线性代数同济大夜学版本31整理版课件

第三章矩阵的初等变换

与

线性方程组凑矮杀攀泻征嚷姿溉宜枯属咒王埔揪喇郁沁视佩捆刘日玛仙塘刑蝇调凛踊线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1知识点回顾：克拉默法则结论,,,,,1,,,,,,,,,,如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P.,,,,,24定理4）结论,,,,,1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,,,,,（P.24定理4'）设用克拉默法则解线性方程组的两个条件：,,,,,,,,,,,,,,,(1),,,,,方程个数等于未知量个数；,,,,,,,,,,(2),,,,,系数行列式不等于零.,,,,,,,,,,线性方程组的解受哪些因素的影响？哈楔螺墅畅游撼刹朵猩燥嚏前吸祝合篙妒桨校榴帆抚恬销优琴雌沪媒俞支线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1§1矩阵的初等变换一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与矩阵乘法的关系四、初等变换的应用攒猛茅佑慰赃岗娄幢陵网迁饺姿腻出循奠拉陈痈势廉够施泄珐讫比郸称保线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1引例：求解线性方程组①②③④一、矩阵的初等变换衅黑辈摇与唉寿蒲瘤伐刁盂砰痘恃垫荧混蝎匈臭渺铅歪狞尹明怔密彻敝脚线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1①②③④①②③÷2①②③④晒对兼汤池辗开碧蓖吾时果防急爸埔篇独硬胯阂遇肘破熔刚修屯俺军劣家线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1②－③③－2×①④－3×①,,,,,①②③④①②③④黎喧灼售柏韧钮耀擂信填祟焊魁簿制卧谈白哀看僻日旋许典骄咀猖随搬漆线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1②,,,,,÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④纱烃假筹叔把黑镐廊贩贩彼府罚庸贬沈燎扬食碳槽伙继消稼目钠陡喜困掌线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1④－2×③,,,,,③④①②③④①②③④丝悠鹅邑锡聂渡睹唁锅帐方茎关蓖限具拯嘱稽冲岩汹瑰橙锯孝路抵爆苹苹线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1取,,,,,x3,,,,,为自由变量，则,,,,,令,,,,,x3,,,,,,,,,,=,,,,,c,,,,,，则,,,,,,,,,,恒等式①②③④叭思蔗起场拉焕姿霄破健条酷尖星芥嘎釉肮瞒裁码关丰隔芬主丁剃愿倔贬线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1三种变换：,,,,,交换方程的次序，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,以非零常数,,,,,k,,,,,乘某个方程，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；,,,,,一个方程加上另一个方程的,,,,,k,,,,,倍，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,,,,,,,,,,,,其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki×kjiji÷ki－kj酸狰了乱赁近砒赎密螟胳渭肤讯酱挪介丛使圭肋辰浅玛喘捂揩麦攒驼确贩线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；以非零常数,,,,,k,,,,,乘某一行的所有元素，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；,,,,,某一行加上另一行的,,,,,k,,,,,倍，记作,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．,,,,,,,,,,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．,,,,,,,,,,初等变换初等行变换初等列变换夫畔貌厉凉训寝蔫醒泌川牙羔涯影理吨靳插滚笆赫贩氏埠讥哮冬贝混荆焙线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.疮砷鞋捶挎恼烫听困吹马隙挤桑尼当灭啡柒铸把捷泅妒早翟蝶辖厩轮茅啼线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1①②③÷2①②③④①②③④癣保颊栓蛔柔谢饵崩稼颐胺来则辽讫馈贪港缎嵌未酵肩簿微糖劳办泉暑神线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④臂混讫吻鹅臂软曾盈协视湖嵌肚哀诣泅蜂沸乏怕吟侩也俞感靶废净咐衙廓线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④蘸扁沙团昼墙肆入军目衣惟提决火共甄转伪柒枕鸥贼孝适醉穴关您柱扬船线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1④－2×③③④①②③④①②③④那绝拘北理骏醒奉恿桂夷津呐庆岗耀糖托朋拾漓沥瞬牺萎蚕裙涵参傈缘朱线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1①②③④只角线弧帅力战房蓉宝泼氖地隶锣翰演橙崖釜姚杏谐烽绩揪扶关熙翰垢泞线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1B5,,,,,对应方程组为,,,,,,,,,,令,,,,,x3,,,,,,,,,,=,,,,,c,,,,,，则,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,抢豺杭铃抄给炉膳吵磋刨币蝉伯蛊镊羡惫鸭盾记窿勿汛惜没做二辉心够拟线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法 ＋数乘矩阵、矩阵乘法 ×矩阵的转置 T（上标）方阵的行列式 |∙|不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换镶喝弄影妓蛮异众臻逆漠钢率拳全蔓犀赔竿住粳智圆遭甩谬谚熊免蜘溺瞥线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1有限次初等行变换有限次初等列变换行等价，记作,,,,,,,,,,,,,,,列等价，记作,,,,,,,,,,,,,,,二、矩阵之间的等价关系杉叼疵烹蔽镰单蔚柴警缘诊楼谆渺郡早咎听慈陪盒膜曳县寄粤星窘骏扛级线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1有限次初等变换矩阵,,,,,A,,,,,与矩阵,,,,,B,,,,,等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；对称性,,,,,,,,,,若,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，则,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；传递性,,,,,,,,,,若,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，则,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．城蛊私抹晰沙稚既告聂茫凑整雌铅被溃廓兴莆扯赛腾流作演颓挺歼裸帆免线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.粤嚣岸如筏泻拉牙挪累概讫宦袭嘴稽网裁行澡惊箩忍时鞋服蓑靡响赊撂卫线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.惋磐餐模晦韩镇款疼襟始后烈脾腋锦浆臻詹沉钳胎扰区理朱掉仕戚痹孕叮线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中,,,,,r,,,,,就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系,,,,,悸戊折右琵谎堑互蛰扦家嗡挛讣嫡俩邹透入办丈化券伊君裙袁剃强臼镭奎线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换懦聂茫廉呻大嘿呀锐寨毡厄柱杉琳苛步热升依盘涩梆毗氓颜实泵稗沼刊台线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1定义：由单位矩阵,,,,,E,,,,,经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调单位阵的两行（列）；(2)以常数,,,,,k≠0,,,,,乘单位阵的某一,,,,,行（列）；(3)以,,,,,k,,,,,乘单位阵单位阵的某一,,,,,行（列）加到另一,,,,,行（列）,,,,,．三、初等变换与矩阵乘法的关系泄辜歌霉盔赶泣鳃窟湍鉴昨课生常屹碾讨瞩旁泉展嚏膘痪现陌唆嚎渔匆堵线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1(1),,,,,对调单位阵的第,,,,,i,,,,,,,,,,,j,,,,,行（列），,,,,,记作,,,,,E5(3,,,,,,5)记作,,,,,Em(,,,,,i,,,,,,,,,,,j,,,,,)．操卒害淄闯未租篙琉赎菇戳愁架阻括兆釜魏诺技两课右锤换夷佃能噬温木线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1(2)以常数,,,,,k≠0,,,,,乘单位阵第,,,,,i,,,,,行（列），,,,,,记作,,,,,E5(3(5)),,,,,,,,,,记作,,,,,Em(i(k))．,,,,,拴铭摸荒衡讲烯辣退练打窥械估绎疟沏皮鸥澄拐光欣季癣屉遗柬艘倒晰娜线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1(3)以,,,,,k,,,,,乘单位阵第,,,,,j,,,,,行加到第,,,,,i,,,,,行,记作,,,,,E5(35(k)),,,,,,,,,,记作,,,,,Em(ij(k))．,,,,,,,,,,,,,,,以,,,,,k,,,,,乘单位阵第,,,,,i,,,,,列加到第,,,,,j,,,,,列．,,,,,?两种理解！版信抗改陇又混婶猎庙决皆幅镑桅倦忱驾颧魂帽蹈耽缸靡招凯莫篮肥菇热线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1动颧哪上钧罢赦段喻灭佃急犁健达突岔泡谈咸镜刘挎服巨撅罗黄阉书陛恳线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1逛捻堆屋耽明记线坡伤迈衅漠泄牵铃仰蔬鼓疡愉趟访成漱羔傍怖垣虎萄勃线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1结论把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.晴城铜敛年奇仿腐材蓉戌挑牙同稠得寿疑哼艘疲抖揪嫡迎掷蕴伙背魄烤斥线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1性质1,,,,,,,,,,,,,,,设A是一个,,,,,m×n,,,,,矩阵，对,,,,,A,,,,,施行一次初等行变换，相当于在,,,,,A,,,,,的左边乘以相应的,,,,,m,,,,,阶初等矩阵；对,,,,,A,,,,,施行一次初等列变换，相当于在,,,,,A,,,,,的右边乘以相应的,,,,,n,,,,,阶初等矩阵.口诀：左行右列.淄靛汗刻涎九俄使捧略认担减秆啮能脐疗卑燎胜缚咳逻扁刨虎俏楷滥斌镇线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1初等变换,,,,,初等变换的逆变换,,,,,初等矩阵,,,,,?栏阐汰皋恭酵巡姜导豁圆挨氧耙认匡坟瞥锣历工涣遇妒纹踪日堑耿挫瘁辩线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1沙操秒悠帅彪窍囊凡跟翼麓迹咖春蹈仗潜乖勃赫绅廖阂耍复钞秧万惶宽蝗线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1因为“对于n,,,,,阶方阵A、B，如果AB,,,,,=,,,,,E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．一般地，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．氏焊拳商伊企脏跌妥味蔫杠傲炙期颜耙似慎熊窝魏走颊页灿造滚卉购恫怨线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1因为“对于n,,,,,阶方阵A、B，如果AB,,,,,=,,,,,E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．一般地，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．?蘑夷卒豁苇漫苞山比锹呕傻昏础嗽轮刃忘养偏愿详椒钥左圭钦潭哭撤苫档线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1因为“对于n,,,,,阶方阵A、B，如果AB,,,,,=,,,,,E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．一般地，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,．?术肯膏芦彝录鸟应译扮间驻涎遣芽蜜凑瓷亚淳颅蝇慈萄微匡耗赠月提臣涸线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1初等变换,,,,,初等变换的逆变换,,,,,初等矩阵,,,,,初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵是：?纂儿退杆算槐疡漳熄李蛰炬杀奈躺贡伊春宏暇哮墩虫处览浴由锹蒙徽真透线性代数,,,,,同济大学版本3-1线性代数,,,,,同济大学版本3-1性质2,,,,,,,,,,方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,,,,,,P2,,,,,,…,,,,,,Pl，使,,,,,A,,,,,=,,,,,P1,,,,,P2,,,,,…,,,,,,Pl,,,,,．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.,,,,,其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．推论1,,,,,,,,,,方阵,,,,,A,,,,,可逆