陕西省西安市长安区第四中学高三数学理上学期期末试卷含解析

陕西省西安市长安区第四中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.公比为等比数列的各项都是正数，且，则（

）

参考答案：选2.命题P：；命题q：，函数的图象过点，则（

）A．P假q假

B．P真q假

C．P假q真

D．P真q真参考答案：C

考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法.3.已知函数，下列说法正确的是（

）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是上的常函数D．，是上的单调函数参考答案：D函数的定义域为。当时，。当时，函数为奇函数。，若，则，所以函数在区间和上，函数递增。若，则，所以函数在区间和上，函数递减。所以D正确，选D.4.设全集，集合，，则等于(

)A.{2}

B.C.

D.参考答案：答案：C5.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，，则（

）A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{1,2,3,4,5}参考答案：C【分析】求解出后，根据并集定义求得结果.【详解】由题意得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

7

B．

C.

D．参考答案：D7.某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D8.已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则的值为（）A．4 B．±4 C．4 D．±4参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由及即可得出点P为AC中点，点Q为靠近点B的AB的三等分点，从而可求出．然后根据即可求出cosA=，从而便可求出的值．【解答】解：；∴P为AC中点；由得，；∴；∴Q为靠近B的AB的三等分点，如图所示：，；∴==；∴；∴；∴==．故选D．【点评】考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式．9.集合{i*ln∈N*}(其中i为虚数单位)中元素的个数是A.1 B.2 C.4 D.无穷个参考答案：C10.已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i参考答案：A【考点】复数相等的充要条件．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当满足时，则的最小值是

；参考答案：12.对于的命题，下列四个判断中正确命题的个数为

.；；；，则参考答案：③④13.表示不超过的最大整数.那么

.参考答案：略14.的展开式中，常数项为252，则m=

。参考答案：略15.已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．参考答案：（8，23）【考点】HB：余弦函数的对称性；5B：分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的范围，即可得出a+b+c的取值范围．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图：令log（x﹣3）+1=1，解得x=4．令log（x﹣3）+1=﹣1，解得x=19．设a＜b＜c，则a+b=4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案为（8，23）．【点评】本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．16.函数的最小正周期为_____．参考答案：函数，所以周期为。17.已知实数满足，则的最小值是

.参考答案：考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）≥x﹣1；（Ⅲ）若在区间（0，+∞）上恒成立，求a的最小值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1，需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可．（Ⅲ）要使：在区间在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立，利用函数的导数，通过①当a＞0时，利用h（1）＜0，说明a＞0不满足题意．②当a＜0时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的斜率为k，f′（x）=lnx+1，k=f′（1）=ln1+1=1因为f（1）=1?ln1=0，切点为（1，0）．切线方程为y﹣0=1?（x﹣1），化简得：y=x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）要证：f（x）≥x﹣1只需证明：g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立，g′（x）=lnx+1﹣1=lnx当x∈（0，1）时f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增；当x=1时g（x）min=g（1）=1?ln1﹣1+1=0g（x）=xlnx﹣x+1≥0在（0，+∞）恒成立所以f（x）≥x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）要使：在区间在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立，等价于：在（0，+∞）恒成立因为==①当a＞0时，，a＞0不满足题意②当a＜0时，令h′（x）=0，则或（舍）．所以时h′（x）＜0，h（x）在上单调递减；时，h′（x）＞0，h（x）在上单调递增；当时当时，满足题意所以﹣e3≤a＜0，得到a的最小值为﹣e3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.选修4－5：不等式选讲.设函数，．⑴求不等式的解集；2

如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：(1) (2分)当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.综上可得，不等式的解集为. (5分)(2)设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则.

(10分)略20.今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：

不相同相同合计男女合计（1）根据如上的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？（2）计算这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取位男生和位女生逐个进行采访，最后再随机选取次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式：.附表：参考答案：（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为故不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为““扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关”（2）这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率为据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数为.（3）设选取的位男生和位女生分别记为，，，，，随机选取次采访的所有结果为，，，，，，，，，共有10个基本事件，至少有一位男生的基本事件有个，故所求概率为试题立意：本小题考查“”联表判断相关性，古典概率，统计应用等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识和创新意识.21.(本小题满分l3分)已知函数．

(I)若a=-1，求函数的单调区间；

(Ⅱ)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t[1，2]，函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；

(Ⅲ)求证：参考答案：解：（Ⅰ）当时，

解得；解得的单调增区间为，减区间为.

………4分（Ⅱ）∵∴得，，∴

∵在区间上总不是单调函数，且∴

…7分由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴.

………（Ⅲ）证明如下：由（Ⅰ）可知当时，即，∴对一切成立．…………………10分∵，则有，∴.

…11分.

………13分略22.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM==，即kOM?k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9