新教材人教b版数学必修正弦型函数的性质与图像(一)

7.3.2正弦型函数的性质与图像(一)1.正弦型函数(1)定义:形如y=Asin(ωx+φ)的函数;(2)条件:A,φ,ω都是常数,且A≠0,ω≠0.(3)性质:定义域值域周期R

【思考】当φ为何值时,正弦型函数为奇函数?当φ为何值时,正弦型函数是偶函数?提示:当φ=kπ,k∈Z时,正弦型函数是奇函数;当φ=+kπ,k∈Z时,正弦型函数是偶函数.2.参数A,φ,ω对函数图像的影响(1)A(A>0)对函数图像的影响y=sinxy=Asinx(2)φ对函数图像的影响y=sinxy=sin(x+φ)(3)ω(ω>0)对函数图像的影响y=sinxy=sinωx.【思考】由一般的函数f(x)的图像怎样得到函数f(x+a)的图像?提示:将函数f(x)的图像当a>0时,向左平移a个单位;当a<0时,向右平移-a个单位.

【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数y=sin的周期是π. (

)(2)将函数y=sinx图像上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=sin2x的图像. (

)(3)将函数y=sinx图像上点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到函数y=sinx的图像.(

)提示:(1)×.周期为2π.(2)×.得到函数y=sinx的图像.(3)√.由A对函数图像的影响可知正确.2.函数f(x)=2sin的最小正周期为________.

【解析】函数f(x)=2sin=-2sin的最小正周期为T=.答案:

3.函数y=-2sin的最小值为________,此时,x=________.

【解析】最小值为-2,此时2x-+2kπ,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z.答案:-2

kπ+,k∈Z类型一正弦型函数的图像变换【典例】1.(2020·天水高一检测)为了得到函数y=2sin的图像,可以将函数y=2sin的图像

(

)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位2.将函数y=sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位得到的图像对应的解析式是 (

)A.y=sinx B.y=sinC.y=sin2x D.y=sin

3.(2020·白银高一检测)把函数y=sin的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图像正好关于原点对称,则φ的最小值为________.

【思维·引】1.提出系数后计算平移单位.2.逐一代入变换条件,求解析式.3.先表示出平移后的解析式,再利用图像关于原点对称求最小值.【解析】1.选B.因为y=2sin=2sin,y=2sin=2sin,由于,故把函数y=2sin的图像上所有的点,向右平移个单位长度,可得y=2sin=2sin的图像.2.选B.将函数y=sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin的图像;再向右平移个单位,得到的图像对应的解析式为y=sin=sin.3.将函数的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin的图像,再根据所得图像关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得+φ=2π,φ=.答案:

【内化·悟】将函数y=sinωx图像上所有点向右平移个单位,是针对ωx,还是针对x的变换?提示:针对x,即得到y=sinω.【类题·通】关于正弦型函数图像的变换(1)变换的要点:①A(A>0):横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍;②ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的倍;③φ:左右平移的单位是.(2)变换的方向:进行图像变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.【习练·破】1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=sin的图像,只要把y=sinx的图像上所有的点(

)A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【解析】选C.y=sin=sin,所以得到函数y=sin的图像,只要把y=sinx的图像上所有的点向左平移个单位.2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin2x的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)= (

)A.sin(2x-1) B.sin(2x+1)C.sin(2x-2) D.sin(2x+2)【解析】选C.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)=sin[2(x-1)]=sin(2x-2)的图像,所以g(x)=sin(2x-2).【加练·固】已知曲线C1:y=sinx,C2:y=sin,则下面结论中正确的是 (

)A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍.纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sinx,C2:y=sin,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得y=sin2x的图像;再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.类型二“五点法”作正弦型函数的图像【典例】(2020·石嘴山高一检测)已知函数y=3sin.(1)用五点作图在如图坐标系中作出上述函数在的图像.(请先列表,再描点,图中每个小矩形的宽度为)(2)请描述上述函数图像可以由函数y=sinx怎样变换而来? 世纪金榜导学号【思维·引】(1)按照列表、描点、连线的步骤作图.(2)由先左右平移、再横坐标伸缩,最后纵坐标伸缩的步骤变换.【解析】(1)因为x∈,所以2x-∈[0,2π].列表如下:x

2x-0

π

2πy=3sin030-30描点、连线,得出所要求作的图像如图:(2)把y=sinx的图像向右平移个单位,可得y=sin的图像;再把所得图像的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得y=sin的图像;再把所得图像的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,可得y=3sin的图像.【内化·悟】“五点法”作图时五个点分别是哪几个特殊点?提示:五个点中,有最大值点、最小值点,还有图像与x轴的交点.【类题·通】关于“五点法”作正弦型函数的图像“五点法”作正弦型函数图像的关键是列表,如作区间[x1,x2]上的图像,先求出两个端点处的相位ωx1+φ、ωx2+φ,再取出[ωx1+φ,ωx2+φ]内的五点,分别求出对应的x,y完成列表.【习练·破】某同学作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在[0,π]这一个周期内的简图时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并求出f(x)的解析式.(2)作出f(x)在该周期内的图像.ωx+φ0

ππx0

πf(x)-3【解析】(1)如表:ωx+φ

0

ππ

x0

πf(x)

030-3

由表可得,A=3,周期T=π,故ω==2,再将最高点代入得,3sin=3,又由于|φ|<,故φ=,故f(x)=3sin.(2)对应的图像如图:【加练·固】用“五点法”画函数y=2sin的简图.【解析】先画函数在一个周期内的图像.令X=3x+,则x=,列表X0

π

2πx

y020-20描点作图,再将图像左右延伸即可.类型三求正弦型函数的性质角度1求最值【典例】函数y=-2sin+1的最大值为_______,取得最大值时x=________. 世纪金榜导学号

【思维·引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x-+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z.答案:3

+kπ,k∈Z【素养·探】在求与正弦型函数有关的最值时,常常用到核心素养中的数学运算,分别计算出最值及相应的x值.本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x-+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z.角度2求单调区间【典例】函数y=的单调递减区间是____,在区间[0,π]上的单调减区间是________.

【思维·引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.【解析】函数y=令+2kπ≤3x-+2kπ,k∈Z,解得,k∈Z.令k=0得,;令k=1得所以在区间[0，π]上的单调减区间为答案:,(k∈Z)【类题·通】关于正弦型函数的单调区间(1)利用诱导公式将x的系数变正;(2)将ωx+φ看作整体,代入到正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.【习练·破】1.函数y=2-3sin的最大值为________,确定最大值时x=________.

【解析】ymax=2+3=5,令2x-+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z.答案:5

+kπ,k∈Z2.函数y=2sin(π+2x)的