数控数值计算

数控数值计算第1页，课件共40页，创作于2023年2月自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的曲面，在航空、造船、汽车、能源、国防等部门中许多零件的外形如各种叶片曲面、各种螺旋桨叶曲面、许多变螺距旋转面以及模具工作面等均为空间自由曲面，其形状复杂、材料难以加工、精度要求高，在整个部件生产过程其加工质量和加工效率的高低举足轻重。第2页，课件共40页，创作于2023年2月1963年美国波音公司佛格森将曲线曲面表示为参数矢量函数式；1964年美国麻省理工学院（MIT）孔斯用封闭曲线的四条边界定义一块曲面；同一年，舍恩伯格提出了参数样条曲线、曲面的形式；1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝齐尔（Bezier）提出用控制多边形定义曲线和曲面的方法；1972年，德布尔（deBoor）给出B样条标准的计算方法；1974年,美国通用汽车公司戈登（Gorden)将B样条理论用于形状描述，提出B样条曲线、曲面；1975年，美国人佛斯普里尔在博士论文中提出有理B样条方法；20世纪80年代，美国人皮格尔等将有理B样条发展成为非均匀有理B样条（NUBRS)方法。用NUBRS方法可统一表示初等解析曲线和曲面，成为当今自由曲线和曲面最广为流行的技术。第3页，课件共40页，创作于2023年2月4.1基点和节点计算机械零件由几种不同几何元素构成，如直线、圆弧、二次曲线等。基点：各个几何元素之间的连接点，如：直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与圆弧的交（切）点，圆弧与一般二次曲线的交（切）点等。对于直线和圆弧组成的平面零件，由于数控系统都有直线和圆弧插补功能，数值计算较简单，主要是确定基点坐标、圆弧的中心坐标。有了基点的坐标，就可编写出这些直线和圆弧的加工程序。第4页，课件共40页，创作于2023年2月4.1.1节点的计算

对于自由曲线，一般的数控系统不具备自由曲线的插补功能，做法是：即将这类轮廓曲线按编程允许误差分割成许多小段，用直线或圆弧来代替(即逼近)这些曲线小段。节点：逼近直线或圆弧小段与轮廓曲线的交点或切点称为节点。

数值计算的任务就是求算节点的坐标。

第5页，课件共40页，创作于2023年2月

在数控加工方法中所说的空间立体曲面的行切法加工，实际上是用许多平行的平面曲线来逼近空间曲面，这时需求出所有的平面曲线，面且还要计算各平面曲线上的基点或节点，然后再编写各节点、基点之间的直线或圆弧加工程序。

第6页，课件共40页，创作于2023年2月4.1.2非圆曲线的节点计算非圆曲线：除直线、与圆外，可用y=f(x)表示平面曲线。节点的数目及其坐标值取决于曲线的特性，逼近线段的形状及允许的逼近误差δ允。根据这三方面的条件、可用数学方法求出各节点的坐标。是用直线还是圆弧作为逼近线段，则应考虑在保证逼近精度的前提下，使节点数目少，计算简单。

1）曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利；

2）曲线某段接近圆弧，用圆弧逼近有利；常用的逼近线段与节点计算方法有以下几种。第7页，课件共40页，创作于2023年2月1.等间距直线逼近法方法：使每一个程序段中的某一个坐标的增量相等。直角坐标系：令x坐标的增量相等；极坐标系：令转角坐标的增量相等，也可令径向长度的增量相等。图中为加工一个凸轮时，x坐标按等间隔分段时节点的分布情况。间距的大小一般根据零件加工精度凭经验选取。第8页，课件共40页，创作于2023年2月从上图看出，不一定每一段都要验算。只需验算y坐标增量值最大的线段(如小A1A2段)；曲率比较小的线段(如A5A6段)；有拐点的线段(如A6A7段)。如果这些线段的逼近误差小于允许值，其他线段一定能满足要求。下图中A1A2是要验算的线段，曲线的方程距直线A1A2为δ允的直线方程式中：A=Y1-Y2,B=X2-X1,C=Y1(X1-X2)－X1(Y1-Y2)第9页，课件共40页，创作于2023年2月2.等弦长直线逼近法方法：使每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此，各段的逼近误差不相等，必须使最大误差仍小于δ允。一般说来，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方，逼近误差最大。先确定曲率半径最小的位置，然后在该处按照逼近误差小于等于δ允的条件求出逼近直线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出各节点的坐标。

第10页，课件共40页，创作于2023年2月3.等误差直线逼近法该法是使每个直线段的逼近误差相等，并小于或等于δ允。所以上面两种方法都合理，程序段数更少。大型、复杂的零件轮廓采用这种方法较合理。第11页，课件共40页，创作于2023年2月4.圆弧逼近法如果数控机床有圆弧插补功能，可用圆弧去逼近工件的轮廓曲线。但需要求每段圆弧的圆心、起点、终点的坐标值及圆弧半径。节点的计算依据：圆弧段与工件轮廓曲线间的误差≤δ允。第12页，课件共40页，创作于2023年2月4.2三次参数样条曲线某些零件，如机翼外形、内燃机进排气门的凸轮曲线等，对外形的光顺性要求较高，曲线的光顺性就意味着曲线的导数要连续。如果要求曲线的一阶和二阶导数都是连续的，则可用三次样条曲线。样条：最初是在造船业中放样用的一根木料或塑料做成的弹性长条，放样员利用它通过型值点画出光滑的曲线，样条曲线便由此而得名。下面介绍三次参数样条曲线。第13页，课件共40页，创作于2023年2月4.2.1.三次样条曲线定义：在区间[a，b]上给定n个点：x1,x2,…xn，得到a=x1＜x2

＜…＜xn=b,称在区间[a，b]上满足下列条件的函数S(x)为三次样条函数：1）在每一个子区间[xi,xi+1](i=1,2…n-1)上，S(x)都是三次函数。2）在整个区间[a,b]上，S(x)连续，且具有连续的一阶和二阶导数。则称S(x)为[a，b]上，以xi(i=1,2,…n)为节点的三次样条函数。第14页，课件共40页，创作于2023年2月1.三次参数样条曲线方程

曲线、曲面有显式、隐式和参数表示，从计算机图形学和计算几何的角度看，参数表示较好。曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数是：

x＝x(t)y＝y(t)曲线上一点的参数表达式为：

p(t)＝[x(t),y(t)]工程上常用以弦长t为参数的三次样条函数。第15页，课件共40页，创作于2023年2月已知两端点，得到一条通过P1,P2点，且具有相同切矢量的三次参数样条曲线。其中称为三次参数样条曲线的基函数。t为曲线起点与曲线上任一点之间的弦长，t∈[0,1]端点条件：第16页，课件共40页，创作于2023年2月2.两段曲线光滑连接的条件要构造一条三次参数样条曲线需要给出端点的坐标与切矢量，若要构造一条通过多个型值点的光滑曲线，就要给出这些型值点的坐标和切矢量，使初始条件太多。事实上，只要给出各型值点的坐标和两个端点的切矢量，就可根据曲线光滑连接条件构造出通过各型值点的光滑曲线，中间各连结点的切矢量可由型值点坐标确定，方法为：第17页，课件共40页，创作于2023年2月设曲线P1＝P1(t),P2＝P2(t),分别通过P1、P2、P3、P4，曲线在P2点光滑连接，即第18页，课件共40页，创作于2023年2月可写成矩阵形式：第19页，课件共40页，创作于2023年2月3.端点条件给出两个端点的切矢量上式为（n-2）个未知数，补充2个端点条件，由于自由端曲率为零，即二阶导数为零。得：求解的方程为：第20页，课件共40页，创作于2023年2月4.3Bezier曲线

1962年法国雷诺汽车公司的P．E．Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统，并于1972年在该公司应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上运用起来就象使用常规作图工具设计一样得心应手。

第21页，课件共40页，创作于2023年2月4.3.1Bezier曲线的定义及其性质1定义

如图所示的几条Bezier曲线，是由一组折线集，或称之为Bezier特征多边形来定义的。曲线的起点和终点与该多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。曲线的形状趋于特征多边形的形状。当给定空间n十1个点的位置矢量P，则Bezier曲线各点坐标的插值公式是：第22页，课件共40页，创作于2023年2月P0P1P2。。。Pn为Bezier曲线特征多边形的控制顶点，Bi,n是Bernstein基函数，也是曲线上各点位置矢量的调和函数。Bernstein基函数具有以下性质：

1）正性

第23页，课件共40页，创作于2023年2月2）权性由二项式定理，得3）对称性第24页，课件共40页，创作于2023年2月2.Bezier曲线的性质根据Bezier曲线调和函数的性质，可推出1）端点性质根据调和函数的正性，得，说明Bezier曲线的起点、终点与其相应的特征多边形的起点、终点重合。第25页，课件共40页，创作于2023年2月2）对称性

若将原Bezier曲线的全部顶点Pi位置不变，只要把次序颠倒过来，新的特征多边形的顶点，P*i＝Pn-i,(i＝0,1,2,…n);则新的Bezier曲线形状不变，只是走向相反。第26页，课件共40页，创作于2023年2月3）凸包性这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，C(t)是特征多边形各项点Pi的加权平均，权因子是Bi,n(t)。在几何图形上，意味着Bezier曲线C(t)是Pi各点的凸线性组合，且曲线上的各点均落在Bezier曲线特征多边形构成的凸包之内。第27页，课件共40页，创作于2023年2月4.4B样条曲线以Bernstein调和函数构造的Bezier曲线有许多优越性，但有两点不足：（1）特征多边形顶点个数决定了Bezier曲线的阶次，并且当n大时．特征多边形对曲线的控制将会减弱；（2）Bezier曲线不能作局部修改，即改变某一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是调和函数Bi,n(t)在t∈（0,1）整个区间内均不为零。

1972年，Gordon，Riesenfeld等人拓扩了Bezier曲线，用B样条函数代替Bernstein函数，从而改进了Bezier特征多边形与Bernstein多项式次数有关，且整体逼近的弱点。

第28页，课件共40页，创作于2023年2月B样条曲线方程设节点序列T={t0,t1,…,tm},其中ti≤ti+1,P次B样条基函数定义为第29页，课件共40页，创作于2023年2月均匀B样条函数节点沿参数轴是均匀等距分布，即ti+1-ti＝常数,则表示均匀B样条函数。均匀非周期B样条节点的取值有如下规律：(L=n-k+1)第30页，课件共40页，创作于2023年2月当节点沿参数轴的分布是不等距的，即ti+1-ti≠常数时，则表示非均匀B样条函数。

第31页，课件共40页，创作于2023年2月4.4.1B样条曲线的性质1、局部性即：Ni，k(u)在区间(ti，ti+k)中为正，在其他地方Ni，k(u)=0这就使得k阶B样条曲线在修改时只被相邻的K个顶点所控制，而与其他顶点无关。当移动一个顶点时，只对其中的一段曲线有影响，并不对整条曲线产生影响。如图所示是一条均匀B样曲线。

第32页，课件共40页，创作于2023年2月2、几何不变性

B样条曲线C(u)的形状和位置与坐标系的选择无关；3、整体凸包性和强凸包性整条曲线落在P0，P1，…Pn形成的凸包之内，且每一条曲线都位于定义该曲线段的各点的凸包之内；对于三次B样条曲线当没有内点，只有4重起点和4重终点时，三次B样条曲线退化为一条Bezier曲线，即B样条曲线是Bezier曲线的改进与推广。均匀B样条函数，其特点是:(1)节点的参数轴的分布是等距的;(2)不同节点矢量生成的B样条基函数所描绘的形状是相同的;

在构造每段曲线时，若采用均匀B样条函数，由于各段所用的基函数不一样，计算简便。第33页，课件共40页，创作于2023年2月4.5非均匀有理B样条(NURBS)曲线非均匀B样条函数节点参数沿参数轴的分布是不等距的，因而不同节点矢量形成的B样条函数各不相同，需要单独计算，其计算量比B样条大得多。尽管如此，近年来NURBS(NonUniformRationalBSample)有了较快的发展和较广泛的应用，主要原因是：(1)对标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、曲面提供了统一的数学表示，无论是解析形状还是自由格式的形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取和应用；(2)可通过控制点和权因子来灵活地改变形状；(3)对插入节点、修改、分割、几何插值等的处理工具比较有力；(4)非有理B样条、有理及非有理Bezier曲线、曲面是NURBS的特例表示。NURBS中主要问题比一般的曲线、曲面处理时间长。第34页，课件共40页，创作于2023年2月4.6曲线曲面生成曲线曲面生成技术是曲面造型技术中的基础关键技术，它包括曲线曲面的反算及曲线曲面的各种生成方法。第35页，课件共40页，创作于2023年2月4.6.1曲线生成曲线生成有两种实现方法，一种是由设计人员输入曲线控制顶点来设计曲线，此时曲线生成即曲线正向计算过程；另一种则是由设计人员输入曲线上的型值点来设计曲线，此时曲线生成就是所谓的曲线反算过程。其中后者是曲线设计的主要方法。曲线反算过程一般包括以下几个主要步骤：1）确定插值曲线的节点矢量；2)确定曲线两端的边界条件；3)反算插值曲线的控制顶点。

第36页，课件共40页，创作于2023年2月4.6.2曲面生成曲面生成是曲面造型中的核