建筑力学-第10章-梁的强度与刚度教学课件

四川建筑职业技术学院3.掌握用叠加法计算梁弯曲时的变形以及进行刚度计算。*4.理解应力状态的概念。了解应力状态的分类。*5.掌握平面应力状态中单元体斜截面上的应力计算，主应力和主平面计算，最大切应力和最大切应力平面计算。*6.理解梁的主应力迹线的概念。四川建筑职业技术学院§10－1梁弯曲时的应力

10－1－1梁横截面上的正应力剪力和弯矩是横截面上分布内力的合力。在横截面上只有切向分布内力才能合成为剪力，只有法向分布内力才能合成为弯矩（图）。因此，梁的横截面上一般存在着切应力和正应力，它们分别由剪力FS和弯矩M所引起的。。

四川建筑职业技术学院1.纯弯曲时梁横截面上正应力的计算梁弯曲时横截面上如果只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪力，则称这种弯曲为横力弯曲。如图所示的简支梁，其CD段是纯弯曲情况，而AC和DB段则是横力弯曲情况。纯弯曲是弯曲中最简单的情况，下面先研究纯弯曲梁横截面上的正应力计算。

四川建筑职业技术学院取截面具有竖向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在梁侧面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，如图10所示。然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲（图10）。此时可观察到下列现象：①纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短，靠近凸面的伸长。②横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度。③纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。四川建筑职业技术学院根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断，作出如下假设：①梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称为平面假设。②设想梁由许多纵向纤维组成。变形后，由于纵向直线与横向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受到横向剪切和挤压，只受到单方向的拉伸或压缩，即靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。四川建筑职业技术学院根据以上假设，靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。由于变形的连续性，纵向纤维自受压缩到受拉伸的变化之间，必然存在着一层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这一层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图所示。梁弯曲时，各横截面绕各自中性轴转过一角度。可以证明，中性轴通过横截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴。四川建筑职业技术学院可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为

式中：M—横截面上的弯矩；y—横截面上待求应力点至中性轴的距离；Iz—横截面对中性轴的惯性矩（见附录一）。在使用公式（10-1）计算正应力时，通常以M、y的绝对值代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正(拉)或负(压)，即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，梁的凹入边的应力为压应力。(10－1)四川建筑职业技术学院在同一横截面上，弯矩M和惯性矩Iz为定值，因此，由式(10－1)可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，即中性轴上各点处的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。2.横截面上正应力的分布规律和最大正应力四川建筑职业技术学院

最大应力值为

令

则最大正应力可表示为式中：Wz—截面对中性轴z的弯曲截面系数。它只与截面的形状及尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几何量，常用单位为mm3或m3。

四川建筑职业技术学院3.惯性矩和弯曲截面系数的计算几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用。由简单截面组合而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ。型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。四川建筑职业技术学院4.横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式横力弯曲时梁横截面上不仅有弯矩而且还有剪力，因此梁横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比值l/h＞5时，其误差甚小。因此，式(10－1)也适用于横力弯曲。但要注意，纯弯曲梁段M为常量，而横力弯曲梁段M是变量，故应用M(x)代替式(10－1)中的M。四川建筑职业技术学院在横力弯曲时，如果梁的横截面对称于中性轴，例如矩形、圆形和圆环形等截面，则梁的最大正应力将发生在最大弯矩（绝对值）所在横截面的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值相等。梁的最大正应力为max=

如果梁的横截面不对称于中性轴，例如T形截面，由于y1≠y2，则梁的最大正应力将发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在横截面上的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值不相等（详见例10－1）。四川建筑职业技术学院例10－1求图a、b所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩Iz=7.64106mm4，且y1=52mm。解（1)绘制梁的弯矩图。梁的最大正弯矩发生在截面C上。MC=2.5kNm

最大负弯矩发生在截面B上MB=4kNm

四川建筑职业技术学院（2)计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。（3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。四川建筑职业技术学院综合以上可知，梁的最大拉、压应力分别为tmax=tC=28.8MPacmax=cB=46.1MPa四川建筑职业技术学院10－1－2梁横截面上的切应力

1.切应力分布规律假设①横截面上各点处的剪应力τ都与剪力FS方向一致；②横截面上距中性轴等距离各点处切应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。2.矩形截面梁的切应力计算公式四川建筑职业技术学院FS——横截面上的剪力；Iz—整个截面对中性轴的惯性矩；b—需求切应力处的横截面宽度；—横截面上需求切应力点处的水平线以上(或以下)部分的面积A*对中性轴的静矩用上式计算时，FS与均用绝对值代入即可。四川建筑职业技术学院在上、下边缘处，切应力为零；在中性轴上(y=0)，切应力最大，其值为由上式可知，矩形截面梁横截面上的最大切应力值等于截面上平均切应力值的1.5倍。3.工字形截面梁切应力可按矩形截面的切应力公式计算，即四川建筑职业技术学院d—腹板的厚度；—横截面上所求切应力处的水平线以下（或以上）至边缘部分面积A＊对中性轴的静矩。最大切应力发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀分布，其值为FS—横截面上的剪力；Af—腹板的面积。对于工字钢截面，最大切应力的值为——由型钢规格表查得；d——腹板的厚度。四川建筑职业技术学院4.圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁圆形截面梁：薄壁圆环形截面梁：例10－2一矩形截面简支梁如图所示。已知l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN，求m—m截面上K点处的切应力。四川建筑职业技术学院解（1)求支座反力及m-m截面上的剪力。FA=FB=F=3kNFS=－FB=－3kN（2)计算截面的惯性矩和静矩。（3)计算m-m截面上K点处的切应力。四川建筑职业技术学院例10－3图所示矩形截面简支梁，受均布荷载q作用。求梁的最大正应力和最大切应力，并进行比较。解绘出梁的剪力图和弯矩图，分别如图b、c所示。梁的最大正应力和最大切应力分别为四川建筑职业技术学院最大正应力和最大切应力的比值为从本例看出，梁的最大正应与最大切应力之比的数量级约等于梁的跨度l与梁的高度h之比。因为一般梁的跨度远大于其高度，所以梁内的主要应力是正应力。四川建筑职业技术学院§10－2梁弯曲时的强度计算10－2－1梁的强度条件

1.梁的正应力强度条件对于等截面直梁，上式可写为[σ]——材料的许用正应力对于抗拉和抗压强度不同的脆性材料

σtmax≤[σt]σcmax≤[σc][σt]为许用拉应力[σc]为许用压应力四川建筑职业技术学院2.切应力强度条件max≤［］

[τ]——材料的许用切应力10－2－2梁的强度计算

对于一般的跨度与横截面高度的比值较大的梁，其主要应力是正应力，因此通常只需进行梁的正应力强度计算。但是，对于以下三种情况还必须进行切应力强度计算：①薄壁截面梁。例如，自行焊接的工字形截面梁等。②对于最大弯矩较小而最大剪力却很大的梁。③木梁。四川建筑职业技术学院例10－4图为支承在墙上的木栅的计算简图。已知材料的许用应力［］=12MPa，［τ］=1.2MPa。试校核梁的强度。解（1)绘制剪力图和弯矩图。FSmax=9kNMmax=11.25kNm（2）校核正应力强度。可见梁满足正应力强度条件。（3)校核切应力强度。梁也满足切应力强度条件。四川建筑职业技术学院例10－5图所示由45c号工字钢制成的悬臂梁，长l=6m，材料的许用应力［］=150MPa，不计梁的自重。试按正应力强度条件确定梁的许用荷载。解绘制弯矩图Mmax=Fl

45c号工字钢的Wz=1570cm3

四川建筑职业技术学院例10－6图所示工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力［］=160MPa，［τ］=100ΜPa。试选择工字钢型号。解（1)绘制剪力图和弯矩图。

FSmax=23kN，Mmax=51kNm（2)按正应力强度条件选择工字钢型号。选用22b号工字钢，其Wz=325cm3，可满足要求。四川建筑职业技术学院（3)按切应力强度条件进行校核。

Iz：Sz=18.7cm，d=9.5mm可见满足切应力强度条件。因此选用22b号工字钢。四川建筑职业技术学院§10－3提高梁弯曲强度的主要措施

1.合理布置梁的支座和荷载2.采用合理的截面梁的最大弯矩确定后，梁的弯曲强度取决于弯曲截面系数。梁的弯曲截面系数Wz越大，正应力越小。应使截面的Wz/A比值尽可能大，这种截面称为合理截面。3.采用变截面梁为提高材料的利用率、提高梁的强度，可以设计成各截面应力值均同时达到许用应力值，这种梁称为等强度梁。工程中一般只采用近似等强度的变截面梁。四川建筑职业技术学院§10－4梁弯曲时的变形和刚度计算

10－4－1挠度和转角

在平面弯曲的情况下，梁的轴线AB在平面内弯成一条光滑而又连续的曲线AB，称为梁的挠曲线。梁的变形可用以下两个位移量来表示：（1）挠度。梁任一横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称为该横截面的挠度，用w表示。四川建筑职业技术学院（2）转角。梁任一横截面绕其中性轴转过的角度，称为该横截面的转角，用φ表示。规定沿w轴正向（即向下）的挠度为正，反之为负。符号规定：规定φ以顺时针转向时为正，反之为负。梁的挠曲线方程和转角方程：

梁横截面的挠度w和转角φ都随截面位置x而变化，是x的连续函数w=w(x)φ=φ(x)四川建筑职业技术学院积分法求任一横截面的挠度和转角，通过建立和求解梁的挠曲线的近似微分方程，就可以得到梁的挠曲线方程和转角方程，然后积分。10－4－2用叠加法求梁的变形

按照叠加原理，当梁上同时作用几个荷载时，可以先分别求出每个荷载单独作用下梁的挠度或转角，然后进行叠加(求代数和)，即得这些荷载共同作用下的挠度或转角。这种求梁变形的方法称为叠加法。四川建筑职业技术学院例10－7图所示简支梁，同时受均布荷载q和集中荷载F作用，试用叠加法计算梁的最大挠度。设弯曲刚度EI为常数。解

查表得，简支梁跨中点C处有最大挠度，其值为(↓)在集中荷载作用下，简支梁跨中点C处有最大挠度，其值为(↓)在荷载q、F共同作用下，截面C的挠度为该梁的最大挠度，其值为(↓)四川建筑职业技术学院简单荷载作用下梁的变形

四川建筑职业技术学院10－4－3梁的刚度校核

梁的刚度条件为、——梁的最大挠度和最大转角；

——许用挠度和许用转角。、在建筑工程中，通常采用最大挠度与跨度l之比

四川建筑职业技术学院例10－8图所示由32a号工字钢制成的悬臂梁，长l=3.5m，荷载F=12kN，已知材料的许用应力=170MPa，弹性模量E=210MPa，梁的许用挠跨比试校核梁的强度和刚度。解（1)求梁的最大弯矩和最大挠度。Mmax=MA=Fl=42kN·m查表，梁最大挠度发生在自由端B截面处，其值为

wmax=wB=（2)校核梁的强度。梁满足强度条件。四川建筑职业技术学院（3)校核梁的刚度。=2.1×10-3＜可见梁也满足刚度条件。四川建筑职业技术学院§10－5梁的主应力迹线

10－5－1应力状态的概念

1.应力状态的概念通过构件内某一点所有不同截面上的应力情况集合，称为一点处的应力状态。研究一点处的应力状态时，往往围绕该点取一个微小的正六面体，称为单元体。单元体面上只有正应力而没有切应力，这些切应力为零的平面称为主平面，其上的正应力称为主应力。三个主应力分别用σ1、σ2、σ3。四川建筑职业技术学院围绕一点按三个主平面取出的单元体称为主应力单元体。

2.应力状态分类单元体上三对平面都存在应力的状态称为空间应力状态。

只有两对平面存在应力的状态称为平面应力状态

只有一对平面存在应力的状态称为单向应力状态

仅有切应力作用，则称为纯剪切应力状态

四川建筑职业技术学院10－5－2平面应力状态分析

1任意斜截面上的应力平面应力状态的单元体及其平面图形分别如图a、b所示，现在求单元体上任一斜截面ef上的应力。在以下的计算中，规定从x轴正向到外法线n为逆时针转向时，角α为正，反之为负。应力的符号规定与以前相同，即对正应力，规定拉应力为正，压应力为负；对切应力，规定其对单元体内任一点的矩为顺时针转动方向时为正，反之为负。图c中的σx、σy、σα、τx均为正值，τy为负值。四川建筑职业技术学院设斜截面ef的面积为dA，则eb面的面积为dAcosα，bf面的面积为dAsinα。将作用于楔形体上所有的力分别向n和t轴上投影（图d），列出平衡方程并简化得：应用这两个公式时，一定要注意式中各量的正负号。四川建筑职业技术学院2.应力圆将上面两式中α的消去，得由上式确定的以为变量的圆，称为应力圆。圆心的横坐标为纵坐标为零圆的半径为它是由德国工程师莫尔（O.Mohr）于1882年首先提出的，故也成为莫尔圆。四川建筑职业技术学院例10－9从受力构件内某点处取出的单元体的应力状态如图所示，求该点处α=30°斜截面上的应力。解根据符号规定，有

σx=l00MPa，τx=20MPa，σy=40MPa，四川建筑职业技术学院3.主平面和主应力若α=α0时，能使导数则有进一步求得最大或最小正应力为正应力为最大或最小所在的平面即为主平面。因此，主应力就是最大或最小的正应力。四川建筑职业技术学院单元体两个相互垂直的截面上的正应力之和为一定值。4.最大切应力及其平面位置切应力的最大值和最小值为最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°。最大切应力和最小切应力的数值等于最大主应力与最小主应力之差的一半。四川建筑职业技术学院例10－10如图a所示矩形简支梁，已知其横截面m-m上点B（图b）的正应力和切