第2章-Z变换及Z传递函数课件

第2章Z变换及Z传递函数2.1Z变换定义与常用函数Z变换

2.1.1Z变换的定义

已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。对上式进行拉氏变换，则

对上式进行拉氏变换，则根据广义脉冲函数的性质，可得：上式中，F*(s)是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，设

并将F*(s)记为F(z)则

式中F(z)就称为离散函数f*(t)的Z变换。

求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。

1．级数求和法将离散时间函数写成展开式的形式

对上式取拉氏变换，得

例2.1求f(t)=at/T函数（a为常数）的Z变换。

解：根据Z变换定义有

2．部分分式法设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为

因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出例【2.3】

已知（a为常数）

求F(Z)

解：将F(s)写成部分分式之和的形式

2.1.2常用信号的Z变换

1．单位脉冲信号

2．单位阶跃信号

3．单位速度信号

4．指数信号

5．正弦信号

2.2Z变换的性质和定理

1．线性定理设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z),

及F2(z)，则有2．滞后定理设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：3．超前定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：4．初值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有

证明：所以

5．终值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有证明：6．卷积和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若定义则证明：由于当i>k时

7．求和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若有则

证明：

8．位移定理设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有

证明：

9．微分定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有

证明：

2.3Z反变换

所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法

1．长除法设

用长除法展开得：由Z变换定义得：比较两式得：则：

方法总结：在给定的收敛域内，分子除以分母，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数，降幂排列(z-1的升幂排列，

z-k前的系数即为x(kT)的值。)2．部分分式法又称查表法，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和

然后逐项查Z变换表，得到

则：3．留数法设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算

根据柯西留数定理，上式可以表示为

n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。

29如何求F(z)zn-1在任一极点Pi处的留数？1.设Pi是F(z)zn-1的单（一阶）极点，则有2.如果Pi是F(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有30例A2-5：已知

求z反变换。

解：

围线c以内包含极点a，如图A2-12所示。当n≥0时,在z=a处有一个单极点；当n<0时，在z=0处还有一个-n阶极点。因此31图A2-12收敛域|z|>|a|

32在z=a处有一个单极点，应用单重极点留数公式，则

在z=0处有一个-n阶极点（n<0）,应用多重极点公式，则注意：在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑n<0时出现的极点了，因为它们的留数和一定总是零。因此

即

因果序列z变换收敛域包括|z|=∞。

2.5线性定常离散系统的差分方程及其解

对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一采样时刻的输出为y(kT)，

输入为u(kT)，为了书写方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。

在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入u(k)及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)有关，且与该时刻以前的输出值y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)有关，即：

或上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程，其中ai、bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可实现条件，应有k≥0。当k＜0时，y(k)=u(k)=0。用Z变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程是类似的。先将差分方程变换为以z为变量的代数方程，最后用查表法或其它方法，求出Z反变换。若当k＜0时，f(k)=0，设f(k)的Z变换为F(z)，则根据滞后定理关系可推导出

例2.7已知x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0的初始条件为x(0)=0,x(1)=1，求x(k)。解：根据超前定理，对差分方程求Z变换得

整理后得代入初始条件得查表得例2.8用Z变换求差分方程已知y(0)=1,y(1)=2.4,u(0)=1,u(k)=1(k)。解：根据超前定理，对差分方程求Z变换得

整理后得，代入上式得利用留数法进行Z变换得

2.6Z传递函数

2.6.1Z传递函数的定义

设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换

则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。

脉冲传递函数脉冲传递函数定义

在零初始条件下，系统的输出采样函数的Z变换和输入采样函数的Z变换之比x*(t)G(s)x(t)y(t)y*(t)X(z)X(s)Y(s)Y(z)G(z)脉冲传递函数与差分方程权序列(单位脉冲响应)若对初始条件为零的系统施加一单位脉冲序列，则其输出响应称为该系统的权序列，又称为单位脉冲响应若输入序列为任意一个，则根据卷积公式可得此时的系统输出响应：的Z变换即为系统的脉冲传递函数。2.6.3Z传递函数的求法

1．用拉氏反变换求脉冲过渡函数2．将h(t)按采样周期T离散化，得h(kT)3．应用定义求出Z传递函数，即

G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。G(s)是h(t)的拉氏变换，G(z)是h(t)的Z变换。G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为

44例：求下列差分方程所示系统的脉冲传递函数。解：取Z变换并由位移定理得：例：已知开环传函，求G(z)。45由离散系统结构图求取脉冲传递函数：求传递函数的方法与连续系统不完全相同，还与采样开关的位置和数量有关。2.6.4开环Z传递函数

1．串联环节的Z传递函数串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：一种是两个串联环节之间有采样开关存在，如图7-23（a）所示。

图7-23（a）串联环节间有采样开关G2(s)G1(s)两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直接求出。串联环节总的Z传递函数为

有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个脉冲传函的乘积。另一种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图7-23（b）所示。

图7-23(b)串联环节间无采样开关G2(s)G1(s)输出C(z)与输入R(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即上式对应的Z传递函数为

上式中符号是的缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。

没有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个传函的乘积后的Z变换由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。在一般情况下，很容易证明：

在进行计算时，应引起注意。

结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据G(s)求G(z)。一般表示成例7-18设开环离散系统如图7-23（a）和（b），其中输入信号为r(t)=1(t),试求两种情况下的传递函数G(z)。解：输入r(t)=1(t)的z变换为对系统（a）对系统（b）有两个环节串联时，有无采用开关时其等效脉冲传函不同，不同之处仅表现为零点不同，极点仍然相同。2．并联环节的Z传递函数对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图2.5所示。

G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采样开关在总输入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采样开关在各个环节输入端G2(s)Y2(s)图2.5并联环节Y(s)Y(z)根据图2.5可知，总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即

上述关系可以推广到n个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各环节Z传递函数之和，即

3.带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数例7-19：设系统传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数G(z)。5758比较7-18、7-19两例开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相同，零点不同。零阶保持器不影响系统脉冲传递函数的极点。2.6.5闭环Z传递函数

设闭环系统输出信号的Z变换为Y(z)，输入信号的Z变换为R(z)，误差信号的Z变换为E(z)，则有如下定义：

闭环Z传递函数：

闭环误差Z传递函数：

例2.11设离散系统如图2.6所示，求该系统的闭环误差Z传递函数及闭环Z传递函数。

图2.6例2.11线性离散系统解：G(s)与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有

闭环误差Z传递函数：又：闭环Z传递函数：

2.6.6Z传递函数的物理可实现性

从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果”关系。设G(z)的一般表达式为：不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0，其余系数为任意给定值，则其对应的差分方程为由上式知，k时刻的输出y(k)不依赖于k时刻之后的输入，只取决于k时刻及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出。故G(z)是物理可实现的。若设G(z)的一般表达式为

不失一般性，假定其中的系统m≥0，n≥0，其余系数为任意给定值，则

如果G(z)是物理可实现的，则要求n≥m。否则，k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的输入，这是物理不可实现的。

2.6.7在扰动作用下的线性离散系统

线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图2