2023年高考数学第31讲 补体立足展拓空间分割在于化繁为简

第31讲补体立足展拓空间，分割在于化繁为

简

一、攻关方略

割补法是高中数学中的重要思想方法之一，是割法与补法的总称.割法是把复杂的几何体切割

成简单的几何体，把复杂的几何图形切割成规范的几何图形.补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体

延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割与补是对立统一的，

是一个问题的两个相反方向.“割”就是“分解”“补”就是“合成”.从哲学的角度分析，分与

合是矛盾对立的双方，完整地说,割补法的实质是分解O合成、分割o拼补的辩证思考，属

于整体与局部的数学思想范畴.

有些立体几何问题和平面图形问题，根据已知图形直接求解较为困难，若将图形进行适当的“割”

或“补”后，则可转化为熟悉的容易求解的问题，即变整体为局部，把局部扩展为整体，化不规则为

规则，化抽象为直观，为顺利运用公式、定理解题铺平道路、排除障碍.

高中阶段，割补法解题用得较多的是某些空间图形的研究，常见的如下.

(1)斜棱柱割补成直棱柱.

(2)棱锥补成棱柱;棱柱割成棱锥.

(3)四面体、三棱柱补成平行六面体.

(4)某些特殊的三棱锥补成长方体或正方体.

(5)将某些不规则几何体补形为简单而规则的几何体.

(6)补台成锥,割锥成台与小锥体.

真可谓：

补体立足展拓空间，

便于整体宏观把控.

分割在于化繁为简,

局部也能刻画整体.

二、例题展示

例1设正四棱锥P-ABCD的体积为l,E,F,G、H分别是线段AB,CD,PB、PC的中

点，则多面体BEG-CFH的体积为.

解题策略正四棱锥P-ABCD当然是一个规则图形，但只知其体积为1,没有其他条件，取其部

分为多面体BEG-CFH,则是一个不规则图形.无法用公式求其体积，只能从整体与局部的关系

求解，即研究多面体体积占其整体即正四棱锥体积的比例，只能运用等体积转换法和割补法,所胄等

体积转换法是将底面积或高转化为可求的几何量，所喟割补法，即利用几何体的和、差、倍、分关

系求解，如何割又如何补大有讲究.

策略一：等体积法与割补法两者并举求解：

策略二：合理添加辅助线进行补体,再用等体积法求解.

策略三：利用分割法求解

解法一：如图31-1所示，•:GH11EF,:.IIG-BEF=%-BCF、

又SBEF=S.BCF,-VG-BEF=VH-BCF•

GH=—EF,SEFG=2sGHF

•^B-EFG="BGGF…VB—EFG=X^BGHF-

即％-BEF%-BCF=2%CHF・%—BEF=W5—ABCD'

1I15

VBBGCFH----1------1------

881616

解法二如图31-2所示，延长EG、FH相交于点M,

P_M

：.PMH平面ABCD,连接MB、MC.

〃尸-BCHG-〃M-BCHG，…VF-BCHG=Vw-BCHG.

'VG-BEF=\ncr)'

AEB

图31-2

11

25

・'"BBGCFHABCD+ARCD?6

—

解法二（j—rFnHCC~—2VDR-rFnHLC~—gV®o-DDtPC=-j-----Aftre-rA）oC（见D图311）,n

又VG-EBCF=2Vp-EBCF=4^P-ABCD'

•'•KJEGCFH=%-FHC+%-EBCF=T7匕）-ABCD=7T

1010

例2:如图31-3所示，在多面体ABCDEF中,

已知面ABCD是边长为3的正方形，

3

EF//AB,EF=-,EF与面AC的距离为

2

2,则该多面体的体积为（）.

915

A.—B.5C.6D.—

22

解题策略本例是求解非典型多面体，主要考查对图形的分割、组合、补体的能力，是一道考查创新意

识的有效题型，且分割求和的方法也不唯一.补体的方法很巧妙，所以此题极有探讨的价值.当然此题

也可运用估算法和特殊化法求解.

策略一把非典型多面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，分别求体积再求和：

策略二：把非典型多面体分割成一个四棱锥和笨个棱柱,分别求体积再求和：

策略三根据局部小于整体的原则运用估算法和特殊化法求解

策略四补上一个三棱锥使非典型多面体拓展为斜三棱柱，由斜三棱柱体积减去补上的三棱锥体积

即得所求多面体的体积

解法一如图31-4所示，连接EB、EC

2

则四棱锥E-ABCD的体积VA_AfiCD=-x3x2=6,

---AB=2EF,EF/1AB,：.S必“=2SRFF.

VF-EBC~^C-EFB~~^C-ABE~~^E-ABC

图31-4

j_j__3

'X/VE-ABCD=5

315

*0-V=VE_ABCD+VF_EBC+—=—,故选D

解法二：如图31-5所示，设G、H分别为AB.DC的中点，连接EG、GH、EH,则

EG//FB.EHIIFC.GH//BC,得棱柱EGH-FBC.

由题意得^E-ACHD~2^AGHDx2=—x3x3x—x2=3.

=

VECH-FBC=WR-EGH=3VE-BGH3X—VE_QBCH

339

——VEAGHD=-x3=—

915

V—VLF-AAUCnHLnf+匕?D仁ijn4—rFDRCC=3d—?——2,故选D.

解法三由解法一知VE_ABCD=6,故多面体的体积大于6,£I心-火T八rLJ心口，因此选

D.

解法四如图31-6所示，延长EE至G,设/G=AB=3,连接AG、DG,EB,则多面体

BCF-ADG为斜三棱柱，其直截面面积S=-x2x3=3.

2

贝IJVBCF-ADG=S-AB=9・

又面BCFII面ADG,E为FG中点，「・/一人/=V%的，

*e*^E-ADG+^E-ABCD~^BCF-ADC即^E-ADG=9-§x3x3x2=3

3315

=9一一=一，故选

/.KADG=2-.'^V=VoBCrF—AUDGG-VtE.-AAUDUG??~、会D

例3:已知一个四面体的每个面都是以3、3、2为边长的锐角三角形，试求这个四面体的体积V.

解题策略求四面体的体积的最常用的方法是运用公式V=gs〃，那么这个四面体以什么作

为底面？高是哪一条线段？如何把高找出来？在作出高后如何求出高来？垂足会落到底面的何处?

对于非正四面体或非正三棱锥，这样求是有困难的，分析本题，每个面都是等腰三角形,就可考虑是否

可以将该三棱锥适当分割成两个容易求出体积的三棱锥，以及该如何分割,如何作出该三棱锥的直

截面使一条副棱被分割的两段分别是分割后两个锥体的高？能不能通过补体法把该三棱锥补成一

个长方体，采用丫=丫长方体-4%棱柱的求法，这是一道很见功力的问题，如何进行适当的“分割”

与“补体”可以培养学生灵活应变的能力.

策略一确定以BCD为底面，由等面积法求该底面上的高〃，代人公式，V=~SHCI）-h

策略二作出与BD垂直的截面，将原三棱锥分割成以BD为高的两个三棱锥分别.求体积再合

成

策略三采用补体法,将三棱锥补成一个长方体，由V=V长方体-4V工棱柱而得，从而引伸出一般的补

体解法

解法一：（直接法）如图31-7所示，不仿设AC=BD=2,其余4条边长都为3,E为BD

中点，则AE±BD,CE±BD,AO1.平面DBC.

在Z.AEC中，过点E作EMA.AC,垂足为M,EC=后-1=2垃,EM=

J（2扬2_i=J

J14

则由等面积法得EM•AC=EC•AO,:,h=AO=--.

2

故v=Lsh=>x>乂2义2也义叵=^~.

33223

契法二（分割法）参见图31-7可知，AE工DB,CE工DB,

A01.平面DBC,于是截面AEC将原三棱锥分割成三棱锥D-AEC与三棱锥B-AEC,

且DBL平面AEC,容易算出Sw=gx2xJ7=g.

故

V=VD_ABC+VB_AECAEC\ED+EB)

_1cnn_1Fio_?不<

x

一§SAEC-DB--v7x2—3..

许法三（补体法）如图31-8所示,将三棱锥补体为一个长方体，设长方体的长、宽、高分别为

x,y,z,则

x=近,

X*23+/=32,

/+z2-32,<--xyz--xy/2xy/lx^2-.

333

z2+x2=22,

z=V2

引申:已知一个四面体的每个面都是为a,b,c为边长的锐角三角形，试求这个四面体的体积，可以

运用补体法，解法如下：

BB

图31-8图31-9

x2+/=cr,

如图31-9所示，由《y+z2=c2,解得

z2+x2=b2,

41

・••所求的体积V=乙方体一4匕棱锥xyz--^xyz--xyz

^(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)(c2+b2-a2)