第二章数学模型3课件

二.传递函数传递函数的定义

列写传递函数典型环节的传递函数系统的传递函数-

传递函数的定义

在零初始条件下，系统或环节输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，称为系统或环节的传递函数则输出的拉氏变换为-传递函数的表示形式多项式形式零极点形式只适用于线性定常系统是在零初始条件下定义的只表示系统的端口关系输入输出之间关系-传递函数：

是系统的另一种数学模型，也是最常用的数学模型。传递函数的定义：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即-传递函数的性质：

(1)传递函数是描述线性系统或线性元件特性的一种数学模型。它和系统或元件的运动微分方程式一一对应。(2)传递函数反映系统本身的瞬态特性，只与系统本身参数、结构有关，与输入信号无关。(3)传递函数不反映系统的物理结构，不同的物理结构系统，他们可以具有相同形式的传递函数。具有相同形式的传递函数，从信号传输的角度来看，具有相同的瞬态特性。(4)传递函数，只表明单输入、单输出信号转递关系。对多输入、多输出却要用传递函数阵。(5)传递函数G(s)中的分子和分母是复变量s的有理多项式。对于工程系统分母的阶次n大于或等于分子的阶次m，即n≥m，这是因为实际物理系统总是有惯性的原因造成的。--2.控制系统的传递函数

复数阻抗（广义欧姆定律）-电网络系统的传递函数可直接由复数阻抗写出例：RLC网络如图，试采用复数阻抗法求取该网络的传递函数。解：传递函数为-由基尔霍夫电压定律元件约束整理得-例:有源网络（比例积分PI）如图所示，求传递函数。解：-3.典型环节的传递函数

比例环节积分环节-一阶惯性环节

微分环节-二阶振荡环节延迟环节-4.系统传递函数的建立-系统的结构图-结构图1．结构图的组成2．结构图的建立3．结构图的等效变换4．梅逊公式-1.结构图的组成信号线方框比较点引出线-结构图的建立系统结构图绘制步骤1)列写每个环节的运动微分方程式。2)由微分方程式求出相应的传递函数。3)依据传递函数画出相应的方框图。4)按信号的传递关系将方框图适当地联接起来，便构成系统结构图

-结构图的建立例已知两级RC

网络如图所示，作出该系统的结构图。解：--系统的结构图为-为了便于系统分析和设计，常常需要对系统的复杂的结构图作等价变换，或者通过变换使系统结构图简化，求取系统的总传递函数。因此，结构图变换是控制理论的基本内容。结构图的化简等效变换的原则结构图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的数学关系保持不变结构图的基本组成形式串联连接并联连接反馈连接-23

等效变换的法则串联连接的等效变换

传递函数的串联连接，其等效传递函数为这些传递函数的积。上述结论可以推广到多个传递函数的串联，即n个传递函数依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。-24并联连接的等效变换传递函数的并联连接，其等效传递函数为这些传递函数的和。上述结论可以推广到多个传递函数的并联，即n个传递函数并联的等效传递函数，等于n个传递函数的和。-25反馈连接的等效变换-26比较点（综合点）和引出点的移动

在系统结构图简化的过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或者反馈连接的计算，需要移动比较点或引出点的位置。比较点前后移动-27引出点前后移动-28注意对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路。但在移动中一定要注意以下几点：①必须保持移动前后信号的等效性；②相邻综合点可以互相换位和合并；③相邻分支点可以互相换位；④综合点和分支点之间一般不宜交换位置。

-29

序号原结构图等效原结构图等效法则

1串联等效

2并联等效

3反馈等效-30

4等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移

-31

8引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引出点（一般不采用)11负号在支路上移动

-G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)-33例：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简。H2(s)-34首先将间的引出点后移到方框的输出端接着将组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为H2(s)H2(s)-35得到图为然后将组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：

H2(s)/G4(s)H2(s)-36得到图为最后将求得其传递函数为：H2(s)/G4(s)-37练习：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)显然化简该结构图也需要移动比较点和引出点，需要注意得是，引出点和比较点之间是不宜随便移动的。因此我们将比较点前移，将引出点后移。得到图为-38将两个比较点合并，并将求出的等效传递函数：得到图为得到系统等效传递函数：-R(s)ABCD___C(s)例：-ABCD1/AD___R(s)C(s)-R(s)C(s)R(s)C(s)_-G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)__例：-例：化简结构图，求取传递函数--系统的传递函数为：-例两级RC滤波网络的结构图如图所示，试采用结构图等价变换法化简结构图。解：-令-例：化简结构图求系统传函。-x1x4x3x2abc1节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用 “o”表示。传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段 支路的增益即为传输。源点：只有输出支路而无输入支路的节点（与 系统的输入信号相对应）。一.信号流图的常用术语:信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。-阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输 出节点，与输出信号相对应。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径。开通路：如通路与任意节点相交不多于一次，称为开通 路。闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其 它 节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或 回路。回路增益：回路中各支路传输的乘积。不接触回路：回路间没有任何共有节点，则称其为不接 触回路。前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多 于一次，称为前向通路，前向通路中各支路 传输的乘积，称为前向通路增益。-二.信号流图的基本性质x1x4x3x2abc11．以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各支路信号的叠加。2．以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。3．增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。4．对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。-三.信号流图的简化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a3abX1X2X1X2(1)串联支路的总传输等于各支路传输之积;(2)

并联支路的总传输等于各支路传输之和;(3)

混合节点可以通过移动支路的方法消去;(4)

回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路。-信号流图的绘制

1.由系统微分方程绘制信号流图

1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；2）每个变量指定一个节点；3）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点，并标明支路增益。-

1)

用小圆圈标出传递的信号，得到节点。2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)结构图(节点)C(s)R(s)G(s)(节点)(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信号流图2.由系统结构图绘制信号流图-

绘制结构图对应的信号流图(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2-例

绘制结构图对应的信号流图(2)。-

特征式：

—所有单独回路增益之和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。梅逊公式为：—余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的Δ值。梅逊增益公式其中：n—从输入节点到输出节点之前向通路总数。Pk—从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。-前向通路有两条：，没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触：

解：三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例

已知系统信号流图，求传递函数。回路相互均接触，则：-f求传递函数X4/X1及

X2/X1。例

已知系统信号流图，解：三个回路有两个互不接触回路-R(S)11G1-G7-G6-G5G3G2C(S)G4例已知系统信号流图，求下图所示系统的传递函数。-例设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数R(S)11G1G3G2C(S)G4-1-H1-H2CG1G2G3G4---H1H2R--例：三级RC滤波网络如图所示，求传递函数G(s)。

-独立回路5个解：前向通路1条两两不接触回路6个-三三不接触回路特征式余子式传递函数-例：试求取图示系统的传递函数解：前向通路3条独立回路2个-例：系统结构图如图所示，试求其传递函数解：前向通路4条独立回路3个-闭环系统控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统。通常，控制系统会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰、噪声等，常用n(t)表示。通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函。-反