山东省临沂市沂水县第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省临沂市沂水县第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（

）

A．

B.

C.

4

D.参考答案：D2.参考答案：B3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是

（

）

(A)[15,20] (B)[12,25]

(C)[10,30] (D)[20,30]参考答案：C4.下列命题中，真命题是A.

B.

C.

D.

参考答案：B5.若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．(1,2)参考答案：C6.如图1给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：C该程序框图为求和运算．s=0，n=2，i=1，i10？否；s=0+，n=4，i=2，i10？否；s=0++，n=6，i=3，i10？否；…；s=0+++…+，n=22，i=11，i10？是，输出s=.得C选项．7.已知是关于x的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个数是（

）A.2 B.1 C.0 D.不确定参考答案：A【分析】先用斜率公式求出直线AB的斜率，再根据点斜式方程得到直线AB的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，化简直线方程，可以判断出直线过定点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。【详解】因为是关于的方程的两个不等实根所以，且，直线AB的斜率直线AB的方程为即整理得故直线AB恒过(2,1)点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。故选A.【点睛】本题考查直线过定点问题以及直线和椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线恒过定点，属于偏难题目。8.已知命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与一定共线．命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（）A．P∧Q B．（￢P）∧Q C．（￢P）∧（￢Q） D．P∧（￢Q）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断出命题P和命题Q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与共线或为零向量．故为假命题，命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角或零解，故为假命题．故命题P∧Q，（￢P）∧Q，P∧（￢Q）均为假命题，命题（￢P）∧（￢Q）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，向量的运算，向量的夹角等知识点，难度中档．9.已知，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点对称B．f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上单调递增D．将f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到y=sin2x的图象参考答案：B【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于已知，令x=，求得f（x）=，故排除A；令x=，求得f（x）=1为最大值，可得f（x）的图象关于直线对称，故B正确．在区间上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间上单调递减，故排除C；将f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到y=sin（2x﹣+）=sin（2x﹣）的图象，故排除D，故选：B．10.成立的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在6=b（Modm）中，当，且m＞1时，b的所有可取值为

．参考答案：2或3或4由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6﹣b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去故答案为：2或3或412.集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则?R（A∩B）=．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B交集的补集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴A=[﹣1，5]，由B中y=﹣x2，﹣1≤x≤2，得到﹣4≤y≤0，即B=[﹣4，0]，∴A∩B=[﹣1，0]，则?R（A∩B）=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．13.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于．参考答案：【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等．根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．利用体积法，求其高，即可得主视图的高．可得主视图的面积【解答】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：SAB，SBC，SAC）且边长相等为，其体积为V==根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形．其面积为：．设主视图的高OS=h，则=．∴h=．主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为．∴得面积S=．故答案为14.已知定义在R上的奇函数f（x），对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且f（﹣1）=2，则f（4）+f（5）=．参考答案：﹣2【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【分析】求出f（0）=0，f（x）是以4为周期的周期函数，即可求出f（4）+f（5）的值．【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，又f（1+x）=f（1﹣x），所以f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（4）+f（5）=f（0）+f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=0﹣2=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．15.（坐标系与参数方程选做题）．如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则

．参考答案：略16.设a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，面积S=c2．若ab=，则a2+b2+c2的最大值是

．参考答案：4【分析】由已知及三角形面积公式可求c2=sinC，利用余弦定理可求a2+b2=sinC+2cosC，利用三角函数恒等变换的应用可求a2+b2+c2=4sin（C+），利用正弦函数的有界性即可求得a2+b2+c2的最大值．【解答】解：∵=absinC，，∴c2=sinC，∴sinC=a2+b2﹣2abcosC，可得：a2+b2=sinC+2cosC，∴a2+b2+c2=sinC+2cosC+sinC=2×（sinC+cosC）=4sin（C+）≤4，即a2+b2+c2的最大值是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．17.若，.则.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲]如图6，直线AB经过圆O上一点C，且OA=OB,CA=CB,圆O交直线OB于E,D.(1)求证：直线AB是圆O的切线；(2)若，圆O的半径为3，求OA的长.

参考答案：(1)略；(2)5解析：（1）证明：如图4，连接，∵∴，∴是⊙O的切线.（2）解：∵是直径，∴，在Rt△ECD中，∵,∴.∵AB是⊙O的切线，∴，又∵，∴△BCD∽△BEC,∴==，设则，

又，∴，解得：,∵,∴，∴.

略19.(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知不经过A点的直线与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，证明：．参考答案：解：（Ⅰ）由可得，所以，………………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为：.…………………5分（Ⅱ）设，联立方程，得，解得，所以，，……7分∴，分子.……………10分∴,∴．…………12分

20.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，,（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；（3）求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）；（3）试题分析：（1）要证面面垂直，就要证线面垂直，也即要证线线垂直，考虑到是等腰直角三角形，因此取中点，则有，同时是等边三角形，因此有，从而是二面角的平面角，由己知计算线段的长，由勾股定理知，这样就不需要再证明线面垂直了，根据直二面角的定义得面面垂直，这也是证面面垂直的另一种方法；（2）对于这种运动问题，一种方法首先作出直线与平面所成的角，由（1）知为直线与平面所成的角，要使这个角最大，则最小，因此，然后计算可得；第二种方法，以以为原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，，可求出点坐标，是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则，计算后它是的函数，函数值最大时最大；（3）在（2）建立空间直角坐标系的基础上，求得平面与平面的法向量，由法向量夹角可得二面角．（2）解法1：如图，连结，由（1）知，∴平面，为与平面所成的角，在中，∵,要最大时，只需取最小值，而的最小值即点到的距离，这时，，故当最大时，，即与平面所成最大角的正切值为．解法2：由（1）知平面，，设与平面所成的角为，则当时，取最大值，，又，此时最大，，即与平面所成最大角的正切值为.（3）由（2）得，，设平面的法向量为，则，取，则，即，平面的一个法向量为，设二面角大小为，易知其为锐角，所以．所以二面角的余弦值为.考点：面面垂直判定，直线与平面所成的角，二面角．21.等差数列{an}中，a2+a3+a4=15，a5=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{×bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的an代入bn求出bn，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d首项为a1，由题意得，，即，解得a1=1，d=2，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=3n，∴=n3n，∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，②①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+