高等数学微积分第一章函数及其图形

高等数学微积分第一章函数及其图形第1页，课件共44页，创作于2023年2月第一章

函数及其图形第2页，课件共44页，创作于2023年2月§1.1预备知识1.集合集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素:组成集合的事物称为集合的元素。a

是集合M的元素表示为aM。集合的表示:(P3)(1)列举法A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)描述法

M={(x,y)|x，y为实数，x2+y2=1}。一、集合及其运算第3页，课件共44页，创作于2023年2月几个数集:R表示所有实数构成的集合，称为实数集。Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。

子集:

(P3)若xA，则必有xB，则称A是B

的子集，记为AB（读作A包含于B）。

显然，N

Z，Z

Q，Q

R。第4页，课件共44页，创作于2023年2月如果A，B互相包含，即AB且BA，则称A与B相等，记为A=B。（P4）可以认为空集Ø是任意非空集合A的子集，即ØA。集合的运算：交、并、差。绝对值及其及其性质，见书第五页。第5页，课件共44页，创作于2023年2月2.区间:数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}称为闭区间。xOab[a，b]第6页，课件共44页，创作于2023年2月[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}称为半开区间。xOab[a，b)xOab(a，b]上述区间都是有限区间，其中a

和b

称为区间的端点，b-a

称为区间的长度。第7页，课件共44页，创作于2023年2月以下区间称为无限区间：[a,+)={x|ax}，xOa[a，+)(-,b]={x|xb}，xOb(-

，b](a,+)={x|ax}，axO(a，+)(-,b)={x|xb}，xOb(-

，b)(-,+)={x||x|<+}。第8页，课件共44页，创作于2023年2月3.邻域:以点a

为中心的任何开区间称为点

a

的邻域，记作U(a)。

设>0，则称区间(a-,a+)为点a

的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中点a

称为邻域的中心,

称为邻域的半径。xOa-da+d去心邻域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+da第9页，课件共44页，创作于2023年2月左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。第10页，课件共44页，创作于2023年2月1.函数概念的引入圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-

gt2，t可取[0,T]内的任意值。12§1.2函数第11页，课件共44页，创作于2023年2月2.函数的定义设x

和y

是两个变量，D

是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y

按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y

是x

的函数，记作y=f(x)。

定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。第12页，课件共44页，创作于2023年2月值域：W={y|y=f(x)，xD}。定义域：

在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。确定一个函数有二个要素：定义域和对应的规则。第13页，课件共44页，创作于2023年2月求函数的定义域举例：解:要使函数有意义，必须x0，且x2-4³0。解不等式得|x|³2。

函数的定义域为

D={x||x|³2}，或D=(-¥,-2][2,+¥)。第14页，课件共44页，创作于2023年2月3.函数的图形在坐标系xOy内，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。O

yxC(x,y)xyWDy=f(x)第15页，课件共44页，创作于2023年2月如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。3.函数举例

例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：

22xry--=及y=22xr-。第16页，课件共44页，创作于2023年2月函数的定义域为D=(-,+)。

函数的值域为W=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0

y=|x|=称为绝对值函数。例2.函数第17页，课件共44页，创作于2023年2月函数的定义域为D=(-,+)。

函数的值域为W={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例3.函数y

=sgnx

=

称为符号函数。

第18页，课件共44页，创作于2023年2月4.函数表示法

图像法、表格法、解析法（详见P14）

分段函数的三个注意点（P14）第19页，课件共44页，创作于2023年2月函数的定义域为D=[0,1](1,+)=[0,+)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第20页，课件共44页，创作于2023年2月5.函数的运算函数可以作四则运算，见书中P16。第21页，课件共44页，创作于2023年2月§1.3函数的几种基本特性图形特点：

y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函数的有界性设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数

f(x)在X上的一个上界。第22页，课件共44页，创作于2023年2月如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方y=K2y=f(x)Oxy第23页，课件共44页，创作于2023年2月有界函数的图形特点：函数y=

f(x)的图形在直线y=

-M和y=

M的之间。如果存在数M，使对任一xX，有|f(x)|M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在x1X，使|f(x)|>M。Oxyy=f(x)y=-My=M第24页，课件共44页，创作于2023年2月函数的有界性举例：（P19）

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

即|sinx|1。

见P19页例1-11yxO-2p-pp2py=sinx第25页，课件共44页，创作于2023年2月2.函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)设函数y=

f(x)在区间I上有定义。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。第26页，课件共44页，创作于2023年2月如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。f(x1)>f(x2)，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。第27页，课件共44页，创作于2023年2月设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。3.函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例：y=x2，y=cosx都是偶函数偶函数的图形关于y轴对称。第28页，课件共44页，创作于2023年2月奇偶函数举例：

y=x3，

y=sinx都是奇函数。例2、3（P21）101x-22y如果对于任意的xD，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。第29页，课件共44页，创作于2023年2月设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数l，使得对于任一xD有(xl)D，且f(x+l)=

f(x)，则称f(x)为周期函数，l

称为f(x)的周期。最小的正周期T，T=min{l|

f(x+l)=

f(x)}且T>0。可能不存在T，见书例4（P23）。周期函数的图形特点：

yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函数的周期性第30页，课件共44页，创作于2023年2月§1.4反函数对于任一数值yW，D上至少可以确定一个数值x与y

对应，这个数值x适合关系f(x)=y。如果把y看作自变量，x看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作x=j(y)。1.反函数

设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1,y0)(x2,y0)W第31页，课件共44页，创作于2023年2月Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y单调函数的反函数是单值函数，但有反函数的函数不一定是单调的。什么样的函数存在单值的反函数？第32页，课件共44页，创作于2023年2月Oxy-xxy=x2y

y=x2的反函数是多值函数：x=

。把x限制在区间[0,)，则y=x2的反函数是单值的，即x=。它称为函数y=x2的反函数的一个单值分支。反函数的单值分支：另一个单值分支为x=-

。书中例2、例3（P26）第33页，课件共44页，创作于2023年2月在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y

表示。按此习惯，我们把函数y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=

f-1(x)。例如y=x2的反函数写为y=。反函数的图形：反函数的图形与直接函数的图形关于直线y=x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：第34页，课件共44页，创作于2023年2月D1D2u=j(x)y

=f(u)y

=f[j(x)]复合函数：一般地，设函数y

=f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果{u|u=j(x)，xD2}D1则对于任一xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数y

=f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y

=f[j(x)]

，其中定义域为D2，u称为中间变量．§1.5复合函数第35页，课件共44页，创作于2023年2月复合而成的．其中u，v

都是中间变量．函数y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函数y=，u=cotv，v=经复合可得函数问：函数y=arcsinu与u=2+x2能构成复合函数吗？两个函数可以构成复合函数的条件，见书中P29。P29-31，例题1-8。y=

例

函数y=arctan(x)2可看作是由y=arctanx和u=x2复合而成的．第36页，课件共44页，创作于2023年2月§1.6初等函数1.幂函数(见书中P33页，增加一种常数函数）函数y=xm（m是常数）叫做幂函数．幂函数的定义域：与常数m有关，但函数在（0，+）内总有定义．最常见的幂函数：xyO11y=x2y=xy

=xxyO11y=x-1y=x3第37页，课件共44页，创作于2023年2月1a>1

y=()x1ay=axxyO2．指数函数函数y=ax(a是常数，且a>0，a1)叫做指数函数．指数函数的定义域：D=（-，+）．单调性：若a>1，则指数函数单调增加；若0<a<1，则指数函数单调减少．第38页，课件共44页，创作于2023年2月1a>1y=axxyOy=logax3．对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，a1)．对数函数的定义域是区间(0，+)．单调性：若a>1，则logax单调增加；若0<a<1，则logax单调减少．性质见书P