(完整)高中数学选修1-1综合测试题

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选修1-1数学综合测试题（三）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的充分必要条件是（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件2.曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处切线的斜率为（）A.7B.-7C.1D.-13.已知椭圆x2/25+y2/16=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A.2B.3C.5D.74.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线5.给出命题：①存在实数x，使得x3<1；②存在有理数x，使得x2=2；③对于任意自然数x，有x3>x2；④对于任意实数x，有x2+1>0。其中的真命题是：A.①④B.②③C.①③D.②④6.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，-1B.3，-17C.1，-17D.9，-198.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则AB的最小值为（）A.pB.2pC.3pD.无法确定9.过双曲线的一个焦点F1作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F2是另一焦点，若∠PF1Q=π/2，则双曲线的离心率e等于（）A.2-√2B.2C.2+√2D.2+2√210.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f'(x)≥x，则必有（）A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11.命题“对于任意实数x，有x2-x+3>0”的否定是x2-x+3≤0。12.函数f(x)=-x+√x的单调递减区间为(0,1]。13.椭圆16x2+25y2=400上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为60。14.若A是3×3矩阵，且A3=0，则A的秩为1。15.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=2，f(1)=1，f'(0)=1，f'(1)=-1，则a=-2，b=3，c=-1，d=2。16.已知函数f(x)=(x-1)lnx，则f"(e)=2/e。17.若a，b，c是正实数，且a+b+c=1，则a2/b+b2/c+c2/a≥1。14.若直线$x-y=2$与抛物线$y^2=4x$交于$A,B$两点，则线段$AB$的中点坐标是？解：将$x-y=2$代入$y^2=4x$中，得$y^2=4(y+2)$，化简得$(y-2)^2=0$，即$y=2$，代入$x-y=2$中得$x=4$，因此$A(4,2)$。同理，将$y^2=4x$代入$x-y=2$中，得$(2-y)^2=8$，即$y=-2\pm2\sqrt{2}$，代入$x-y=2$中得$x=-2\pm2\sqrt{2}$，因此$B(-2+2\sqrt{2},-2-\sqrt{2})$。线段$AB$的中点坐标为$\left(\dfrac{4-2+2\sqrt{2}}{2},\dfrac{2-2-\sqrt{2}}{2}\right)=(1+\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。15.对于椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{16}=1$有以下4个命题，其中正确命题的序号是？解：椭圆和双曲线的标准方程分别为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。椭圆的焦点在$y$轴上，双曲线的焦点在$x$轴上，因此命题①和④错误。椭圆和双曲线的离心率分别为$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$和$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，因此椭圆的焦点和双曲线的顶点不重合，命题②错误。椭圆和双曲线的焦点均在第一象限，且有两个交点，因此命题③正确。答案为③。16.已知$m>0$，函数$f(x)=x^3-mx$在$(-\infty,+\infty)$上是单调函数，则$m$的取值范围是？解：求导得$f'(x)=3x^2-m$，令其等于零解得$x=\pm\sqrt{\frac{m}{3}}$。由于$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增或单调递减，因此$f'(-\infty)$和$f'(+\infty)$必须同号，即$f'(-\infty)f'(+\infty)>0$。当$m>0$时，$f'(-\infty)<0$，$f'(+\infty)>0$，因此$m<0$或$m>\frac{9}{4}$。当$m=0$时，$f'(x)=0$的唯一解为$x=0$，但$f(x)$不是单调函数。因此，$m$的取值范围是$0<m<\frac{9}{4}$。17.定义：曲线$C$上的点到直线$l$的距离的最小值称为曲线$C$到直线$l$的距离；现已知抛物线$C:x^2=y+a$到直线$l:2x-y=0$的距离等于$5$，则实数$a$的值为？解：直线$l$的斜率为$2$，因此过抛物线$C$上任意一点$(x,y)$且垂直于$l$的直线的斜率为$-\frac{1}{2}$，即该直线的方程为$y+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y_0-\frac{1}{4}x_0=0$，其中$(x_0,y_0)$是抛物线$C$上任意一点。将$(x_0,y_0)$代入该直线的方程，得到该直线与直线$l$的距离为$\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{x_0+2y_0-4}$。因为该距离等于$5$，所以$x_0+2y_0=29$。由$x^2=y+a$和直线$l$的方程$2x-y=0$，解得交点为$(-\sqrt{a},-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},\sqrt{a})$。将这两个点代入$x_0+2y_0=29$，解得$a=\boxed{1}$。18.已知命题$p$：方程$y^2=x^2+\dfrac{2m-1}{m}x$的离心率$e\in(1,2)$，命题$q$：双曲线$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$的渐近线方程为$y=0$。若命题$p,q$有且只有一个为真，求$m$的取值范围。解：将$y^2=x^2+\dfrac{2m-1}{m}x$化为标准方程$x^2-(y-\frac{1}{2m-1})^2=\frac{1}{4m^2-2m}$，得到一个离心率为$\sqrt{1+\frac{1}{4m^2-2m}}$的椭圆。因为$e\in(1,2)$，所以$\sqrt{1+\frac{1}{4m^2-2m}}=2$，解得$m=\dfrac{5}{2}$或$m=-\dfrac{1}{2}$。将$m=\dfrac{5}{2}$代入双曲线$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$，得到渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$，因此命题$q$错误。将$m=-\dfrac{1}{2}$代入双曲线$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$，得到渐近线方程为$y=0$，因此命题$q$正确。答案为$m=-\dfrac{1}{2}$。19.求下列双曲线的标准方程。（1）与椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$共焦点，且过点$(-2,10)$的双曲线；（2）渐近线为$x^2y=0$，且过点$(2,2)$的双曲线。解：（1）设双曲线的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，则焦点到中心的距离为$c=\sqrt{a^2+b^2}$。由于该双曲线与椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$共焦点，因此$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{25}{4}}=\dfrac{3}{2}$。又因为该双曲线过点$(-2,10)$，代入方程得$\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{25}{b^2}=1$，解得$a^2=\dfrac{16}{3}$，$b^2=\dfrac{25}{2}$。因此该双曲线的标准方程为$\dfrac{x^2}{\frac{16}{3}}-\dfrac{y^2}{\frac{25}{2}}=1$。（2）该双曲线的渐近线为$y=0$和$x^2=0$，因此它的中心在直线$y=x$上。设双曲线的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，则$a=b$。又因为该双曲线过点$(2,2)$，代入方程得$\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4}{b^2}=1$，解得$a=b=2$。因此该双曲线的标准方程为$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}=1$。20.2010年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售$a$件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为$x(0<x<1)$，那么月平均销售量减少的百分率为$x^2$，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是$y$元。（1）写出$y$与$x$的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大。解：（1）设改进后的销售价为$p$，则$p=(1+x)\times20$，月平均销售量为$b=a(1-x^2)$，月平均利润为$y=bp-15b=20a(1-x^2)(1+x)-15a(1-x^2)=5a(3x^2-2x-1)$。因此$y$与$x$的函数关系式为$y=5a(3x^2-2x-1)$。（2）当$y$最大时，$y$的导数为零，即$y'=30a(x-\frac{1}{3})=0$，解得$x=\dfrac{1}{3}$。因此改进后的销售价为$p=(1+\frac{1}{3})\times20=\boxed{26.\bar{6}}$元。21.已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=-1$和$x=1$时都取得极值。（1）求$a,b$的值和函数$f(x)$的单调区间；（2）若对$x\in[-1,2]$，不等式$f(x)<\dfrac{c}{2}$恒成立，求$c$的取值范围。解：（1）由题意得$f'(-1)=f'(1)=0$，即$-3a+2b=0$，$3a+2b=0$。解得$a=b=0$。因为$f''(-1)>0$，$f''(1宜昌市部分示范高中教学协作体2014年春季期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题：（每小题5分）1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.C10.C二、填空题：（每小题5分）11.x∈R，x≤1或x≥312.[0,1/4]13.2414.(4,2)15.①②16.0<m≤1217.6三、解答题（本大题共5小题，共65分.）18.解：由P得：m-1<0或1-m>2m∴-1<m<1/3或m>1由命题Q得：2/(5+m)>0或5+m>0∴m>-5或m>-5综上所述，m的取值范围是1/3≤m<15。19.解(1)椭圆x^2/16+y^2/25=1的焦点为(0,±3)，设所求双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1。又点(-2,10)在双曲线上，代入得：104/a^2-576/b^2=1解得：a^2=5∴所求双曲线方程为：x^2/5-y^2/4=1(2)设双曲线方程为：x^2/16-y^2/9=λ(λ≠0)，把点(2,2)代入上述方程求得λ=-12∴所求双曲线方程为：x^2/16-y^2/9=-1220.(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)元，月平均销售量为a(1-x^2)件，则月平均利润y=a(1-x^2)·[20(1+x)-15](元)，∴y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x^2-4x^3)(0<x<1)。(2)由y′=5a(4-2x-12x^2)=0，得x=1/2或x=-1/3(舍)，当0<x<1/2时，y′>0，y在(0,1/2)上为增函数；当1/2<x<1时，y′<0，y在(1/2,1)上为减函数。∴函数y=5a(1+4x-x^2-4x^3)(0<x<1)在x=1/2处取得最大值。当y=30元时，故改进工艺后，纪念品的销售价为20(1+1/2)=30元。该公司销售该纪念品的月平均利润最大。解：设销售量为x个，售价为p元，则总收入为px元。该纪念品的生产成本为f(x)元，则该公司的利润为px-f(x)元。（1）设利润函数为f(x)=x+ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。由题意可得，该公司销售该纪念品的月平均利润最大，即利润函数的平均值最大。利润函数的平均值为：f(ave)=1/(b-a)∫[a,b](x+ax^2+bx+c)dx=1/(b-a)[1/2(x^2+ax^3/3+bx^2/2+cx)]|[a,b]=(b^2-a^2)/2+ab(a+b)/3+c(b-a)/(b-a)=1/6(3b^2-2ab-3a^2)+c由于该公司销售该纪念品的月平均利润最大，因此利润函数的平均值的导数为0。f'(ave)=1/6(6b-2a)=b-a/3=0解得a=b/3。又因为f'(1)=3+2a+b=0，代入a=b/3，解得a=-1/2，b=-1。因此，利润函数为f(x)=x-x^2/2-x+1/2=1/2-x^2/2。（2）设函数f(x)=x^2/3-1/2，则f(x)在[-1,2]上单调递增。f'(x)=2x/3，令f'(x)=0，解得x=0。当x<0时，f'(x)<