数字滤波器的设计方法

数字滤波器的设计方法1第1页，课件共37页，创作于2023年2月说明：巴特沃斯归一化低通滤波器参数表有多种形式2第2页，课件共37页，创作于2023年2月3第3页，课件共37页，创作于2023年2月4第4页，课件共37页，创作于2023年2月作业第6章习题135第5页，课件共37页，创作于2023年2月

该映射变换须满足以下要求：S平面虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆ejω上S平面的左半平面必须映射到Z平面单位圆的内部|z|<1

利用模拟滤波器来设计数字滤波器

常用的变换方法有：脉冲响应不变法和双线性变换法使稳定的模拟系统映射为具有相同幅频特性的稳定的数字系统6第6页，课件共37页，创作于2023年2月6.4用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)与相应的模拟滤波器的冲激响应ha(t)，在采样点处的量值相等，即h(n)=ha(nT)6.4.1变换原理

因采样序列的Z变换与模拟信号拉氏变换的关系：脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面。7第7页，课件共37页，创作于2023年2月脉冲响应不变法的映射关系

8第8页，课件共37页，创作于2023年2月数字滤波器与模拟滤波器的频率响应间的关系为：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且满足采样定理时，数字滤波器的频率响应才不产生混叠失真

提高采样频率为fs，可减小频率响应的混叠效应

6.4.2混叠失真9第9页，课件共37页，创作于2023年2月脉冲响应不变法中的频响混叠现象10第10页，课件共37页，创作于2023年2月脉冲响应不变法设计中，由一个较为复杂的模拟系统函数求出数字滤波器系统函数是一个很麻烦的变换过程；因为乘积的z变换并不等于各部分变换的乘积，所以不宜采用级联分解；但各项和的z变换是线性关系，因而用部分分式表达系统函数，特别适合于对复杂模拟系统函数的变换。6.4.3模拟滤波器的数字化方法11第11页，课件共37页，创作于2023年2月设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且分母的阶次大于分子的阶次，将Ha(s)用部分分式表示数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，因此将Ha(s)拉氏反变换u(t)是单位阶跃函数

模拟滤波器与数字滤波器系统函数的关系12第12页，课件共37页，创作于2023年2月对h(n)求Z变换，得数字滤波器的系统函数S平面的单极点s=sk对应于Z平面上z=eskT处的单极点Ha(s)与H(z)的部分分式的系数相同，都是Ak模拟滤波器因果稳定，则数字滤波器也因果稳定脉冲响应不变法只能保证极点有这种代数对应关系与模拟滤波器的系统函数Ha(s)相比较13第13页，课件共37页，创作于2023年2月

Ha(s)与H(z)间的变换关系为

脉冲响应不变法的设计步骤，可直接将Ha(s)写成单极点的部分分式和的形式，然后将各部分分式用上式关系替代，即得到H(z)。14第14页，课件共37页，创作于2023年2月

由于数字滤波器频率响应幅度与采样间隔T成反比|ω|<π为使数字滤波器增益不随采样频率变化，通常令h(n)=Tha(nT)此时:

15第15页，课件共37页，创作于2023年2月将上式代入到16第16页，课件共37页，创作于2023年2月17第17页，课件共37页，创作于2023年2月【例】设模拟滤波器的系统函数为

试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)

【解】

数字滤波器的系统函数为设T=1，则有

18第18页，课件共37页，创作于2023年2月模拟滤波器的频响Ha(jΩ)以及数字滤波器的频响H(ejω)分别为:

由于Ha(jΩ)不是限带的，所以H(ejω)产生了频谱混叠失真19第19页，课件共37页，创作于2023年2月数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，因此时域特性逼近好；频率坐标变换是线性的，即ω=ΩT。因此该数字滤波器可以很好重现原模拟滤波器的频率特性；会产生频率混叠现象（从S平面到Ｚ平面为多值映射关系），适合低通、带通滤波器的设计，而不适合高通、带阻的设计。6.4.4优缺点20第20页，课件共37页，创作于2023年2月6.5用双线性变换法设计IIR数字滤波器

6.5.1变换原理为克服频率混叠现象，可采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上使S平面与Z平面建立起一一对应的单值关系21第21页，课件共37页，创作于2023年2月将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，得再将S1平面通过标准变换z=es1T映射到Z平面

实现步骤得到两平面的单值映射关系

利用正切变换实现频率压缩，将S平面的虚轴压缩至S1平面的-π/T到π/T段22第22页，课件共37页，创作于2023年2月双线性变换符合映射变换应满足的两点要求：6.5.2逼近的情况S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内稳定模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也是稳定的

说明：所谓“双线性”变换，仅仅是指变换公式中s与z的关系无论是分子部分，还是分母部分都是“线性”的23第23页，课件共37页，创作于2023年2月

由于S平面与Z平面的单值对应关系，避免了频率混叠现象；6.5.3优缺点

S平面Ω与Z平面ω的严重非线性关系影响DF频响对模拟频响的模仿；该方法适于分段常数型的滤波器设计，一般设计滤波器通带与阻带均要求是分段常数(非线性的正切关系)24第24页，课件共37页，创作于2023年2月双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射分段常数的滤波器，在双线性变换后各个分段边缘的临界频率点将会产生畸变，这种畸变可以预处理加以校正。25第25页，课件共37页，创作于2023年2月数字滤波器的系统函数可通过s到z之间的简单代数关系得到频率响应也可用直接代换的方法得到

6.5.4模拟滤波器的数字化方法26第26页，课件共37页，创作于2023年2月阶数较高时，H(z)的形式可通过查表得到设模拟系统函数的表达式为

数字滤波器的系统函数双线性变换法中Ｈa(s)的系数与H(z)的系数间关系

27第27页，课件共37页，创作于2023年2月双线性变换时频率的预畸变

总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤假设设计带通滤波器(右图)

频率预畸变已知带通的数字域频率与采样频率时利用下式计算相应的模拟域频率28第28页，课件共37页，创作于2023年2月双线性变换时频率的预畸变

总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤

频率预畸变已知带通的模拟域频率与采样频率时先将模拟频率转为数字域频率ω=2πfT

1）2）再按先前步骤处理29第29页，课件共37页，创作于2023年2月

总结：双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤

按模拟频率指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)

将代入Ha(s)，得H(z)与频率响应

30第30页，课件共37页，创作于2023年2月

说明双线性变换法后，模拟滤波器与数字滤波器仍为同种类型（低通、高通、带通等）的滤波器。当强调模仿滤波器的瞬态响应时，通常采用脉冲响应不变法;其余则采用双线性变换法。31第31页，课件共37页，创作于2023年2月例

设计一阶数字低通滤波器，3dB截止频率为ωc=0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器频率预畸变模拟滤波器的系统函数设计

已知数字低通ωc=0.25π，则巴特沃思模拟低通Ωc为32第32页，课件共37页，创作于2023年2月转换为数字滤波器系统函数由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。33第33页，课件共37页，创作于2023年2月例

用双线性变换法设计三阶巴特沃思数字低通，采样频率为fs=4kHz，其3dB截止频率为fc=1kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为已知截止频率fc=1kHz解：1.频率预畸变2.确定预畸变的模拟滤波器的截止频率先转化成数字频率ωc=2πfcT=0.5π34第34页，课件共37页，创作于2023年2月将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha