第三章n元随机变量及其分布x资料课件

第3章n元随机变量及其分布第3.1节二元随机变量及其分布

第3.2节二元随机变量的函数的分布返回第3.3节二元正态分布一、n维随机变量

以n个随机变量X1，X2，…，Xn

为分量的向量

X=(X1,X2,…,Xn)称为n元随机变量。第3.1节n元随机变量及其分布以下主要研究二元离散型及连续型随机变量的情形。联合分布函数n元实函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(x1,x2,…,xn)∈Rn称为n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数。特别:二维随机向量(X1,X2)的联合分布函数为F(x1,x2)=P{X1≤x1,X2≤x2}(x1,x2)∈R2注意:X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn

均表示事件,{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示这几个事件同时发生.(3)F(x,y)关于x,y均为单调不减函数。（4）F(x,y)关于x,y均为右连续函数。X1X2x1x2X1≤x1X2≤x2{,}二元联合分布函数区域演示图:(x1,x2)二、二元离散型随机变量的联合分布⒈二元离散型随机变量的概念

如果二元随机变量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可列个，则称随机变量（X,Y）为离散型的。易见，二元随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y

分别都是一元离散型的。⒉联合概率分布及其性质称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布,

其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…

p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y

②∑∑pij

=1;③P{(X,Y)∈D}=联合概率分布性质:①pij≥0;i,j=1,2,…3、离散型随机向量的联合分布函数则F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=例1.十个产品中有三件次品，七件正品，每次任取一件，连续取两次，记有放回抽取解：离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:

1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对;2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率;3.列出联合概率分布表.例3.1.3.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解:(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)

+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75结合下页概率分布图XY二维联合概率分布区域图:-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}三、连续型随机变量的联合分布⒈定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在非负可积函数f(x,y),使得对于平面上的任何可求面积的区域D都有则称(X,Y）为二维连续型随机向量,f(x,y)为联合概率密度，记为（X，Y)～f(x,y).⒉性质:

(1)f(x,y)≥0，(x,y)∈R2注意:满足上述性质(1)(2)的二元函数为某随机向量的联合概率密度.或(4)、连续型随机向量的联合分布函数解（1）

例3.1.5.验证是否构成二维随机向量的联合概率密度函数?其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.解:=1(1)f(x,y)≥0;(2)所以,f(x,y)构成二维随机向量的联合概率密度函数此时，称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.例3.1.6.若(X,Y)～

试求:(1)常数A;(2)P{X<2,Y<1};(3)P（X≤x,Y≤y）.解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.XY0所以,P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,即:(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(1)P{(X,Y)∈D},其中D为y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.XY0y=-x+1y=x+111练习:P{(X,Y)∈D}四、边缘概率分布

(1)定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。(2)离散型随机向量边缘分布列

对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则

P(X=xi)=(i=1,2,...)同理:一般地,记:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)分布表如下:XY.解：

例3.1.4.设(X,Y)的联合概率分布表为:Pi.0.250.40.35X-101Y012

0.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)同理,P(X+Y=2)=0.3,+P(X=-1,Y=2)=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P(X+Y=3)=0.05(3)X-Y的取值为-3,-2,-1,0,1

2.（895）已知随机变量X和Y的联合概率分布为

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P{X=x,Y=y}0.100.150.250.200.15

A求：常数A；概率P{X≤1,Y≤1}；X、Y及X+Y的概率分布。

1.设随机变量X在1，2，3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1—X中等可能地取一整数值。试求（X，Y）的联合概率分布。课堂练习:3.甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲.乙的命中率分别为0.2,0.5,以X,Y表示甲.乙的命中次数,求X,Y的联合概率分布.解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:X012P0.640.320.04Y012P0.250.50.25由X.Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为X012Y012

0.160.320.160.080.160.080010.020.01(3)连续型随机变量的边缘密度函数

对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的密度函数称为边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。事实上,(1)f1(x)≥0,(2)若a<b,则P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}=所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).当时

因此

类似地

例3.1.7.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).解:(1)由题意得:XY-11当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|≤1时,所以,同理,注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布求和。例3.1.8（924）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为⑴求随机变量X、Y的密度函数；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)先求X的密度函数当x≤0时,f1(x)=0;

当x>0时,f1(x)=所以,y=xx+y=11/2下面求Y的密度函数⑵P{X+Y≤1}=四、随机变量的相互独立性1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意a<b,c<d有:特别:若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X)与h(Y)也相互独立。特别有:aX+b与cY+d相互独立.2.性质:例3.1.9.(X,Y)的联合概率分布为:X01Y01

0.30.40.20.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.解:(1)X,Y的概率分布分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5(2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.35X,Y不独立.注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.=0.7×0.5例3.1.10.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}f1(x)=|x|≤1|x|>10f2(y)=解:(1)同理,所以,X,Y独立.(2)所以,X,Y不独立.例3.1.11例3.18中的X、Y不独立。注意:(X,Y)服从矩形区域D上的均匀分布,则X与Y一定相互独立.例3.1.12

已知随机向量(X,Y)的联合密度为

(1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X〈Y}.解:(1)(2)P(X<Y)=所以,X,Y独立.3.n个随机变量独立性的概念与性质离散型随机变量X1,X2,…，Xn相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。定义:称n个随机变量X1,X2,…，Xn相互独立,若对任意

ai<bi(i=1,2,…，n),有

P{a1<X1<b1,a2<X2<b2,…,an<Xn<bn}=P{a1<X1<b1}…P{an<Xn<bn}特别:若n个随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,则它们中的任意m(1<m≤n)个随机变量Xi1,Xi2,…,Xim也相互独立.连续型随机变量X1,X2,…，Xn相互独立等价于联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。4、随机变量序列独立性的概念定义:

称随机变量序列X1,X2,…,Xn,…为相互独立的,如果它们中任意n(n=2,3,…)个随机变量都是相互独立的.

特别若每个Xi(i=1,2,…)的分布相同,

则称之为独立同分布(i.i.d)序列。第3.2节、随机变量函数的分布一、和函数的分布类似可以计算出其他两个概率值（见下表）。

例3.1.13、设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布B(n1,p)和B(n1,p)，求Y=X1+X2的概率分布.

解依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此对于k(k=0,1,2,...,n1+n2)，由与独立性有由得所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2,p)二项分布的可加性Z的概率密度函数为Z的概率密度函数也可以写成特别地:

两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量.即:若X,Y独立，X~f1(x),Y~f2(y),Z=X+Y,则卷积公式1、两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.即:若X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则X1+X2~N(μ1+μ2,σ12+σ22)正态分布的可加性2、推论:有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.即:若Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,实数a1,a