第一章数与式1讲实数及其运算

数学第1讲 实数及其运算理解有理数、无理数和实数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值，知道|a|的含义．了解乘方与开方互为逆运算，理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．了解近似数的概念，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．熟练掌握实数加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)，会用各种方法比较两个实数的大小，能运用实数的运算解决简单的实际问题．实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．实数的相关概念和运算．如对相反数、绝对值、倒数、用数轴比较大小及实数运算等知识点直接考查．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解，结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较大，较好地体现了新课标的基本理念．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．1．(2016·杭州)

9＝(

B

)A．a<0C．a<bB．ab<0D．a，b

互为倒数3．(2016·湖州)计算：tan45°－sin30°＋(2－2)0.A．2

B．3

C．3

或－3

D．52．(2016·金华)若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是(D

)1

3解：原式＝1－2＋1＝21．(2016·湖州)实数－A．2

B.

22的绝对值是(

B

)C．－

2D．－222．下列四个数中，最大的一个数是(

A

)A．2

B.

3

C．0

D．－23．(2016·金华)如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是(B

)A．φ45.02

B．φ44.9

C．φ44.98

D．φ45.011．实数的分类实数有理数

整数零负整数分数正分数

负分数有限小数或

无限循环小数

负无理数无理数

无限不循环小数2．相反数：实数

a

的相反数是

，0

的相反数是

0；a

与

b

互为相反数⇔a＋b＝

．3．倒数：实数

a(a≠0)的倒数是

；a

与

b

互为倒数⇔

．绝对值：数轴上表示数

a

的点与原点的

，

（a＞0），叫做数

a

的绝对值，记作|a|；|a|＝

（a＝0），

（a＜0）.平方根：如果一个数x

的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x

叫做a

的平方根(也叫二次方根)，数

a

的平方根记作

．一个正数有两个平方根，它们互为

；0

的平方根是0；负数没有平方根．6．算术平方根：a

的算术平方根记作

(a≥0)．算术平方根都是非负数，即

a≥0(a≥0)．7．( a)2＝a(a≥0)，

a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a<0）.8．立方根：如果一个数x

的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x

叫做a

的立方根(也叫三次方根)，数

a

的立方根记作

．任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．答案：1.正整数；正无理数

2.－a；0；

1；ab＝13.a4.距离；a；0；－a

5.± a；相反数

6.

a 8.3

a4．(2016·宁波)实数

－27

的立方根是－3

．5．－

2的相反数是(

C

)A．－

2B.

22C.

2 D．－

226．(2017·预测)下列各数中是无理数的是(

A

)1A.

2

B．－2

C．0

D.27.

8

的平方根是(

D

)A．4

B．±4

C．22

D．±2

28．设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a＋b

所有值的和．解：|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝－2或2，所以a＋b＝－4－2＝－6或a＋b＝－4＋2＝－2，－6＋(－2)＝－8，a＋b所有值的和是－8(1)互为相反数的两个数和为0；(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；(3)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；(4)判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：①含根号且开不尽方的数；②化简后含π(圆周率)的式子；③有规律但不循环的无限小数．掌握常见的无理数类型有助于识别无理数．9．(原创题)如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是(C)A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q10．如图，已知数轴上的点A，B，C，D分别表示数－2，1，2，3，则表示数3－的点P应落在线段(

B)A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上解析：第9题先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最小的数即可；第10题先估计无理数3－的范围，进而得出答案．数轴：规定了

、

、

的直线叫做数轴；实数与数轴上的点是一一对应的．答案：原点；正方向；单位长度11．数轴上表示－2的点与原点的距离是

2

．12．(原创题)如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n＋q＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是(A

)A．p

B．q

C．m

D．n【解析】根据n＋q＝0可以得到n，q的关系，n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，即判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，绝对值最大的点P表示数p，故选A.13．已知

m，n

为两个连续的整数，且

m＜

11＜n，则

m＋n＝

7

．【解析】由

m< 11<n知m2<11<n2，而m，n为连续的整数，所以m＝3，n＝4，m＋n＝7.14．如图，一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬3个单位长度到达点B，然后向左爬9个单位长度到达点C.写出A，B，C三点表示的数；根据C点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行几个单位长度？解：(1)A点表示2，B点表示5，C点表示－4向左爬行4个单位长度．(2)蚂蚁实际上是从原点出发，解题时充分利用数形结合的思想方法，借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上的点的位置；根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小或根据大减小为正，小减大为负来比较数的大小．15．(2016·杭州)计算6÷(1－2＋31)，方方同学的计算过程如下，原式＝6÷(－11)＋6÷

＝－12＋18＝6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你2

3写出正确的计算过程．解析：根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．解：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：63

2

1原式＝6÷(－6＋6)＝6÷(－)＝6×(－6)＝－3616．(2016·金华)计算：27－(－1)2016－3tan60°＋(－2016)0.解：原式＝3 3－1－3×

3＋1

＝01．零指数幂和负整数指数幂：零指数幂的意义为：a0＝

(a≠0)；负整数指数幂的意义为：a－p＝

(a≠0，p为正整数)．2．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从

至

的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．答案：1.(1)1；(2)

1ap2.左；右17．若0＜x＜1，则x－1，x，x2的大小关系是(C

)A．x－1＜x＜x2

B．x＜x2＜x－1C．x2＜x＜x－1

D．x2＜x－1＜x【解析】∵0<x<1，∴0<x2<x<1，x－1>1，∴x2<x<x－1，故选C.18．计算：(2)3－2－27＋6tan30°－|3－2|.19．计算：4sin60°＋|3－12|－