§45-量子力学的矩阵形式和表象变换课件

§4.5

量子力学的矩阵形式和表象变换

1、量子态的不同表象幺正变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。态有时称为态矢量。取平面直角坐标系OX1X2其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为，见下图。（1）直角坐标系中的类比力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。其标积可写成下面的形式我们将其称之为基矢的正交归一关系。其中，且同样有其中投影分量是而现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，表成矩阵的形式为或记为其中变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。很容易证明，R

具有下述性质：由于故称这种矩阵为正交矩阵。且~我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。（实矩阵）到现在为止，我们介绍了三种矩阵：厄米矩阵：正交矩阵：幺正矩阵：~这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。（2）量子力学中的表象形式上与上述类似，在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态ψ可以看成Hilbert空间的一个“矢量”。

体系的力学量

F

完全集的共同本征函数系ψk（k

代表一组完备量子数）构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F表象。同样对于任意态矢量ψ，有其中与代数不同的是：①这里的“矢量”（量子态）是复数；②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。现在考虑同一个态ψ在另一组力学量完全集

(表象

)中的表示。那么？方法同前述。因为显然其中上式也可以写成矩阵的形式：简记为通过S矩阵相联系，且即S矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。例试证明：S

矩阵是幺正矩阵[分析]只要证明S+S的矩阵元是δij

即可。在F表象中，有根据S矩阵元的定义，上式为利用前面的介绍，δ函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即则上式可见，S+S矩阵为单位矩阵，即S+S=I。2、力学量算符的矩阵表示仍以线性空间的矢量作类比正向转动θ角已经知道：令即按照右下图，有其中则有下面我们看如何通过上式由ak求bk。其中由上式可见，力学量算符对态的作用可以写成对例求一维谐振子坐标x、动量p以及HamiltonianH在能量表象中的表示。[分析]不同体系的Hamiltonian不一样，能量表象的基矢也不一样。这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamiltonian

的本征函数解：利用一维谐振子波函数的递推关系所以注意：这里的m、n都是由0开始取值。这样而所以任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。是一个对角矩阵。3、量子力学的矩阵表示设力学量完全集F的本征态是分立的（基矢可数），在F表象中，力学量L用矩阵表示为且而量子态ψ则表示成列矢的形式，即其中这样，量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式。下面我们分别讨论Schrödinger方程、平均值公式以及本征值方程的矩阵形式。(1)Schrödinger方程代入上述方程得写成矩阵的形式是对﹟(2)平均值公式对于力学量算符将此式代入上页平均值公式，有﹟(3)本征值方程对本征值方程即这是ak的齐次线性方程组。方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即写出明显的矩阵形式是表成列矢的形式为如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程，有N个实根。记为注意：若有重根，则会出现简并（不同的态对应相同的能级），简并态还不能唯一确定。4、力学量的表象变换即或其中同理可得其中将S矩阵元提到积分号外即其中则是从间基矢变换的幺正矩阵，即注意：S是不同表象基矢间的变换矩阵。﹟§4.6

Dirac符号

量子力学的理论描述常采用Dirac符号。两个优点：②不依赖于具体表象先介绍括号1、左矢（bra）与右矢（ket）Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成。①运算简捷在这个空间中，态用右矢表示，一般写为，定义在复数域上。也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如2、标积或内积的表示定义两个态矢ψ和φ标积的形式为又称内积。且满足下列关系则其正交归一性可写为对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为而动量算符的本征态的正交归一性可写为3、态矢在具体表象中的表示所以有（1）分立谱的情况所以用列矢表示为即而另外有我们称算符I为单位算符，这是基矢完备性的表现，通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义。（2）连续谱的情况在这种情况下，上述的求和要用积分代替。比如：要会写，以后经常用到。（3）两个态矢之间的内积写法其中以上是态矢量在具体表象中的表示,下面介绍…4、算符在具体表象中的表示设算符的作用用Dirac符号表示为在F表象中，插入单位算符利用前面所得关系则有上式写成矩阵的形式，有由4、量子力学公式例1用Dirac符号，Schrödinger方程可写为在F表象下可表示为即例2例4Dirac符号下的本征值方程在F表象中左端可以表成考查左端右端可以写成从而有或写为此方程组有非0解的必要条件为这样写是有目的的﹟5、表象变换(1)态的表象变换则此两个表示之间的关系可由下式给出即写成矩阵的形式，有上式可以简写成下面用Dirac符号来证明上式证明：在F表象中可见，用Dirac符号证明上式是比较简单的。同理可证例1已经知道，一维粒子动量为的本征态是实际上，这是动量为的本征态在坐标表象中的表示，即实际上，任何算符的本征函数在自身表象中的表示都为δ函数。例2波函数在坐标表象和动量表象之间的变换而类似地，在动量表象中，此态矢量表示成写成函数形式时应写成在坐标表象和动量表象中的表达式关系如下：插入|p>的完备性关系即Fourier变换式其逆变换为或写成此变换的幺正性可通过下式证明：同理可证明：例3在坐标表象中表示成（以一维粒子为例）：而在动量表象中可以表成：(2)算符的表象变换而写成矩阵的形式是注意：此式与周世勋书中的式（4.4-10）有所区别。原因在于选择哪一个为原表象，即S矩阵是如何定义的。