教师用书配套课件高中数学84

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系【教材基础回顾】1.直线与圆的位置关系(1)代数特征:⇒ax2+bx+c=0,Δ=0时,直线与圆相切;Δ>0时,直线与圆相交;Δ<0时,直线与圆相离.(2)几何特征:设圆半径为r,圆心到直线距离为d,d<r时,直线与圆相交;d>r时,直线与圆相离;d=r时,直线与圆相切.2.圆与圆的位置关系(1)代数特征:⇒ax2+bx+c=0,Δ>0时,两圆相交;Δ<0时,两圆相离或内含;Δ=0时;两圆外切或内切.(2)几何特征:设两圆半径分别为R,r(R>r),圆心距为d,d>R+r时,两圆相离;d=R+r时,两圆外切;d=R-r时,两圆内切;d<R-r时,两圆内含;R-r<d<R+r时,两圆相交.

【金榜状元笔记】1.一个关注点:对于直线、圆的有关问题,首先考虑应用直线、圆的有关几何性质,可以简化解题过程.2.圆的方程两种设法技巧:(1)经过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆的方程表示为(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ(Ax+By+C)=0.(2)经过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0的两个交点的圆的方程表示为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

【教材母题变式】1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 (

)A.内切B.相交C.外切D.相离【解析】选B.因为两圆心距离d=R+r=2+3=5,所以R-r<d<R+r,所以两圆相交.2.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形 (

)A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在【解析】选B.因为直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,所以=1,即a2+b2=c2,所以三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.3.(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= (

)A.2

B.8

C.4

D.10【解题指南】利用三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)求出圆的方程,令x=0,求出y的值,从而求出|MN|的值.【解析】选C.由已知得kAB=kCB==3,所以kAB·kCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,其外接圆圆心为(1,-2),半径r=5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得y=±2-2,所以|MN|=4.4.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.

【解析】因为点A(1,2)在圆O:x2+y2=5上,所以过A且与圆O相切的直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,所以在两坐标轴上的截距分别是5和,所以所求面积为

答案:

【母题变式溯源】题号知识点源自教材1圆与圆的位置关系P130·练习2直线与圆相切P128·练习T23直线与圆相交求弦长P132·A组T54直线与圆的位置关系P133·B组T4考向一直线和圆的位置关系问题【典例1】(1)过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 (

)

(2)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=________.

(3)经过直线l:x-y-1=0与圆x2+y2-2x-4y+1=0的交点和点(4,0)的圆的方程为________________.

【解析】(1)选C.如图,

圆x2+y2+4x+3=0的圆心为(-2,0),半径为1,由题意可知k=tan∠DOE=,所以所求直线的方程为y=x.(2)如图,取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离为d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=，得m=-,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.答案:4(3)设圆方程为x2+y2-2x-4y+1+λ(x-y-1)=0,因为过点(4,0),代入得λ=-3,所以圆的方程为x2+y2-5x-y+4=0.答案:x2+y2-5x-y+4=0【一题多变】(1)改为“过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0有公共点,则该直线的斜率的取值范围是____________”.

【解析】画出图形,可知当直线的斜率为±时,直线与圆相切,所以直线的斜率为.答案:

【技法点拨】1.求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:用圆的几何性质求解,运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=(2)代数法:联立直线与圆的方程得方程组,消去一个未知数得一元二次方程,再利用根与系数的关系结合弦长公式求解,其公式为|AB|=|x1-x2|.提醒:涉及圆的弦长问题时,多用几何法.2.圆的切线方程的求法(当切线斜率存在时)(1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.(2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.提醒:若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过M点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.【拓展】求过已知直线与圆的交点的圆的方程时或过两圆交点的圆的方程,可以应用圆系解题设法见状元笔记.【同源异考·金榜原创】1.已知直线L:x+y-9=0和圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0,点A在直线L上,点B,C都在圆M上,在△ABC中,∠BAC=45°,AB过圆心M,则点A横坐标的范围为__________. 世纪金榜导学号37680263

【解析】圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0的圆心为M(2,2),半径为.设A(a,9-a),因为AB过圆心M,则圆心M到直线AC的距离d=|AM|sin45°,由直线AC与圆M有公共点,得d≤.所以解得3≤a≤6.答案:[3,6]2.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为________.

【解析】圆C:x2+y2-2ay-2=0的圆心坐标为(0,a),半径为,因为直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,且|AB|=2,所以圆心(0,a)到直线y=x+2a的距离d=,即

解得a2=2,故圆的半径r=2.故圆的面积S=4π.答案:4π考向二圆与圆的位置关系【典例2】(1)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0相切,则m= (

)A.-11 B.9C.19 D.9或-11(2)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.

【解析】(1)选D.依题意可得C1(0,0),C2(3,4),则|C1C2|==5.又r1=1,r2=,25-m>0,当两圆外切时,r1+r2=+1=5,解得m=9.当两圆内切时,|r2-r1|=5,即|-1|=5,得=6,解得m=-11.(2)因为圆C的方程可化为:(x-4)2+y2=1,所以圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意,直线y=kx-2上至少存在一点A(x0,kx0-2),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,所以存在x0∈R,使得|AC|≤1+1成立,即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y=kx-2的距离

所以≤2,解得0≤k≤.所以k的最大值是.答案:

【答题模板微课】本例(1)的求解过程可模板化为:建模板:选D.两个圆的圆心坐标分别为C1(0,0),C2(3,4),半径为r1=1,r2=,………………求得圆心与半径则|C1C2|==5, ………………求出圆心距当两圆外切时,r1+r2=+1=5,解得m=9,当两圆内切时,|r1-r2|=5,解得m=-11.………………根据位置关系,列出方程求参数套模板:已知两个圆C1:x2+y2+2x+4y+4=0,C2:x2+y2-4x-2y+1=0,则两个圆的位置关系为 (

)A.相交 B.相切 C.外离 D.内含【解析】选C.两个圆的圆心坐标分别为C1(-1,-2),C2(2,1),半径为r1=1,r2=2,…………求得圆心与半径则|C1C2|=…………求出圆心距因为r1+r2=3<3,所以两个圆外离.…………判断位置关系【技法点拨】1.判断两圆位置关系常选几何法用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法.2.两圆公共弦长的求法由两个圆的方程相减,得出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.【同源异考·金榜原创】1.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 (

)世纪金榜导学号37680264A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解题指南】根据弦长求出圆M的圆心与半径,再根据圆心距与半径的和差关系判断两圆位置关系.【解析】选B.因为圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,所以

解得a=2,所以圆M的圆心为(0,2),半径为2,所以圆心距|MN|=

因为1<<3,所以两个圆相交.2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=______.

【解析】由已知得x2+y2+2ay-6=0的半径为,所以如图:6+a2-(-a-1)2=()2,解得a=1.答案:1考向三直线、圆的综合问题◀高频考点【典例3】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).世纪金榜导学号37680265(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得求实数t的取值范围.【解析】(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,所以圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)由题意得|OA|=2,kOA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=则

即

⇒b=5或b=-15,所以l:y=2x+5或y=2x-15.(3)因为

根据||≤10,即≤10,所以t∈[2-2,2+2],所以t的取值范围为[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使此时||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为

必然与圆交于P,Q两点,此时因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意,综上所述,所求的实数t的取值范围为[2-2,2+2].【技法点拨】(1)依位置关系定直线、圆的方程,关键是利用位置关系中的几何量建立与圆心、半径,及直线的斜率、定点等有关的等量关系.(2)对称问题:圆为中心对称图形,充分利用对称性结合中点坐标公式,光的反射理论建立关系式.(3)范围最值问题:利用位置关系建立不等式求范围,构造函数关系求最值.【同源异考·金榜原创】命题点1由直线、圆的位置关系确定直线、圆的方程1.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________.

世纪金榜导学号37680266【解析】由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0)(a>0),则由题意知:=(a-1)2,解得a=3或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以a=3,故圆心坐标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m=0,即m=-3,所以所求的直线方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=0命题点2与直线、圆的位置关系有关的对称问题2.自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程. 世纪金榜导学号37680267【解析】已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C′到这条直线的距离等于1,即d==1.整理得12k2+25k+12=0,解得k=-,或k=-.所以所求的直线方程是y-3=-(x+3),或y-3=-(x+3),所以3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.命题点3与直线、圆的位置关系有关的最值、范围、弦长问题3.设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2