离散基础一讲课件

一讲线性离散控制系统理论基础主要内容：§0引子§1采样过程和采样定理§2信号的恢复与零阶保持器§3Z变换§0引子离散控制的提出：工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯性非常大，且具有滞后特性。对于这类被控对象，采用连续控制往往得不到高质量的控制效果。但是，利用离散控制（采样控制或数字控制）则可以解决这类问题。这是由于离散控制时，系统大部分时间处于开环工作状态，这就使系统容易镇定，而在闭环工作期间，允许系统有很高的开环放大倍数，从而提高了系统的静态准确度。§1信号的采样与采样定理采样过程和理想采样采样定理把连续信号变换成脉冲序列的过程称为采样过程。在采样控制系统中，脉冲序列的脉冲冲量（面积）正比于采样瞬时值。通常，脉冲的持续时间τ都比被控对象的时间常数小得多。一、采样过程和理想采样1、采样过程可以利用傅立叶变换分析一个矩形脉冲的频谱函数为函数的频谱。上式中，I=2hτ为脉冲的冲量。r(t)th-0图1矩形脉冲具有相同冲量而τ不同的矩形脉冲（图2），如图3所示（图中只画出了取正值的部分）。它们的频谱函数123-2-1012r（t）t图2冲量相同的矩形脉冲图3矩形脉冲的频谱函数43215假设图2中的三个冲量相等的脉冲分别作用在一个时间常数为10秒的惯性环节G（s）上，则输出信号c（t）的频谱应为图中曲线4是惯性环节的幅频特性。惯性环节的通频带很窄，而脉冲的频带很宽。在惯性环节的带宽内，脉冲1,2,3的幅频谱都接近I，而在惯性环节的带宽外，脉冲1,2,3的频谱虽然不同，但

已经非常接近于零。这样，在三个冲量相等但宽和高不同的脉冲作用下，可以认为输出的频谱是相同的。

一个冲量为I的理想脉冲

I的频谱是一个常值（曲线5所示）。显然，这个惯性环节在冲量为I的理想脉冲作用下，输出的频谱和上面相同。事实上，当充分短促的脉冲加在有惯性的被控对象上时，对象的运动仅取决于对象本身的动特性和脉冲的冲量，而与脉冲的具体形状无关。或者说，冲量相等的各种形状的短促脉冲加在有惯性的环节上时，其效果相同。既然如此，我们不妨索性用理想脉冲来代替所有这些脉冲。由于比实际脉冲从数学上讲容易处理得多，用它代替实际脉冲可以大大简化分析过程。2、理想采样：理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即趋于零的极限情况。这时采样序列将表示为一个冲击函数的序列，这些冲击函数准确出现在采样瞬间，而它的面积即准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。换句话说，理想采样也可以看作是对冲击脉冲载波的调幅过程。这样，就可以将理想采样表达为：其中表示连续信号，表示理想采样信号，表示理想脉冲序列。由于只在t=nT时非零，因此所以理想采样又可表达为3、理想采样信号的频谱设输入信号的傅立叶变换为记是一个周期函数，可以把它展开成傅立叶级数将该展开式代入下面分析采样信号频谱：对上式取拉氏变换，由拉氏变换的复位移定理得：X*（s）是s的周期函数，周期为js。用js代替s，可得采样信号x*（t）的傅立叶变换为的傅立叶变换。如果连续信号x（t）是实带限信号，并且最高频谱不超过s/2，，那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重叠的。如果用一个带宽为s/2的理想低通滤波器，是可以将它各次调制频谱滤掉，从而只保留不失真的基带频谱，也就是说不失真地恢复出原来的连续信号。上式表明：一个连续信号经过理想采样之后，它的频谱将沿着频率轴，从=0开始，每隔一个采样频率s重复出现一次，即频率产生周期延拓。4、采样信号的频谱延拓二、采样定理1、奈奎斯特采样定理根据以上分析，可得到一个结论：为要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于两倍信号最高频率。2、频谱混淆与前置滤波频谱混淆：如果信号最高频谱超过s/2，那么在理想采样频谱中，各次调制频谱就会互相交叠起来，这就是频谱混淆现象。出现频谱混淆以后，一般就不可能滤出基带频谱，因而用基带滤波恢复出来的信号就要失真了。一般实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比两倍信号最高频谱更大些前置滤波：为了避免高于s/2

的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，在采样器前面常常加一个保护性的前置低通滤波器，阻止一切高于s/2的频率分量进入。如下图所示：低通滤波器x（t）x*（t）图用前置低通滤波阻止频谱混淆的产生§2

信号的恢复主要内容：理想恢复过程采样内插公式零阶保持器一、理想恢复过程那么理想采样后的频谱就不会产生混叠，即如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率不超过折叠频率这样，我们可以将采样信号通过一个理想低通滤波器，这个理想低通应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率（即s/2）。其特性如下图：采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原信号频谱来因此，在输出端可以得到恢复的原模拟信号：G（j）Ts/20图采样的理想低通恢复二、采样内插公式下面来看一看采样信号x*（t）通过理想低通滤波器G（j）的响应过程：理想低通G（j）的冲击响应为根据卷积公式，低通的输出为称为内插函数。tnTn+1Tn+2Tn-1Tn-2T图内插函数其波形为：特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，函数值均为零，因此以上卷积结果也可表示为由于有乘上对应的内插函数的总和。如何由它的采样值上式称为采样内插公式，它表明了连续函数来表达，即等于在每一个采样点上，由于只有该采样值所对应的内插函数不为零，所以很明显，采样内插公式保证了各采样点上信号值不变。而采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形伸延叠加而成。这也正是理想低通滤波器中的响应过程。说明：内插公式的理论意义在于证明了：只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不致损失任何信息。工程上最常用、最简单的低通滤波器是零阶保持器。零阶保持器的作用是：使采样信号每个采样瞬时的采样值（）一直保持到下一个采样瞬时，从而使采样信号变成阶梯信号，如图所示，由于在每个采样区间内的值均为常数且其导数为零，故称为零阶保持器。12345

6t12345

6t零阶保持器的作用三、零阶保持器假设某一环节在单位理想脉冲作用下，输出是幅值为1，持续时间为的一个脉冲，则它就是一个零阶保持器。以表示零阶保持器在冲量为1的理想脉冲作用下的输出，可以分解为两个单位阶跃函数之和即为零阶保持器的脉冲响应函数。下面我们推导零阶保持器的传递函数和频率特性。所以，零阶保持器的传递函数零阶保持器的频率特性函数为

其幅频特性为其相频特性为从而可画出零阶保持器的频率特性曲线。所以是不同的。

和s2s3s可知，零阶保持器是一个低通滤波器，它除了允许主要频谱分量通过外还允许通过部分高频成分。0图零阶保持器的频率特性§3Z变换主要内容：引言采样信号的拉氏变换Z变换的定义Z变换的求法Z变换的基本定理Z反变换引言Z变换法是分析和设计单输入—单输出线性时不变离散控制系统特别有效的方法。Z变换法的主要优点是：能够把用于连续系统的经典设计法应用到离散系统中。在数学上，采样过程是用脉冲采样来近似的。这种数学处理，只有当采样器的采样脉宽远小于系统的主要时间常数时才合理。一、采样信号的拉氏变换

采样信号可以表示为

根据拉氏变换的延时定理，

的象函数是

因此，采样信号的拉氏变换为表明，

是个超越函数。

既然采样信号的拉氏变换的象函数已经求出，是否可利用连续系统传递函数的概念研究环节在离散信号作用下的输出呢？下图是一个开环离散系统。G(s)x(t)c(t)X*(t)图开环离散控制系统如果系统的输入为的拉氏变换为,输出有无穷多个零、极点。求解的拉氏反变换极其烦琐。为此，需引用一种新的数学工具，即Z变换理论。在的表示式中存在因子是s的超越函数，，二、Z变换的定义该式所表示的级数如果是收敛的，则称为的Z变换。记作

式中，s为Laplace算子，为采样周期，z是一个复变量，定义在复数z平面，称为Z变换算子。引入变量

或写为利用Z变换算子得说明：是采样脉冲序列的Z变换。从定义可以看出，它只考虑了采样时刻的信号值。对一个连续函数，由于在采样时刻的值就是，所以从这个意义上说，既是的Z变换，也是的Z变换。即下面举例说明求取已知函数的Z变换的级数求和法。即三、Z变换的求法1．

级数求和法只要知道连续时间函数在各采样时刻上的采样值便可得到Z变换的一个级数和式[例1]试求取单位阶跃函数的Z变换。解：单位阶跃函数在任何采样时刻上的值均为1，

上式是个等比级数，公比为。若满足

则可写成闭合形式，得[例2]试求取衰减的指数函数的Z变换解：在采样时刻上的值为则可写成闭合形式，得若满足公比为上式是个等比级数，Z变换的无穷级数形式具有很鲜明的物理含义。变量

的系数代表连续时间函数在各采样时刻的采样值。利用级数求和法求取Z变换时，需要把无穷项级数写成闭合形式。[例3]求离散时间函数的Z变换。解：按Z变换定义有若满足则式中，将展开为部分分式和的形式，即2．

部分分式法一般连续时间函数的拉氏变换具有下面的形式：和分别为复变量的多项式。，根据前面所求结果可知由拉氏变换可知，与项相对应的时间函数为项对应的时间函数的Z变换为根据Z变换的线性性质，函数的Z变换可由的部分分式和求得。即的拉氏变换的部分分式展开式为[例4]试求取具有拉氏变换为的连续时间函数的Z变换。解：可得处为n阶极点，留数可由公式表示，3．留数计算法假如已知连续时间函数的拉氏变换为，则的Z变换可以通过下面的留数计算求得，即式中为的单极点在若即的连续时间函数的Z变换。[例5]试求取具有拉氏变换为解：[例6]试求取具有拉氏变换为的连续时间函数的Z变换。解：有二重极点si=-a四、Z变换基本定理1．

线性定理设连续时间函数及

的Z变换分别为和，并设

为常数，则有2．

迟后定理设连续时间函数时为零，且具有Z变换在时间上产生个采样周期的迟后时，其表达式为。则有。3．

超前定理设连续时间函数时为零，且具有Z变换在时间上产生其表达式为个采样周期的超前时，，则有

设4．

复位移定理的Z变换为，则5．

初值定理设的Z变换为并且存在，则有6．

终值定理

原点的单位圆上没有二重极点或高阶极点，并且在单位圆外没有极点（这实际上是设的Z变换为，并且的稳定条件，是有限的。则的终值为在圆心位于[z]平面从而使五、Z反变换从Z变换函数求取原来的采样函数称为Z反变换，用符号表示。从Z变换的定义可知，连续时间函数的Z变换函数仅仅包含了连续时间函数在各采样时刻上的数值。因此，从原则上说，通过Z反变换得到的仅是连续时间函数在各采样时刻上的数值，而在非采样时刻上却不可能得到有关连续时间函数的信息。因此，Z反变换仅能求出。一个Z变换函数可以有无穷多个连续函数与之对应（只要这些在采样时刻上的函数值是相同的）。上面在叙述Z变换法时已经指出，Z变换函数的无穷级数的形式具有鲜明的物理含义。变量

的系数代表连续时间函数在各采样时刻上的采样值。如果是一个有理分式，则可以直接通过用分母去除分子，得到一个无穷项幂级数的展开式（关于