高等流体力学第四章课件

第四章

湍流及其数学模型4.1

湍流模型通风空调房间的空气流动一般为湍流，由于送风温差的存在，浮升力对流动有一定的影响。空气的流动满足连续性方程、动量方程和能量方程。空气流动的湍流特性一般采用适当的湍流模型描述。在湍流流动及换热的数值计算方面，已经采用的数值计算方法大致分为完全模拟、大涡旋模拟和湍流输运模型三类。4.1

湍流模型完全模拟(直接模拟)用非稳态Navier—Stokes(N—S)方程来对湍流进行直接计算的方法。这种方法，必须采用很小的时间与空间步长，因而它对内存空间的要求很高，同时计算时间也很长。目前世界上只有少数能使用超级计算机的研究者才能对从层流到湍流的过渡区流动进行这种完全模拟的探索。4.1

湍流模型大涡旋模拟基于把湍流流动分为大涡旋和小涡旋流动的假设，用一组三维非定常的方程求解大涡旋，用近似紊流输运模型求解。它不必对雷诺应力等输运项作假设，并能得到非常丰富的紊流信息，但它仍需要相当大容量内存的高速计算机，同时十分费机时，故在应用中比较有限。4.1

湍流模型湍流输运模型基于简化湍流流动模型而产生的，由于它直接模拟动量、热量和浓度的输运，故称为湍流输运模型。这类模型将非稳态控制方程对时间作平均，在所得出的关于时均量物理量的控制方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知量，于是所得方程的个数就小于未知量的个数，要使方程组封闭，必须做出假设，即建立模型。4.1

湍流模型这种模型把未知的更高阶的时间平均值表表示成较低阶的、在计算中可以确定的量的函数。湍流输运模型法又叫Reynolds时均方程法，当前在室内气流计算方面，国际上主要还是采用这种方法，在时均Reynolds方程法中，又有Reynolds应力方程法及湍流粘性系数法两大类。4.1.1

湍流粘性系数法紊流的时均化紊流物理量对时间平均值有两种定义，即经典的Reynolds定义及质量加权平均的定义。对不可压缩流体，两种平均方法得出相同的结果。我们采用Reynolds平均方法来研究不可压缩流体的紊流流动。4.1.1

湍流粘性系数法任一变量

的时间平均值定义为：其中时间间隔

相对于紊流的随机脉动周期而言足够地大，但相对于流场的各种时均量的缓慢变化周期来说，则应足够地小。物理量的瞬时值、时均值

及脉动值

之间有如下关系：(4－1)(4－2)4.1.1

湍流粘性系数法湍流控制方程连续性方程

将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值与脉动值之和并代入连续性方程，再对该式作时均运算，得：4.1.1

湍流粘性系数法显然：

即：4.1.1

湍流粘性系数法动量方程

以x方向的动量方程为例，作类似于上面的处理，有4.1.1

湍流粘性系数法

对其它两个方向也可作类似的推导。现在把三个方向上的动量方程写成直角坐标中张量符导形式：(4-3)4.1.1

湍流粘性系数法其它

变量方程

对其它

变量作类似的处理，可得(4-4)4.1.1

湍流粘性系数法关于脉动值附加项的讨论由上述时均方程的导出过程可见，一次项在时均前后的形式保持不变，而二次项(即乘积项)在时均化处理后则产生包含脉动值的附加项。这些附加项代表了由于紊流脉动所引起的通量转移(应力、热流密度等)，其称为Reynolds应力或紊流应力。为了使描写紊流对流换热的方程织得以封闭，必须找出确定这些附加项而又不引入新未知量的关系式。4.1.1

湍流粘性系数法实际上，紊流脉动值附加项的规定是Reynolds时均方程计算紊流的核心内容。所谓紊流模型就是指把紊流的脉动值附加项与时均值联系起来的一些特定关系式。在紊流粘性系数法中，把紊流应力表示成紊流粘性系数的函数，整个计算的关键就在于确定这种紊流粘性系数。Boussis(1877)假设，紊流脉动所造成的附加应力也与层流运动应力那样可以同时均的应变率关联起来。4.1.1

湍流粘性系数法紊流脉动所造成的应力可以表示成为：pt是脉动速度所造成的压力，定义为：这里K是单位质量流体紊流脉动动能：(4-5)4.1.1

湍流粘性系数法引入Boussinesq假设以后，计算紊流流动的关键就在于如何确定

。所谓紊流模型，在这里也就是指把

与紊流时均参数联系起来的关系式。依据确定

的微分方程数目的多少，又有所谓零方程模型、一方程模型及两方程模型等。4.1.1

湍流粘性系数法

类似于紊流切应力的处理，对其它变量的紊流脉动附加项可以引入相应的紊流扩散系数，为简便起见均以

表示，则紊流脉动所传递的通量可以通过下列关系式而与时均参数联系起来：实验表明，与的比值，即紊流Prandtl数或紊流Schmidt数则几乎是一常数。在紊流数值计算的文献中常用符号

表示该比值，即：

(4-6)(4-7)4.1.1

湍流粘性系数法说明连续性方程：散度表示单位体积的净通量。引入物理量

表示某一物理量。(4-8)4.1.1

湍流粘性系数法守恒定律：扩散通量

；由

梯度引起的。(4-9)4.1.1

湍流粘性系数法动量方程：4.1.1

湍流粘性系数法任一变量

的时间平均值定义为：4.1.1

湍流粘性系数法对

变量作平均处理，可得：对于动量方程，附加项为：4.1.1

湍流粘性系数法对其他变量附加项：紊流粘性系数与紊流扩散系数：4.2

零方程模型与一方程模型

零方程模型定义不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系数与时均值联系起来的模型。方案最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixinglengthmodel）。Prandtl假定湍动粘度

μt正比于时均速度

ui的梯度和混合长度lm

的乘积。4.2

零方程模型与一方程模型举例在二维问题中，有：湍流切应力表示为：其中，混合长度lm由经验公式或试验确定。(4-10)(4-11)4.2

零方程模型与一方程模型优点直观简单，对于带有薄的剪切层的流动（射流、混合层、扰动和边界层等）比较有效。缺点混合长度lm在简单流中容易确定，复杂流中很难确定，不能用于模拟带有分离回流的流动。应用在复杂的实际工程中很少使用。4.2

零方程模型与一方程模型一方程模型组成方程瞬态项对流项扩散项产生项耗散项上式中，，为经验常数，l为湍流脉动的长度比尺湍动能k的输运方程(4-12)(4-13)4.2

零方程模型与一方程模型合理性考虑到湍流的对流输运和扩散输运，比零方程模型更为合理。应用长度比尺l的确定不易解决，很少在实际工程计算中应用。4.3

标准两方程模型标准模型是典型的两方程模型；该模型是在一方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率

的方程后形成的；该模型是目前使用最广泛的湍流模型。4.3.1

标准两方程模型的定义标准模型由Launder和Spalding于1972年提出。模型中，为湍动能，

为湍动耗散率，湍流粘度表示成和的函数，，其中，为经验常数。

(4-14)(4-15)4.3.1

标准两方程模型的定义在标准模型中，和是两个基本的未知量，与之对应的输运方程为：(4-17)(4-16)速度梯度脉动扩张浮力4.3.1

标准两方程模型的定义上式中是由于平均速度梯度引起的湍动能的产生项；

是由于浮力引起的湍动能的产生项；

代表可压湍流中脉动扩张的贡献；

、和为经验常数；和分别是与湍动能和耗散率

对应当Prandtl数；和是用户根据计算工况定义的源项。4.3.2

标准模型的有关计算公式首先，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算:

是由于浮力引起的湍动能

的产生项，对于不可压缩流体，＝0。对于可压流体，有：(4-19)(4-18)4.3.2

标准模型的有关计算公式其中

是湍动Prandtl数，在该模型中可取

＝0.85，

是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可结合可压流体的状态方程求出，其定义为：

代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，

。对于可压流体，有：其中，

是湍动Mach数，；a是声速，。(4-20)(4-21)4.3.2

标准模型的有关计算公式在标准

模型中，根据Launder等推荐值及后来的实验验证，模型常数

、

、

、

、

的取值为：

＝1.44，

＝1.92，

＝0.09，

＝1.0，

＝1.3对于可压流体的流动计算中与浮力相关的系数

，当主流方向与重力方向平行时，有

＝1，当主流方向与重力方向垂直时，有

＝0。

根据以上分析，当流动为不可压，且不考虑用户自定义的源项时,=0，

＝0,＝0，

＝0，这时，标准

模型变为：

(4-22)(4-23)4.3.2

标准模型的有关计算公式以上两个方程中的Gk按式(4-18)计算，其展开式为：(4-24)(4-25)(4-26)4.3.3

标准模型的控制方程组采用标准

模型求解流动及传热问题时，控制方程包括连续性方程、运动方程、能量方程、

方程、

方程与式（4-15）。若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。若考虑传质或有化学变化的情况，则应再加入组分方程。这些方程仍可以表示成如下通用形式：使用散度符号，上式记为：(4-27)(4-28)4.3.3

标准模型的控制方程组为了方便查阅，下表给出了在三维直角坐标系下，与通用形式（4-27）所对应的

模型的控制方程。方程扩散系数

源项S连续性方程100X向运动方程y向运动方程z向运动方程湍动能方程耗散率方程上面所介绍的各种两方程模型都采用各向同性的湍动粘度来计算湍流应力，这些模型难于考虑旋转流动及流线曲率变化的影响；为了克服这些弱点，有人提出直接对Reynolds方程中的湍流脉动应力直接建立微分方程并进行求解。这种方法统称为雷诺应力模型(ReynoldsStressequationModel，RSM)；建立Reynolds应力的方式有两种：一是Reynolds应力方程模型，二是代数应力方程模型。本节介绍第一种模型。4.4

Reynolds应力方程模型（RSM）4.4.1

Reynolds应力输运方程

所谓Reynolds应力输运方程，实质上是关于

的输运方程；根据时均化法则

，只要分别的到了

和

的输运方程，就自然得到关于

的输运方程；为此，可以从瞬时速度变量的N-S方程出发，按下面两个步骤来生成关于

的输运方程。4.4.1

Reynolds应力输运方程第一步，建立关于

的输运方程。过程是：将

乘以

的N-S方程，将

乘以

的N-S方程，再将两方程相加，得到

的方程，对此方程作Reynolds时均、分解、即得到

的输运方程。注意，这里的

和

均指瞬时速度，非时均速度。第二步，建立

的输运方程。将

乘以

的Reynolds时均方程，将

乘以

的Reynolds时均方程，再将两方程相加，即得到

的输运方程。4.4.1

Reynolds应力输运方程将上面两步得到的两个输运方程相减后，得到

的输运方程，即Reynolds应力输运方程。经量纲分析、整理后的Reynolds应力方程可写成：4.4.1

Reynolds应力输运方程方程中的第一项为瞬态项，其他各项依次为：:对流项

:湍动扩散项:分子粘性扩散项:剪应力产生项:浮力产生项:压力应变项:粘性耗散项:系统旋转产生项(4-29)4.4.1

Reynolds应力输运方程上式各项中，

、

、

和

均只包含二阶关联项，不必进行处理；可是，

、

、

和

包含有未知关联项，必须和前面构造

方程的过程一样，构造其合理的表达式,即给出各项的模型，才能得到真正有意义的Reynolds应力方程；下面将逐项给出相应的计算公式。4.4.1

Reynolds应力输运方程湍动扩散项

的计算

可通过Daly和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算：

有学者认为，该式有可能导致数值上的不稳定，因此，推荐用下式：式中，

是湍动粘度，按标准

模型中的式（4-15）计算。系数

，注意该值在Realizable

模型中为1.0。(4-30)(4-31)4.4.1

Reynolds应力输运方程浮力产生项

的计算

因浮力所导致的产生项由下式计算：

其中，T是温度，

是能量的湍动prandtl参数，在该模型中可取

＝0.85，

是重力加速度在i方向上的分量，

是热膨胀系数，由式（4.20）计算。对理想气体有：

如果流体是不可压的，则

＝0。(4-32)(4-33)4.4.1

Reynolds应力输运方程压力应变项

的计算

仅在湍流各分量间存在，当时，它表示减小剪切应力，使湍流趋向于各向同性；当

时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响；此项并不产生脉动能量，仅起到再分配的作用。因此，在有的文献中称此项为再分配项。4.4.1

Reynolds应力输运方程

的普遍计算形式

其中，

是慢的压力应变项，

是快的压力应变项，

是壁面反射项。计算如下：这里，

＝1.8。(4-34)(4-35)4.4.1

Reynolds应力输运方程其中，

＝0.60，

的定义见式（4-29），

。壁面反射项

的作用是对近壁面处的正应力进行再分配。它具有使垂直于壁面的应力变弱，而使平行于壁面的应力变强的趋势。(4-36)(4-37)4.4.1

Reynolds应力输运方程上式中，；是壁面单位法向矢量的

分量；d是研究的位置到固体壁面的距离；，其中

＝0.09；

是Karman常数，。4.4.1

Reynolds应力输运方程粘性耗散项

的计算耗散项表示分子粘性对Reynolds应力产生的耗散；在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度涡承担动能输运，小尺度涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可看成是各向同性的；即认为局部各向同性的。依照该假定，耗散项最终可以写成：(4-38)4.4.1

Reynolds应力输运方程封闭的Reynolds应力输运方程计算方法

将式（4-31）、（4-33）、（4-34）～（4-38）代入方程（4-29），即可得到封闭的Reynolds应力输运方程，如下所示：4.4.1

Reynolds应力输运方程注意：右式中引用

的项并没有完全打开。是FLUENT等多数CFD软件所使用的广义Reynolds应力输运方程，它体现了各种因素对湍流流动的影响，包括浮力，系统旋转和固体壁面的反射等。(4-39)4.4.1

Reynolds应力输运方程简单形式的Reynolds应力输运方程条件

不考虑浮力的作用（即

）；

不考虑旋转的影响(即

)；

在压力应变项中不考虑壁面反射（即

）。应用

如果将RSM只用于没有系统转动的不可压流动，则可以选择这种比较简单的Reynolds应力输运方程。

4.4.1

Reynolds应力输运方程方程表达式(4-40)4.4.2

RSM的控制方程组及其解法在上述得到Reynolds应力输运方程中，包含有湍动能

和耗散率

，为此，在使用RSM时，需要补充

和

的方程。RSM中的

方程和

方程如下：(4-41)(4-42)4.4.2

RSM的控制方程组及其解法式中是剪应力产生项，根据式（4-29）计算；是浮力产生项，按式（4-32）或（4-33）计算，对于不可压流体，

＝0；是湍动粘度，；

＝1.44、

＝1.92、

＝0.09、

＝0.82、

＝1.0，这五个数均为常数；是与局部流动方向相关的一个数，按标准

模型的方法确定。(4-43)4.4.2

RSM的控制方程组及其解法这样，由时均连续性方程、雷诺方程、Reynolds应力输运方程（4-39）、

方程（4-41）和

方程（4-42），共12个方程构成了封闭的三维湍流流动问题的基本控制方程组。可通过SIMPLE等算法求解。4.4.2

RSM的控制方程组及其解法对控制方程组的说明如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立其它针对标量型变量

（如温度、组分浓度）的脉动量的控制方程。由于从Reynolds应力方程的3个正应力项可以得出脉动动能，即

，因此，不少文献不把

作为独立的变量，也不引入

方程，但多数文献中则把

方程列为控制方程之一。4.5

大涡模拟（LES）大涡模拟的基本思想湍流包含一系列涡团，为了模拟其流动，我们希望计算网格的尺度小到足以分辨最小涡的运动，然而目前能采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大许多；系统中动量、质量、能量及其他物理量的输运，主要由大尺度涡影响。大尺度涡与所求解的问题密切相关，由几何及边界条件所规定，各个大尺度涡的结构是互不相同的；4.5

大涡模拟（LES）小尺度涡几乎不受几何及边界条件的影响，不像大尺度涡那样与所求解的特定问题密切相关，小尺度涡趋向于各向同性，其运动具有共性；因此目前只能放弃对全尺度范围上涡的瞬时运动的模拟，只将比网格尺度大的湍流运动通过瞬时N-S方程直接计算出来，而小尺度涡对大尺度涡运动的影响则通过一定的模型在针对大尺度涡的瞬时N-S方程中体现出来，从而形成了目前的大涡模拟法(LargeEddySimulation,简称LES)。4.5

大涡模拟（LES）实现大涡模拟所需的工作建立一种数学滤波函数，从湍流瞬时运动方程中将尺度比滤波函数的尺度小的涡滤掉，从而分解出描写大涡流场的运动方程；建立附加应力项的数学模型，以体现被滤掉的小涡对大涡运动的影响。该模型称为亚格子尺度模型（SubGrid-Scalemodel)，简称SGS模型。4.5.1

大涡的运动方程在LES方法中，通过使用滤波函数，每个变量都被分成两部分。举例

对于瞬时变量φ，有：a．大尺度的平均分量

。该部分叫做滤波后的变量，是在LES模拟时直接计算的部分。b．小尺度分量

。该部分是需要通过模型来表示的。4.5.1

大涡的运动方程注意

这里的平均分量

是滤波后得到的变量，它不是在时间域上的平均，而是在空间域上的平均。

式中，D是流动区域；

是实际流动区域中的空间坐标；

X是滤波后的大尺度空间上的空间坐标；

是滤波函数。(4-44)4.5.1

大涡的运动方程

决定了所求解的涡的尺度，即将大涡与小涡划分开来；换句话说，只保留了φ在大于滤波函数宽度的尺度上的可变性。

的表达式有多种选择，但有限体积法的离散过程本身就隐含地提供了滤波功能，即在一个控制体积上对物理量取平均值，因此，这里采用如下的表达式:

其中V是表示控制体积所占几何空间的大小(4-45)4.5.1

大涡的运动方程式（4-44）可以写成：用式(4-46)表示的滤波函数处理瞬时状态下的Navier-Stokes方程及连续方程，有：LES方法中瞬时状态下使用的控制方程组，式中带有上划线的量为滤波后的场变量(4-46)(4-47)(4-48)4.5.1

大涡的运动方程

被定义为亚格子尺度应力(subgrid-scalestreese，简称SGS应力)，它体现了小尺度涡的运动对所求解的运动方程的影响。(4-49)4.5.1

大涡的运动方程滤波前后比较滤波后的Navier-Stokes方程与RANS方程在形式上非常类似，区别在于这里的变量是滤波后的值，仍为瞬时值，而非时均值，同时湍流应力的表达式不同；滤波后的连续方程与时均化的连续方程相比，则没有变化，这是由于连续方程具有线性特征。4.5.2

亚格子尺度模型目的

亚格子尺度模型简称SGS模型，是关于SGS应

力

的表达式，建立该模型是为了使方程(2-47)、(2-48)封闭。