42-边缘分布-教学课件

第二节边缘分布

边缘分布随机变量独立性1．边缘分布

设(X,Y)为二维随机向量其分布函数为F(x,y)，X和Y的分布函数分别记为Fx(x)和FY(y),依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.一、边缘分布的定义2.公式.

由于Fx(x)=P{X≤x,Y<+∞}==F(x,+∞)

同理有FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}==

F(+∞,y).例已知(X,Y)的联合分布函数为求FX(x)与FY(y)。解：1．边缘分布律

设(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i，j=1,2,…,

二、离散型二维随机向量的边缘分布律关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…

y2p12p22…pi2…

………………

yjp1jp2j…pij…

………………YX-10410.170.050.21

30.040.280.25求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。XY

-104P{Y=yj}=Pj

10.170.050.210.43

30.040.280.250.57

P{X=xi}=Pi

0.210.330.461Y13

p0.430.57X-104

p0.210.330.46解：例1设X与Y的联合分布律为：关于X的边缘分布律：关于Y的边缘分布律：X-101p0.250.50.25Y01

p0.50.5例2：设随机变量X及Y的分布律为：且。试求二维随机变量（X,Y)的联合分布律。XY-101P{y=yj}=Pj

0P11P21P310.5

10

P22

00.5

P{X=xi}=Pi0.250.50.251解：P11=P31=0.25,P22=0.5P21=0关于Y的边缘概率密度三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度1.边缘概率密度

设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y)

关于X的边缘概率密度例3:设(X,Y)的分布函数为F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)，

-∞<x<+∞

,-∞<y<+∞

求(1)常数A,B,C(2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)。解:由分布函数的性质知

联立这三个方程可得

A=1/π2,B=π/2,C=π/2.从而

例4:设(X,Y)在单位圆D{(x,y)|x2+y2<1}上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。解(X,Y)的联合概率密度为：

先求fx(x):当-1<x<1时-10x1xy

例5:设(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，即(X,Y)具有概率密度求边缘概率密度fx(x),fY(y)。

即XN(μ1,σ12)，YN(μ2,σ22).且不依赖参数ρ。

四、课堂练习

设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.解暂时固定当时,当时,故暂时固定暂时固定暂时固定当时,当时,故1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系:五、小结第三节随机变量独立性

一、随机变量独立性的定义

定义：设F(x，y)及Fx(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X，Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x，y有

F(x，y)=Fx(x)FY(y)

则称随机变量X和Y是相互独立的。

例1:在§2例1中讨论X与Y的独立性。解:(X，Y)的分布函数为边缘分布函数分别为

容易看出，对于任意实数x，y都有

F(x，y)=Fx(x)FY(y),

所以X与Y是相互独立的注释由联合分布可以确定边缘分布，但反之，由边缘分布不能确定联合分布。如果X与Y相互独立，则X，Y的边缘分布就能确定联合分布。

定理设(X，Y)为离散型随机变量，其分布律为

P{X=xi,Y=yj}=pij(i，j=1，2，…)其边缘分布分别律为P{X=xi}=pi·(i=1，2，…)

P{Y=yj}=p·j(j=1，2，…)则X与Y相互独立的充要条件是对于任意i，j

有:pij=pi··p·j

二、离散型随机变量独立的等价条件XYx1x2…xi…y1p11p21…pi1…

y2p12p22…pi2…

………………

yjp1jp2j…pij…

………………P{X=xi}=PiP{y=yj}=Pj例袋中有两只红球，三只白球，令现分别不放回与放回摸两次,分别求(X,Y)的分布律。XY0101放回摸球二次:不放回摸球二次XY0101P{y=yj}=PjP{y=yj}=PjP{X=xi}=PiP{X=xi}=Pi6/104/10

例2:已知二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：XY12311/3a

b

21/61/91/18

XY123P{y=yj}=Pj11/3a

b1/3+a+b

21/61/91/181/3

P{X=xi}=Pi1/2a+1/9b+1/18试确定a,b，使得X与Y相互独立。解：三、连续型随机变量独立的等价条件定理.设(X，Y)是连续型随机变量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分别为(X，Y)的联合概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的充要条件是：f(x，y)

=fx(x)fY(y)例1：设二维随机变量（X,Y）在区域G：内服从均匀分布（1）求（X,Y)的联合密度函数(2)求边缘密度函数，并问X与Y是否相互独立？（3）求解（1）G的面积A为：10(2)所以X与Y不独立10(3)例2:设(X，Y)N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，证明X与Y相互独立的充要条件为ρ=0。证明:(X，Y)的概率密度为关于X和Y的边缘密度分别为

(1)充分性。如果ρ=0,则对所有x，y有

f(x，y)

=

fx(x)fY(y)，即X与Y相互独立。(2)必要性。如果X与Y相互独立，由于f(x，y),

fx(x),fY(y)都是连续函数，故对所有X，Y有f(x，y)

=

fx(x)fY(y)，特别地，取x=µ1，y=µ2可得从而ρ=o.

四、独立性推广的一些定义

独立性的概念推广至高维随机向量的情形1．定义:

设(X1，X2，…，Xn)为n维随机向量，其分布函数为F(x1，x2，…，xn)，关于xi的边缘分布函数Fxi(xi)，若对于任意实数x1，x2，…，xn有

则称X1，X2，…，Xn是相互独立的。

定义:设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)为两个随机向量，其分布函数分别为

F1(x1,x2,…,xm)，F2(y1,y2,…,yn)，

又设m+n维随机向量(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函数为F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)，若为对任意实数x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn有

F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)

F2(y1,y2,…,yn)

则称向量(X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)是相互独立