第五章代数系统课件

离散数学23七月20232023/7/23第三篇代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为“近似代数”或“抽象代数”。2023/7/23第五章代数系统2023/7/235.1.代数系统一、

n元运算将集合中的每个元素映射成它的倒数是一元运算。在集合A上，对任意两个元素进行加法运算是二元运算n元代数运算：对于集合A，一个从A×A×…×A到B的一个映射(或函数)

称为集合A上的n元代数运算，简称n元运算。2023/7/23二、封闭性

如果“”是A×A到A的二元运算，则称运算“”对集合A是封闭的。2023/7/23三、运算符号一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号“+”、“-”、“*”、“/”、“∩”、“∪”、“∧”、“∨”、“┐”、“★”、“☆”、“о”、“⊕”、“+”、“”、“”等抽象的符号来表示一个抽象的运算。2023/7/23四、代数系统

设A是非空集合，1,2,…,m分别是定义在A上运算。称集合A和1,2,…,m所组成的系统称为代数系统，简称代数，记为<A,1,2,…,m>。当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统，否则称为无限代数系统2023/7/23五、运算表运算表b1b2…bma1a1b1a1b2…a1

bma2a2

b1a2

b2…a2

bm……………anan

b1an

b2…an

bm当集合A和B有限时，一个A×B到C的代数运算，可以借用一个表，称为运算表（乘法表）来说明。设“”是A×B→C的运算，A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm},则运算“”可用下表说明。例：设S={1，2，3，4}，定义S上的二元运算如下：x☆y=xy(mod5),求☆的运算表2023/7/235.2.二元运算及其性质一、性质2023/7/231.

设<A,>是二元代数系统，如果对任意的a,b,c∈A，都有

(a*b)*c＝a*(b*c)则称“*”在A上是可结合的，或称满足结合律。2.

设<A,>是二元代数系统，如果对任意的a,b∈A，都有a*b＝b*a则称“”在A上是可交换的，或称满足交换律。2023/7/233.

设<A,>是二元代数系统，若元素a∈A，满足

aa=a，则称a是A中关于“”的一个幂等元，简称a为幂等元。若A中的每一个元素都是幂等元，则称“”在A中是幂等的，或称“”满足幂等律。2023/7/234.

：设“”、“о”是集合A上的二元运算，<A,,о>是一个代数系统，对a,b,cA，有（1）aо(b*c)=(aоb)*(aоc)，（2)(b*c)оa=(bоa)*(cоa)，则称о”对“*”在A上满足分配律。2023/7/235.

设“”、“о”是集合A上的二元运算，<A,,о>是一个代数系统，如果对任意的x,y∈A，都有x(xоy)=x，xо(x

y)=x，则称“”和“о”满足吸收律2023/7/23二、特殊元1.幺元（单位元）

设<A,>是二元代数系统，（1）若存在el∈A，使得对任意a∈A，都有el

a=a，则称el是A中关于运算“”的一个左幺元（左单位元）（2）若存在er∈A，使得对任意a∈A，都有a

er=a，称er是A中关于运算“”的一个右幺元（右单位元）（3）若存在e∈A，对任意a∈A，都有ae=ea=a，则称e是A中关于运算“”的一个幺元（单位元）2023/7/23例下列代数系统是否存在幺元(左幺元或右幺元)，如果存在计算之。（1）<Z,+>，Z是整数集，“+”是加法运算；（2）<Z,>，Z是整数集，“”是乘法运算；（3）<p(A),∪>p(A)为集合的幂集(4)<p(A),∩>（5）<Mn(R),+>Mn(R)为n阶实矩阵的集合(6) <Mn(R),·>

是一样的。2023/7/23定理设<A,>是二元代数系统，且在A中有关于运算*的左幺元el和右幺元，则el=

er，且A中的幺元是唯一的。证明：因为el和er分别是A中关于运算*的左幺元和右幺元，所以el=el*er=

er=e设另有一幺元el∈A，则

el=el*e=e2023/7/232.零元设<A,>是一个二元代数系统，（1）若存在l∈A，使得对任意a∈A，都有l

a=l，则称l是A中关于运算“”的一个左零元；（2）若存在r∈A，使得对任意a∈A，都有ar=r，则称r是A中关于运算“”的一个右零元。（3）若存在∈A，使得对任意a∈A，都有a=a=，则称θ是A中关于运算“”的一个零元；2023/7/23定理设<S,*>是二元代数系统，且在A中有关于运算*的左零元l

和右零元r，那么，l=

r且A中的零元是唯一的。定理：设<A，*>是一个代数系统，且|A|>1，则<A，*>中若存在幺元e和零元θ，则e≠θ。2023/7/233.逆元设<A,>是二元代数系统，e是幺元，a∈A，若存在一个元素b∈A，（1）使得：ba=e，则称a左可逆，并称b是a的一个左逆元，记为al1；（2）使得：ab=e，则称a右可逆，并称b是a的一个右逆元，记为ar1。（3）使得：ab=ba=e，则称a可逆，并称b是a的一个逆元，记为a1；2023/7/23定理设◦为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S

如果存在左逆元yl

和右逆元yr,则有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.证：由yl◦x=e

和x◦yr

=e

得

yl

=yl◦e=yl◦(x◦yr)=(yl◦x)◦yr=e◦yr=yr令yl=yr=y,则y是x的逆元.假若yS

也是x的逆元,则

y=y◦e=y◦(x◦y)=(y◦x)◦y=e◦y=y所以y是x惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x只有惟一的逆元，记作x1

例：A={1，2，3，6}，在A上对最大公约数和最小公倍数运算列出运算表。例：A={1，2}，列出A的幂集上的交运算和并运算的运算表。例：设m为任意正整数，Zm是有模m的同余类集，Zm={[0]，[1]，…，[m-1]}在Zm上定义两个二元运算+m、m分别如下：对任意的[i],[j]Zm

[i]+m[j]=[(i+j)modm]

[i]m[j]=[(ij)modm]列出m=5的运算表总结：2023/7/235.3半群一、半群在二元代数<S,>中，若二元运算“”满足封闭性，则称<S,>为广群；在二元代数<S,>中，若二元运算“”满足封闭性、可结合性，则称<S,>为半群；例：子半群：设<S，*>是一个半群，B⊆S，且*在B上是封闭的，则<B,*>也是一个半群，称<B,*>是<S，*>的子半群

例：2023/7/23二、含幺半群

（独异点）设<S,>为半群，若S中存在关于运算“”的幺元e，则称此半群为独异点（或含幺半群），有时也记为<S,,e>；定理定理：独异点的运算表中，任何两行两列都不相同。证明：设独异点的么元为e，对任意的a,b∈S,a≠b∵a*e≠b*e∴<S，*>运算表中ａ，ｂ两行不同，由ａ，ｂ任意性，运算表中任两行不同∵e*a≠e*b∴<S，*>运算表中ａ，ｂ二列不同,由ａ，ｂ任意性，运算表中任两列不同．例：证明：<Zm,+m>和<Zm,m>中任两行和任两列都不同。定理设<S，*>是一个半群，对任意a,b∈S且a,b均有逆元，则：（1）(a-1)-1=a（2）a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1证明：（1）∵a*a-1=e∴a是a-1的左逆元∵a-1*a=e∴a是a-1的右逆元∴(a-1)-1=a

（2）∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e∴b-1*a-1是a*b的右逆元又∵（b-1*a-1）*（a*b）=b-1*（a-1*a）*b＝e∴b-1*a-1是a*b的左逆元∴（a*b）-1=b-1*a-12023/7/235.4群与子群一、群

1.群的定义设<G,>为二元代数系统，满足如下性质：“”在G中满足封闭性、可结合性、存在关于“”的幺元e，使得G中每个元素a都有逆元a1∈G，则称二元代数系统<G,>为群。2023/7/232.有限群集合G的基数称为群G的阶，记为|G|。若群<G,>的阶有限，则称之为有限群，否则称为无限群。|G|称为群的阶补充：元素的阶：<G,*>为群,对于aG,使am=e最小的正整数m称为元素a的阶。例：<Z4,+4>2023/7/233.群的性质：在群<G,>中，有：（1）阶大于1的群G不可能有零元；（2）群G中除幺元e外无其他幂等元；（3）对任意的a,b,c∈G，若有a*c=b*c或c*a=c*b，则有：a=b(消去律)；(4）设<G,*>是群，对于a,b∈G必存在唯一的x∈G,使得a*x=b。（5）群的运算表中，每一行、每一列都是G的一个置换。

置换：设S为非空集合，从S到S的一个双射函数称为S的一个置换。（5）证明：（a）先证运算表中每一行（列）中的元素不能出现两次∵若a*b1=a*b2=k，且b1≠b2，与可约性矛盾（b）再证G中任一元素在任一行（列）中均出现∵考察对应于a的那一行，任意bG，则b=a*（a-1*b）∴b出现在a行a-1*b列，由a，b任意性得证。（c)由于运算表中任意两行任意两列都不同，所以，群的运算表中，每一行、每一列都是G的一个置换。

2023/7/23例设X是任意集合，S={f：XX|f是双射函数}，运算“”是函数的复合运算，证明<S,>是群。证明（1）封闭性：f,g∈S,f,g是双射，则fg也是双射，即fg∈S。故封闭性成立。（2）结合律：由于函数的复合运算“”满足结合律，因此，在集合S也满足结合律。2023/7/23证明（续）（3）幺元存在：恒等映射IX∈S，且f∈S，有IXf=fIX=f，因此，恒等映射IX是幺元。（4）逆元存在：f∈S,f是双射，则f1∈S，且有f1

f=ff1=IX，因此，f1就是f关于“”的逆元。由（1）、（2）、（3）和（4）可知，<S,>是群。2023/7/23二、子群1.子群的定义：设<G,>是群，如果（1）S是G的非空子集；（2）S在运算“”下也是群，即<S,>是群。则称<S,>是<G,>的子群。对任意的群<G,>,<｛e｝,>和<G,>是群G的子群。由于任何群<G,>都有这两个子群，故称之为平凡子群。2023/7/232.子群的证明2023/7/23根据子群的定义，要证明以下5点：①、S非空子集；②、运算对S的封闭性；③、运算在S上结合律成立；④、S上存在幺元；⑤、S中的每个元素都存在逆元。例：证明下列是否为<Z4,+4>的子群

（1)<{[0],[2]},+4>（2）<{[0],[1]},+4>(3)<{[0]},+4>例：<Z,+>是群，设A={x|x=2n,nZ},证明：

<A,+>是<Z,+>的子群定理：设<G,*>是群，<S,*>是<G，*>的子群，那么<G，*>的幺元也是<S,*>的幺元。证明子群还可以采用下面两个定理：定理1：(子群的判定定理1)设<G,*>是群，有限非空集合HG,若*在H是封闭，则<H,*>是<G,*>的子群。定理：(子群的判定定理2)

设<G,*>是群，非空集合HG,若任意a,bH

有a*b-1H，则<H,*>是<G,*>的子群。例：<H,*>和<K,*>都是<G,*>的子群，证明：<H∩K,*>也是<G,*>的子群。2023/7/235.5阿贝尔群和循环群

2023/7/23一、交换群（阿贝尔群）若群<G,>中的运算“”满足交换律，则称<G,>是一个交换群（阿贝尔（Abel）群）。由于加法运算“+”满足交换律，因此群<Z,+>，<R,+>，<Q,+>，<C,+>都是交换群。2023/7/23定理设<G,*>是一个群，则<G,*>是交换群的充分必要条件是：对a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=a*a*b*b。证明

必要性对a,b∈G，由于“*”可交换，所以有(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a(ab)*b=(a*a)*(b*b)

2023/7/23（续）充分性对a,b∈G，若有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)，因此，a*(b*a)*b=a*(a*b)*b，由消去律知：b*a=a*b，所以，运算“*”满足交换律，即<G,*>是交换群。2023/7/23二、循环群

在群<G,*>中，若存在元素g∈G，使得对a∈G，都有：a=gi（i∈Z，Z为整数集合），则称<G,*>为循环群，记为G=<g>(或<G,*>=<g>)，并称g为该循环群的一个生成元。注意:这里的gi并不是普通的乘方,gi指对i个g进行*运算。生成元不唯一。注意：k是正整数,ak＝a*a*…*a共k个元素乘积，记a0＝e,a-k＝(ak)-1例：<{60°,120°,180°,240°,300°,360°},+>2023/7/23例整数加法群<Z,+>是否是循环群？例：<Zm,+m>是否是群？2023/7/23结论判别群是否是循环群主要就是计算生成元，而计算生成元有两步：①、假设生成元存在，并根据定义计算它；②、验证计算的结果是否是生成元，如果是，则该群是循环群。2023/7/23两类循环群G=<g>是循环群，根据生成元g的周期，可得两类循环群：（1）当g的周期无限时，<g>是无限阶循环群，则<g>={gk

|k∈Z；若i≠j，则gi≠gj}；（2）当g的周期有限时，<g>是有限阶循环群，若g的周期为n，则有<g>={g,g2,g3,…,gn-1,gn=e,}。求生成元的方法：无限循环群:生成元为a和a-1有限循环群:对于n阶循环群G={a,a2,…,an},G的生成元为at

当且仅当t与n互质例：a12＝e,则G＝｛e,a,a2,…a11｝例：<Z4,+4>2023/7/23定理每个循环群都是阿贝尔群。证明设g∈G是循环群<G,*>的生成元，对n，m∈G，存在x，y∈Z，有n=gx，m=gy，则n*m=gx*gy=gx+y=gy+x=gy*gx=m*n，所以，循环群<G,*>是阿贝尔群。例：判断下列四阶群是否循环群？*eabceeabcaabcebbceacceab*eabceeabcaaecbbbceaccbae总结：（1）循环群一定是交换群，但交换群不一定是循环群（2）循环群的生成元不唯一2023/7/235.7陪集与拉格朗日定理一、陪集1.积和逆：设<G,*>是群，A,B∈P(G)且A≠Φ,B≠Φ,记：AB={a*b|a∈A,b∈B}为AB的积A-1={a-1|a∈A}为A的逆2023/7/232.陪集设<H,*>是群<G,*>的子群，a是G中任意元素，称（1）{a}H={a*h｜h∈H}=aH为子群H在群G中的一个左陪集；（2）H{a}={h*a｜h∈H}=Ha为子群H在群G中的一个右陪集。a称为左陪集aH（或右陪集Ha）的代表元。2023/7/23例计算群<Z4，+4>的子群<{[0]，[2]}，+4>的一切左、右陪集。2023/7/233.左（右）陪集的性质设H是有限群G的一个子群，任取a∈G，b∈G有：(1)aHG(2)若b∈aH，则aH=bH(3)若baH，则aH∩bH

＝Φ(4)a1H∪a2H∪…∪aiH∪…∪amH=G(m为G中元素个数)2023/7/23二、拉格朗日定理设<H,*>是群<G,*>的一个子群，那么：（1）R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系；对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R},则[a]R=aH（2)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m整除n2023/7/23二、拉格朗日定理即子群H的阶m整除群G的阶n，而且其整除的倍数就是不相同的右陪集的个数（同样，如果使用左陪集，会得到同样的结果）。2023/7/23结论结论1

设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶，即|H|｜|G|。结论2

素数阶有限群<G,*>只有平凡子群，而无非平凡子群。2023/7/23结论（续）结论3n阶有限群<G,*>中，对于任意元素a，a的阶是n的因子。证明

设G的阶为n，a的周期为m，则集合H={a，a2，…，am}是G的子群，由拉格朗日定理，有m整除n。结论4素数阶的群,一定是循环群证:设<G,*>为质数阶群任意取a∈G,a≠e

由结论3知:a的阶数r可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的阶数,∴{a,a2,…,ar}=G∴<G,*>是循环群2023/7/235.8同态与同构在现实社会中，存在着很多代数系统，但仔细分析这些众多的代数系统发现，有些代数系统，他们之间表面上似乎不相同，但他们实际上“相同”。如有两个代数系统<{奇，偶}，*>和<{正，负}，

>，其运算“*”和“”分别定义如下表2023/7/23一、同态设<A,>和<B,>为两个二元代数系统，f是A到B的映射。对任意x,y∈A，都有f(xy)=f(x)

f(y)，则称f是从<A,>到<B,>的同态映射，称f(A)为同态象，其中f(A)={f(x)|x∈A}。如果存在一个从<A,>到<B,>的同态映射，则称<A,>与<B,>同态，记为<A,>∽<B,>。当A=B时，称其同态为自同态。例:设<R,+>,<R,×>是两个代数系统,令映射

:RR,(x)=ex则是<R,+>到<R,×>的同态映射.因为(x+y)=ex+y,(x)·(y)=ex·ey=ex+y

(x+y)=(x)·(y)

是(R,+)到(R,×)的同态映射。例:设<Z,+>和<Zn,+n>是两个群，Z是整数集合其中Zn={0,1,2,…,n-1},+n是模n加法：x+ny=(x+y)modn令映射f:ZZn,f(x)=x(modn),则f是<Z,+>到<Zn,+n>的同态映射。因x,yZ,有f(x+y)=(x+y)(modn)

f(x)+nf(y)=x(modn)+ny(modn)=(x+y)(modn)满足同态映射的条件2023/7/23当同态映射f分别是单射、满射、双射时，分别称f是单同态映射、满同态映射、同构映射。如果存在一个从<A,>到<B,>的同构映射（单同态映射、满同态映射），则称代数系统<A,>与<B,>同构（单同态、满同态）。用<A,>≌<B,>表示<A,>与<B,>同构。二、同构如果存在一个从<A,>到<B,>的同构映射，则称代数系统<A,>与<B,>同构。