2023年高考数学-25个必考点-21-抛物线检测

专题21抛物线

巩固训练

一、根底过关题

1.（2023全国卷HI）点和抛物线"*心，过。的焦点且斜率为k的直线与C

交于B两

点.假设乙那么土=.

【答案】2

【解析】依题意得，抛物线C的焦点为尸（L0）,故可设直线四y=*（x-D,

联立l/=4x.消去尸得好9-（2炉+4"+炉=o设义孙必）8（孙乃），

汨+4一、»4

那么＞/=丁，痔7..乃+冯=6+6％北，

加2=/[x/1_（X1+勺）+“=T.又M=（4+1Y_D,MB=（x2+l.^a-1）

...而丽=（七+1）（跖+D+5-1）仇-D

卯+4..4

=入用+5+与）+1+＞必-5+M）+广】+~；?-+1-4-1+1=°,...k=2.

2.（2023-昆明调研）抛物线C的顶点是原点0,焦点厂在x轴的正半轴上，经过厂的直线

与抛物线，交于4、8两点，如果,=一12,那么抛物线C的方程为（）

A.x=8yB./=4y

C.y=8xD.y=\x

【答案】C

【解析】由题意，设抛物线方程为*=2/SO),直线方程为X=吨+多

产=2/，

p消去x得j2-2P叫一厂二。，

A—»n+\,

设X(xi,11),5(X2,yi),则yi+>=2pw«,丁国=一厂,

得及•O3=xiX2+yi)'2=(rn)'i+^)(»!y：+与)+i']V2=w:viT2+笑口：+心)+9+>上=~步=-12np=4,

即抛物线C的方程为F=8x.

3.抛物线/=2p*(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于力、6两点，假设线段加？

的中点的纵坐标为2,那么该抛物线的准线方程为()

A.x=\B.x=­1C.x=2D.x=-2

【答案】B

P

【解析】••♦/=2px(p〉0)的焦点坐标为(2,0),

P

.♦.过焦点且斜率为1的直线方程为尸x—2,

P

即1=旷+2,将其代入/=2px,得4=2"+—

即4—2py—02=0.设/J”/),6(总，㈤，

yi+y2

那么y\+y-i=2p,2=p=2,

...抛物线的方程为/=4x,其准线方程为x=-l.

yiy2

4.抛物线/=2后(或0)的焦点弦的两端点坐标分别为4(汨，必)，B5,%),那么X1X2的

值一定等于()

A.-4B.4C.pD.~p

【答案】A

【解析】①若焦点弦.W3_Lx轴，则X1=X：T，♦“足畤；

'-y^—p>%=~p，二口心二一A，

.•吟—4.

XIX：

②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为>=Mx-§,

联立尸=2/，得2：x：-（r：p+2p）x+/=0,贝心大吉.

•,邮=”故送二T

5.如图，过抛物线/=2px（p>0）的焦点下的直线交抛物线于点从B,交其准线1于点C,假

设Ia1=2|明，且|v|=3,那么此抛物线的方程为（）

A.7=9x

B.，=6x

C.y—"3x

D./=*

【答案】C

【解析】如图，分别过4、8作A4」,于4,仍」/于8,

由抛物线的定义知：-4F二」±,3F=3Byf-：3C=23Ff

：.BC=2BBy,：.ZBCB.=3QZ,：.^-lFx=603,

连接山尸，则人£力尸为等边三角形，过F作FF11W土于巧，则尸】为42的中点,

设/交x轴于K,则AF-J1F）即尸号

抛物线方程为F=3x.故选C.

|PF|

6.抛物线/=4x的焦点为尸，点尸（x,力为该抛物线上的动点，假设点火一1,0）,那么|PA|

的最小值是（）

1232

A.2B.2C.2D.3

【答案】B

【解析】抛物线/=4x的准线方程为x=-l,

过P作/W垂直直线x=—1于N,

由抛物线的定义可知PF\=|网，连接PA,

PN|

在Rl△必加中，sinZm=|PA|,

|PN||PF|

当|PA|=|PA|最小时，sin/%V最小，即/AW最小，即/必尸最大,

此时，必为抛物线的切线，设为的方程为尸A（x+1）,

y=k(x+l,

联立y2=4x,得后？+(2/一4)x+〃=0,

所以/=(2〃-4)2—4"=0,解得％=±1,所以N必尸=/制=45°,

|PF||PN|2

PA=PA|=cosZNPA=2,应选B.

7.设厂为抛物线G/=3x的焦点，过户且倾斜角为30°的直线交。于/,8两点，那么|明

【答案】12

【解析】焦点尸的坐标为弓,。，

方法一直线乩3的斜率为坐，所以直线AB的方程为y=y{x-

即)二^L坐，代入F=3x,得泉-3+行=0.

■>1213

设.4(X1,VI),5(X2,yi),则xi+x：=7,所以』5=x1+x2+p=M+彳=12.

方法二由抛物线焦点弦的性质可得

J5-sm-0-sm*3O5-1-

8.抛物线a/=20x(p>0)的准线为/,过材(1,0)且斜率为的直线与/相交于点4与。的

一个交点为反假设=,那么°=.

【答案】2

【解析】如图,由的斜率为,

知N。=60°,又=,."I/为的中点.

过点5作露垂直准线1于点P,

刃K么/4fl^=60°,：.ZBAP=iQ°,

1

BP=2AB-|.

P

:.M为焦点,EP2=1,：,p=2.

1

9.椭圆£的中心在坐标原点，离心率为2,£的右焦点与抛物线G/=8x的焦点重合，A,

6是C的准线与£的两个交点，那么|4冽=_______.

【答案】6

【解析】抛物线V=8x的焦点为（2,0）,准线方程为x=-2.

x2y2c1

设椭圆方程为a2+b2=l（a>»0）,由题意，c=2,a=2,

可得a=4,万'=16—4=12.

x2y2

故椭圆方程为16+12=1.

把工=-2代入椭圆方程，解得尸土3.从而148；=6.

10.（2023•沈阳模拟）过抛物线7=2勿（0>0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于（为，％）,

B（X2,鹿）（XI<%）两点，且|48|=9.

（1）求该抛物线的方程为/=8x；

（2）。为坐标原点，C为抛物线上一点，假设=+3求人的值.

【答案】（1）该抛物线的方程；（2）4=0或4=2.

解⑴直线AB的方程是,与F=2淬联立，

从而有4/-5/+加=0.所以为+k二多由抛物线定义得

*B；=XI+X；!+P=¥+P=9,

所以P=4,从而抛物线方程为产=Sx.

(2)由于p=4,则4x2-5px+A=Q,即必一5x+4=。，从而为=1,x：=4,

于是>=-2心11=4^2,从而5—40).设C(x””)，

则比=8,>3)=(1,-2啦)+/.(4,4/)=(以+140；.-2/).

又"=8X3,即［23(2；.-1)尸=8(如+1),整理得(21-1)2=42+1,

解得Z=0或/=2.

二、能力提高题

1.(2023•上饶四校联考)设抛物线Ct/=3px(p>0)的焦点为F,点M在。上，1Ml=5,

假设以好'为直径的圆过点(0,2),那么抛物线C的方程为()

A./=4x或/=8xB./=2x或/=8x

C./=4/或/=16xD.7=2才或/=16X

【答案】C

【解析】••・抛物线c：F=3pxgo）的焦点为尸（¥，0）,

。尸』

..以的为直径的圆过点色2）,设/（Q2）,连接乂F,Auf可得也」£上在壮■0尸中，."=

%

4___

.,.sinZOAF=蒜,

16

根据抛物线的定义，得直线-W。切以反尸为直径的圆于点H

：.Z.0AF-^MF,可得在RtzU鬼F中,

：.C的方程为f=4x或炉=1故.

2.设直线/与抛物线/=4x相交于46两点，与圆（万-5）2+/=d（7〉0）相切于点瓶且M

为线段46的中点.假设这样的直线/恰有4条，那么r的取值范围是.

【答案】（2,4）

【解析】如图，设4（为，yi）>B（X2,%）,1/（8，㈤,

2

那么=4x2,两式相减得，（%+%）（%—%）=4（汨一尼）.

当］的斜率《不存在时，符合条件的直线1必有两条.

当t存在时，X1HX2,则有匚匹尸产=2,

23一期

又州所以"QZ

由得卜・9~~ir=-1,即田:—以因此2=5—以处=3,

X。一）

即“必在直线x=3上.将x=3代入产=公，得］1=12,则有一2/学<2通

因为点M在圆上，所以（处-5>+土=*故?+

又用+4X（为保证有4条，在片存在时，io=O）,

所以40c<16,即2<x4.

3.设R0同恻线y=2勿（或0）上相R两点P,。至离的R为4,且•=（）.

（1）求该抛物线的标准方程;

⑵过点。的直线与抛物线的另一交点为亿与x轴的交点为7,且。为线段应■的中点，试

求弦心长度的最小值.

【答案】⑴该抛物线的方程为4=2x；（2）掰|最小值为4.

【解析】⑴设〃（小，片），Q（抱,

:

,=0,那么xiXi+yty2=0.

22

又点只。在抛物线上，.••ylMZpx”/2=2px”

代入得1•2+%〃2=0,

（yly22

yi^=-4p,/.|%,!=4p2=4p.

又|为也|=4,.*.4/=4,p=l,.,.抛物线的标准方程为一=2*.

⑵设直线出过点以a,0）且方程为x=my+a,

x=my+a,yl+y2=2m,

联立方程组y2=2x,消去x得产一2a=0,yly2=-2a,①

设直线掰与x轴交于点以6,0）,那么可设直线外的方程为6,并设义国，必），同

理可知，

yl+y3=2n,

yly3=-2b,②

y3b

由①②可得y2=a.

由题意得，0为线段打的中点，二必=2%；"=2a.

又由（1）知,必乃=—4,代入①，

可得-2a=-4,a=2,.*.6=4,■n=—8,

\PR\=I%一=•=2•24.

当n=0,即直线外垂直于x轴时，|g?|取最小值4.

4.如图，由局部抛物线：y=mx+\（/»>0,x20）和半圆f+/=/（xW0）所组成的曲线称为

13

“黄金抛物线广，假设“黄金抛物线经过点⑶2）和（一2,2）.

(D求“黄金抛物线厂的方程;

(2)设尸(0,1)和0(0,-1),过点尸作直线/与''黄金抛物线小相交于4P,8三点，问

是否存在这样的直线/,使得“平分//期假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，

说明理由.

【答案】(1)黄金抛物线。的方程为“=x+1(x20)和*+「=1(后0)；(2)存在直线/：

y=(-l)x+l,使得Q0平分/幽B

【解析】⑴黄金抛物线b过点(3,2)和(一；,坐)，

.•./=(-；＞+(雷)==1,4=3加+1,

・:黄金抛物线小的方程为F=x+1(启①和x:+炉=1(烂0).

(2)假设存在这样的直线1,使得QP平■分乙AQB,显然直线1的斜率存在且不为0,

y=kx+l,

设直线/：y=kx+1,联立y2=x+L消去y,

]—2k1—k1—2k1—kk

得W+(2A—1)x=0,：.XR=k2,%=k,即8(k2,k),A幽=1-2k,

y=kx+l,

联立x2+y2=l,消去y,得(〃+1)V+24x=0,

2k1—k22k1—k21

XA——k2+1,yA—k2+1»即4(—k2+1,k2+1)»k,w——k>

<QP平.64AQB,：.kw+ka=0,

k1

.M-2k-k=0,解得a=一1土,

由图形可得a=一1一应舍去，-1,

.,.存在直线/：y=(T)x+l,使得⑷平分N4K

5.12023高考北京卷19)抛物线&"=2px经过点p[1,2).过点0(0,1)的直线/

与抛物线C有两个不同的交点儿B,且直线必交y轴于也直线加交y轴于儿

（I）求直线，的斜率的取值范围；

（II）设。为原点，磔，蕾=〃06,求证：泊为定值.

t解析】（I）因为抛物线）：=2淬经过点尸（1,2）,

所以4=2p,解得尸2,所以抛物线的方程为F=4x.

由题意可知直线；的斜率存在且不为0,

设直线，的方程为尸fcv-1（^0）.

由卜=4x得工丫：-（22-4）x-l=0.

依题意d=（2比一4）二一4x话X1>0,解得k<0或U<k<l.

又加，PB与y轴相交，故直线，；不过点（1,-2）.从而上-3.

所以直线/斜率的取值范围是（-8,-3）U（-3,0）U（0,1）.

（II）设/（小，％）,B（X2,於）.

2*-41

由⑴知5F=-k,天三

尸2■左MX-D

直线必的方程为y-2=玉T

无■型^+2■也与+2

令下0,得点"的纵坐标为4-I弓-I.

y«・

同理得点,v的纵坐标为

2”JMAULAI

由叫・4QO,QN/QO得，人=1-%

所以

2次-4

11114-1Xi-II2xjr-(xi+x,)IkX

—+-=-----+-----=-------+---