60°=∠BCA.所以AE∥BC.点拨要得出两直线平行,一般将问题转化为两角(同位角、内错角或

同旁内角)的关系,可利用三角形全等来完成.解析因为△ABC和△DEC是等边三角形,点拨要得出两直线17题型二

利用三角形全等解决线段的和(差)问题例2如图4-3-7,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过点B,C向过点A

的直线作垂线,垂足分别为点E,F.

图4-3-7(1)如图4-3-7①,过点A的直线与斜边BC不相交时,试说明:EF=BE+CF;(2)如图4-3-7②,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变.若BE=10,

CF=3,求EF的长.题型二

利用三角形全等解决线段的和(差)问题18分析(1)首先根据已知条件得出△ABE≌△CAF,然后利用对应边相等

就可以得出EF=BE+CF.(2)与(1)同理可知△ABE≌△CAF仍成立,再根

据对应边相等求出EF的长.解析(1)因为BE⊥EF,CF⊥EF,所以∠BEA=∠AFC=90°.因为∠BAC=∠BEA=90°,所以∠EAB+∠FAC=90°,∠EBA+∠EAB=90°.所以∠EBA=∠FAC.在△ABE和△CAF中,

所以△ABE≌△CAF(AAS).所以AE=CF,BE=AF.所以EF=BE+CF.分析(1)首先根据已知条件得出△ABE≌△CAF,然后利用19(2)与(1)同理可得到△ABE≌△CAF.所以AE=CF=3,AF=BE=10.所以EF=AF-AE=10-3=7.点拨解决线段的和(差)问题,通常把各线段转化到同一条直线上,可用

全等三角形进行转化.(2)与(1)同理可得到△ABE≌△CAF.点拨解决线段的20易错点

错用“SAS”例如图4-3-8,∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,AD=BC,试说明:△ABD

≌△BAC.

图4-3-8易错点

错用“SAS”21错解在△ABD和△BAC中,因为

所以△ABD≌△BAC(SAS).错因分析∠CAB和∠DBA并不是AD与AB和BC与AB的夹角.正解因为∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,所以∠DAC+∠CAB=∠CBD+∠DBA,即∠DAB=∠ABC.在△ABD和△BAC中,因为

所以△ABD≌△BAC(SAS).错解在△ABD和△BAC中,因为 错因分析∠CAB和∠D22知识点一

判定三角形全等的条件——边边边1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判

定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=

BE;④BF=BE,可利用的是

()

图4-3-1A.①或②

B.②或③

C.①或③

D.①或④知识点一

判定三角形全等的条件——边边边A.①或②

23答案

A由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定,

只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可

以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④

不可以,故选A.答案

A由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△F242.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添

加的条件是

.

图4-3-2答案

AB=CD2.如图4-3-2,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△253.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说明:△ABC≌△AED.

图4-3-3解析因为BD=CE,所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED.在△ABC和△AED中,

所以△ABC≌△AED.3.如图4-3-3,AB=AE,AC=AD,BD=CE,试说26知识点二

判定三角形全等的条件——角边角、角角边4.如图4-3-4,小红同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是

()A.带①去

B.带②去C.带③去

D.带①和②去图4-3-4答案

C③中有完整的∠B,∠C和BC边,由“ASA”可配出完全一样

的玻璃.知识点二

判定三角形全等的条件——角边角、角角边图4-275.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=∠A1,要使△ABC≌△A1B1C1,还需添加一个条件,这个条件可以是

.答案∠C=∠C1或∠B=∠B1

5.已知在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1,∠A=286.如图4-3-5,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD

及其延长线上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF.(不

再添加其他线段,不再标注或使用其他字母)

图4-3-5(1)你添加的条件是

;(2)试说明:△BDE≌△CDF.6.如图4-3-5,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,29解析(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或CF=BE).(2)以BD=DC为例进行说明:因为CF∥BE,所以∠EBD=∠FCD.又因为BD=DC,∠EDB=∠FDC,所以△BDE≌△CDF.解析(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点或ED=FD或30知识点三

判定三角形全等的条件——边角边7.如图4-3-6,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中的全等三角形有

()

图4-3-6A.3对

B.4对

C.5对

D.6对答案

A∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.由“SAS”可判定△ABD≌△CDB,△ABE≌△CDF,进而可证得△AED≌△CFB.知识点三

判定三角形全等的条件——边角边答案

A318.(2018广东中山期末)如图4-3-7,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=

∠C.试说明:∠A=∠D.

图4-3-7解析

∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF,即BF=EC,在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠A=∠D.8.(2018广东中山期末)如图4-3-7,点E、F在BC上32知识点四

全等三角形判定方法的灵活运用9.已知△ABC的六个元素,则图4-3-8②中的甲、乙、丙三个三角形和图

4-3-8①中的△ABC全等的是

()

图4-3-8A.甲、乙

B.丙

C.乙、丙

D.乙答案

C由SAS可判定乙三角形与△ABC全等,由AAS可判定丙三角

形与△ABC全等.知识点四

全等三角形判定方法的灵活运用答案

C3310.(2016江苏连云港灌云西片月考)如图4-3-9,已知:点B、F、C、E在一

条直线上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知条件得出AB∥ED?如果能,

请说明理由;如果不能,请从下列四个条件中选择一个合适的条件,添加

到已知条件中,使AB∥ED成立,并说明理由.供选择的四个条件:①AB=DE;②∠A=∠D=90°;③∠ACB=∠DFE;④∠A

=∠D.

图4-3-910.(2016江苏连云港灌云西片月考)如图4-3-9,已知34解析不能;选择条件①AB=DE(还可选择条件②或③,但不能选择条件④).理由:∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠B=∠E,∴AB∥ED.解析不能;选择条件①AB=DE(还可选择条件②或③,但不能35知识点五

三角形的稳定性11.下面图形中具有稳定性的是

()

答案

A三角形具有稳定性.故选A.知识点五

三角形的稳定性答案

A三角形具有稳定3612.如图4-3-10是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它

的形状将会改变,若想固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固

定形状的是钉在

两点上的木条.()

图4-3-10A.A,F

B.B,E

C.C,A

D.E,F答案

D12.如图4-3-10是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两371.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是

()

A.△ABD≌△ACD

B.∠ADB=90°C.∠BAD是∠B的一半

D.AD平分∠BAC答案

C由“SSS”可判定△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC=90°,

∠BAD=∠CAD.∴A、B、D选项均正确.1.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的382.如图,在△ABC和△ADE中,①AB=AD;②AC=AE;③BC=DE;④∠C=

∠E;⑤∠B=∠ADE.下列四个选项分别以其中三个为条件,剩下两个为

结论,则错误的是

()

A.若①②③成立,则④⑤成立B.若②④⑤成立,则①③成立C.若①③⑤成立,则②④成立D.若①②④成立,则③⑤成立答案

D

SSA不能判定三角形全等.2.如图,在△ABC和△ADE中,①AB=AD;②AC=AE393.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,这是什

么道理?解析因为教室的门是四边形,四边形具有不稳定性,易松动.斜钉一根

木条就变成了三角形,而三角形具有稳定性,所以门就不再松动了.4.如图,AB=CD,AB∥CD,CE=AF.试说明:∠E=∠F.

3.教室的门松动了,老师用一根木条斜着钉上去,门就不松动了,40解析∵CE=AF,∴AE=CF.∵AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB.在△ABE与△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠E=∠F.解析∵CE=AF,∴AE=CF.411.(2015湖北宜昌中考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图4

-3-11,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,詹姆斯在探究筝形

的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=

AC;③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有

()

图4-3-11A.0个

B.1个

C.2个

D.3个1.(2015湖北宜昌中考)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝42答案

D在△ABD与△CBD中,

∴△ABD≌△CBD(SSS),∴∠ADB=∠CDB,在△AOD与△COD中,

∴△AOD≌△COD(SAS),∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC,∴AC⊥DB,AO=CO=

AC.综上,①②③正确,故选D.答案

D在△ABD与△CBD中, 432.(2015四川宜宾中考)如图4-3-12,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.试说

明:∠A=∠D.

图4-3-12解析

∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE,即∠DCE=

∠ACB.在△ACB和△DCE中,

∴△ACB≌△DCE,∴∠A=∠D.2.(2015四川宜宾中考)如图4-3-12,AC=DC,B443.如图4-3-13,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=

BF,那么BE与DF之间有什么数量关系?请说明理由.

图4-3-133.如图4-3-13,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点45解析

BE=DF.理由如下:如图,连接BD.

在△ABD和△CDB中,

所以△ABD≌△CDB(SSS).所以∠A=∠C.因为AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF,即AE=CF,解析

BE=DF.理由如下:46在△ABE和△CDF中,

所以△ABE≌△CDF(SAS),所以BE=DF.在△ABE和△CDF中, 471.(2016河北唐山乐亭期中)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC

到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC—

CD—DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为

时,△ABP和△DCE全等.

()

A.1

B.1或3

C.1或7

D.3或71.(2016河北唐山乐亭期中)如图,在长方形ABCD中,A48答案

C

AB=CD,∠DCE=90°,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,则根

据SAS可证得△ABP≌△DCE,此时BP=2t=2,所以t=1;若∠BAP=∠DCE

=90°,AP=CE=2,则根据SAS可证得△BAP≌△DCE,此时AP=16-2t=2,解

得t=7.综上,当t的值为1或7时,△ABP和△DCE全等.故选C.2.如图,已知点D是△ABC的边AB上一点,AB∥FC,DF交AC于点E,DE=

EF.试说明:△ADE≌△CFE.

答案

C

AB=CD,∠DCE=90°,若∠AB49解析解法一:∵AB∥FC,∴∠F=∠ADE.在△ADE和△CFE中,有

∴△ADE≌△CFE(ASA).解法二:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF,在△ADE和△CFE中,有

∴△ADE≌△CFE(AAS).解析解法一:∵AB∥FC,∴∠F=∠ADE.503.如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,点E为BC的中点,点F为BD的中点,

连接AE,AF,AE=AF.试说明:∠C=∠D.

3.如图,在△ABC与△ABD中,BC=BD,点E为BC的中51解析

∵点E、点F分别为BC、BD的中点,∴BE=

BC,BF=

BD,又∵BC=BD,∴BE=BF.在△ABE和△ABF中,

∴△ABE≌△ABF(SSS),∴∠ABE=∠ABF(全等三角形的对应角相等).在△ABC和△ABD中,

∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D(全等三角形的对应角相等).解析

∵点E、点F分别为BC、BD的中点,52一、选择题1.(2018甘肃临泽二中月考,6,★☆☆)如图4-3-14所示,在下列条件中,不

能判断△ABD≌△BAC的条件是

()

图4-3-14A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC一、选择题53答案

C对于C,∠BAD与∠ABC不是BD和AB与AC和AB的夹角,所以

不能判断△ABD≌△BAC.二、填空题2.(2018广东佛山顺德江义初中期中,11,★☆☆)如图4-3-15所示,建高楼

常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是因为三

角形具有

.

图4-3-15答案

C对于C,∠BAD与∠ABC不是BD和AB与A54答案稳定性3.(2018江苏无锡宜兴月考,14,★★☆)如图4-3-16,∠DAB=∠EAC=65°,

AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,

则∠DOE的度数是

.

图4-3-16答案115°答案稳定性3.(2018江苏无锡宜兴月考,14,★★☆)如55解析∵∠DAB=∠EAC=65°,∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC,∴∠DAC=∠EAB.在△ADC和△ABE中,

∴△ADC≌△ABE(SAS),∴∠E=∠ACD,又∵∠AFE=∠OFC,∴∠EAF=∠COF=65°,∴∠DOE=180°-∠COF=115°.解析∵∠DAB=∠EAC=65°,56三、解答题4.(2018广东河源正德中学段考,22,★☆☆)如图4-3-17,已知AB=AC,∠B

=∠C,试说明:BD=CE.

图4-3-17解析在△ABD和△ACE中,∵∠B=∠C,∠A=∠A,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(ASA),∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).三、解答题解析在△ABD和△ACE中,575.(2017陕西西安七十中月考,21,★☆☆)如图4-3-18,AB=AC,AD=AE,BE

=CD,试说明:△ABD≌△ACE.

图4-3-18解析∵BE=CD,∴BE+ED=CD+ED,即BD=CE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SSS).5.(2017陕西西安七十中月考,21,★☆☆)如图4-3-581.(2018四川成都成华月考,11,★★☆)如图,A、B、C、D四点在一条直

线上,AB=CD,EC⊥AD于C,FB⊥AD于B,若要使△ACE≌△DBF,则还需

补充条件

.(写出一种即可)

答案∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等)1.(2018四川成都成华月考,11,★★☆)如图,A、B、59解析∵A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,∴AC=BD.又EC⊥

AD于C,FB⊥AD于B,∴∠ACE=∠DBF=90°,∴当根据ASA判定△ACE≌△DBF时,需要添加∠A=∠D.当根据AAS判

定△ACE≌△DBF时,需要添加∠E=∠F.当根据SAS判定△ACE≌△DBF时,需要添加CE=BF.当根据HL判定Rt△ACE≌Rt△DBF时,需要添

加AE=DF.故答案是∠A=∠D(或∠E=∠F或CE=BF或AE=DF等).解析∵A、B、C、D四点在一条直线上,AB=CD,∴AC=602.(2018江苏扬州广陵月考,15,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=

AC,分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,垂足分别为D、E,若

BD=3,CE=2,则DE=

.

答案52.(2018江苏扬州广陵月考,15,★★☆)如图,Rt△A61解析∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵BD⊥DE,∴∠BDA=90°,∴∠BAD+∠DBA=90°,∴∠DBA=∠CAE.∵CE⊥DE,∴∠E=90°.在△BDA和△AEC中,

∴△BDA≌△AEC(AAS),∴DA=CE=2,DB=AE=3,∴ED=5.解析∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,623.(2018江苏泰州高港月考,20,★★☆)长方形具有四个内角均为直角,并

且两组对边分别平行且相等的特征.如图,把一张长方形纸片ABCD折

叠,使点C与点A重合,折痕为EF.(1)如果∠DEF=110°,求∠BAF的度数;(2)判断△ABF和△AGE是否全等,请说明理由.

3.(2018江苏泰州高港月考,20,★★☆)长方形具有四个63解析(1)∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠CFE=180°-∠DEF=70°,由折叠知∠AFE=∠CFE=70°,∴∠AFB=180°-∠AFE-∠CFE=40°,∵∠B=90°,∴∠BAF=90°-∠AFB=50°.(2)△ABF≌△AGE.理由如下:由折叠知AG=CD,∠G=∠D=90°,∠DEF=∠GEF.∴∠B=∠G.∵AB=CD,∴AB=AG.解析(1)∵四边形ABCD是长方形,∴AD∥BC,AB=C64∵∠AEF=180°-∠DEF,∴∠AEG=∠GEF-∠AEF=2∠DEF-180°,又∠AFB=180°-2∠CFE=180°-2(180°-∠DEF)=2∠DEF-180°,∴∠AFB=∠AEG.在△ABF和△AGE中,

∴△ABF≌△AGE(AAS).∵∠AEF=180°-∠DEF,65一、选择题1.(2018河北中考,1,★☆☆)下列图形具有稳定性的是

()

答案

A三角形具有稳定性.故选A.一、选择题答案

A三角形具有稳定性.故选A.662.(2018江苏南京中考,5,★★☆)如图4-3-19,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是

AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为

()

图4-3-19A.a+c

B.b+c

C.a-b+c

D.a+b-c2.(2018江苏南京中考,5,★★☆)如图4-3-19,A67答案

D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b.∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.答案

D∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,683.(2018贵州安顺中考,5,★★☆)如图4-3-20,点D,E分别在线段AB,AC上,

CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD

()

图4-3-20A.∠B=∠C

B.AD=AEC.BD=CE

D.BE=CD3.(2018贵州安顺中考,5,★★☆)如图4-3-20,点69答案

D已知AB=AC,∠A为公共角,选项A,添加∠B=∠C,利用ASA即可说明△ABE≌△ACD;选项B,添加AD=AE,利用SAS即可说明△ABE≌△ACD;选项C,添加BD=CE,易得AD=AE,然后利用SAS即可说明△ABE≌△ACD;选项D,添加BE=CD,因为SSA不能判定两三角形全等.故选D.答案

D已知AB=AC,∠A为公共角,70二、解答题4.(2018四川泸州中考,18,★★☆)如图4-3-21,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试

说明:∠F=∠C.

图4-3-21二、解答题71解析∵DA=BE,∴DE=AB,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠C=∠F.解析∵DA=BE,∴DE=AB,725.(2018陕西中考,18,★★☆)如图4-3-22,AB∥CD,E、F分别为AB、CD

上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,试

说明:AG=DH.

图4-3-225.(2018陕西中考,18,★★☆)如图4-3-22,AB73解析∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.在△ABH和△DCG中,∵

∴△ABH≌△DCG(AAS),∴AH=DG,∵AH=AG+GH,DG=DH+GH,∴AG=DH.解析∵AB∥CD,∴∠A=∠D.741.(2018山东菏泽中考,17,★★☆)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出

DF与AE的数量关系,并说明理由.

解析

DF=AE.理由:∵AB∥CD,∴∠C=∠B.∵CE=BF,∴CE-EF=BF-FE,∴CF=BE.又∵CD=AB,∴△DCF≌△ABE(SAS),∴DF=AE.1.(2018山东菏泽中考,17,★★☆)如图,AB∥CD,752.(2018四川南充中考,18,★☆☆)如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.试说明:∠C=∠E.

2.(2018四川南充中考,18,★☆☆)如图,已知AB=A76解析∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,即∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,∵

∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠C=∠E.解析∵∠BAE=∠DAC,773.(2018浙江温州中考,18节选,★★☆)如图,在四边形ABCD中,E是AB的

中点,AD∥EC,∠AED=∠B.试说明:△AED≌△EBC.

解析∵AD∥EC,∴∠A=∠BEC.∵E是AB的中点,∴AE=EB.∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC(ASA).3.(2018浙江温州中考,18节选,★★☆)如图,在四边形781.如图4-3-23①,已知AB=AC,D为∠BAC的平分线上一点.连接BD,CD,全

等三角形的对数是

;如图4-3-23②,已知AB=AC,D,E为∠BAC的平分线上的两点.连接BD,CD,

BE,CE,全等三角形的对数是多少?如图4-3-23③,已知AB=AC,D,E,F为∠BAC的平分线上的三点,连接BD,

CD,BE,CE,BF,CF,全等三角形的对数是多少?……依此规律,第n个图形中全等三角形的对数是多少?图4-3-231.如图4-3-23①,已知AB=AC,D为∠BAC的平分线79解析题图①中,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD与△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS).∴题图①中有1对全等三角形.同理,题图②中,△ABE≌△ACE,∴BE=EC,∵△ABD≌△ACD,∴BD=CD.在△BDE和△CDE中,

∴△BDE≌△CDE(SSS),解析题图①中,∵AD是∠BAC的平分线,80∴题图②中有3对全等三角形.同理,题图③中有6对全等三角形.由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是

.∴题图②中有3对全等三角形.812.(2018山西期中)问题情境:如图4-3-24①,在直角三角形ABC中,∠BAC=

90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C;特例探究:如图4-3-24②,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分

别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.

试说明:△ABD≌△CAF;归纳证明:如图4-3-24③,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在

∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知

AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.试说明:△ABE≌△CAF;拓展应用:如图4-3-24④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=

2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△

ACF与△BDE的面积之和为

.2.(2018山西期中)问题情境:如图4-3-24①,在直角82