随机变量矢量和序列

随机变量矢量和序列1第1页，课件共57页，创作于2023年2月主要内容随机变量统计值常用分布随机矢量随机矢量的线性变换正态随机矢量独立随机变量和离散随机过程第2页，课件共57页，创作于2023年2月随机变量定义3.1随机变量x(ξ)是一个映射，这个映射为每个来自抽象概率空间的结果ξ赋予一个实数x。该映射满足的如下条件：(1)对于任一x，区间{x(ξ)≤x}为概率空间中的一个事件(2)Pr{x(ξ)=∞}=0,且Pr{x(ξ)=－∞}=0第3页，课件共57页，创作于2023年2月随机变量随机变量映射示意图抽象空间S实数空间R随机变量x(ξ)ξ1x(ξ1)ξ2x(ξ2)ξ3x(ξ3)ξ4x(ξ4)第4页，课件共57页，创作于2023年2月分布密度与密度函数分布函数(Cummulativedistributionfunction,cdf)概率密度函数(probabilitydensityfunction,pdf)第5页，课件共57页，创作于2023年2月分布密度与密度函数对于离散的随机变量，采用概率质量函数(probabilitymassfunction,pmf)概率函数满足：第6页，课件共57页，创作于2023年2月统计值数学期望数学期望具有线性特征第7页，课件共57页，创作于2023年2月统计值矩(moments)特殊情况第8页，课件共57页，创作于2023年2月统计值中心矩特殊情况第9页，课件共57页，创作于2023年2月统计值方差与矩的关系:方差主要表征随机变量围绕中心值的分布（或散布）程度的度量倾斜度(skewness)：表明随机变量与中心分布的不对称程度。向右倾斜，其值为正，向左则其值为负。第10页，课件共57页，创作于2023年2月统计值峰度(kurtosis)：表明随机变量在均值附近的相对平坦程度或峰值程度。相对于正态分布而言，正态分布的峰度值为0，比正态分布陡峭，则峰度值大于0，否则小于0。第11页，课件共57页，创作于2023年2月均值、方差、倾斜度和峰度示意fx1(x)µ1fx2(x)µ2数学期望fx1(x)fx2(x)方差σ1σ2fx1(x)fx2(x)倾斜度负正fx1(x)fx2(x)峰度负正第12页，课件共57页，创作于2023年2月切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量偏离其平均值k倍标准偏差的概率，小于或等于1/k2,与概率密度函数的具体形式无关：第13页，课件共57页，创作于2023年2月特征函数定义采用s代替将上式的jξ，得到矩的生成函数在s=0处按泰勒级数展开，假设各阶矩存在第14页，课件共57页，创作于2023年2月特征函数从上式可知，只要随机变量的所以矩都已知（且存在），那么可以求出生成函数，然后进行拉普拉斯反变换就可以确定密度函数通过生成函数对s的微分可以求出矩第15页，课件共57页，创作于2023年2月累积量累积量生成函数是矩的生成函数的自然对数用jξ代替s得到第二特征函数累积量为累积量生成函数的导数第16页，课件共57页，创作于2023年2月累积量零均值随机变量的前5个累积量为第17页，课件共57页，创作于2023年2月常用分布——均匀分布概率密度函数pdf累积分布函数cdfabfx(x)x第18页，课件共57页，创作于2023年2月常用分布——均匀分布特征函数均值与方差abfx(x)x第19页，课件共57页，创作于2023年2月常用分布——正态分布概率密度函数pdf特征函数正态分布完全由均值和均方差决定，可表示为µxfx(x)x第20页，课件共57页，创作于2023年2月常用分布——正态分布正态分布的所有高阶矩可用前两个矩来表示，换言之正态分布高于2阶的矩并不能提供额外的信息。四阶中心矩为第21页，课件共57页，创作于2023年2月常用分布——柯西分布概率密度函数pdf累积分布函数cdf柯西分布的均值为µ。但偏差、矩等不存在第22页，课件共57页，创作于2023年2月MATLAB随机函数采用rand函数模拟0～1均匀分布采用randn函数模拟高斯分布第23页，课件共57页，创作于2023年2月MATLAB随机函数x=-3.8:0.1:3.8;%随机高斯密度y1=randn(1,30000);z1=hist(y1,x)/(30000*0.1);bar(x,z1),xlabel('bar')%标准高斯密度y2=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);holdon,plot(x,y2);holdoff%均匀分布y3=rand(1,30000);z3=hist(y3,x)/(30000*0.1);figure,bar(x,z3),xlabel('bar');第24页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量M维随机矢量分布函数和密度函数第25页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量边缘分布随机变量独立，则有第26页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量均值矢量自相关矩阵第27页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量随机矢量的协方差矩阵（二阶矩）协方差矩阵元素相关系数随机变量独立、正交，则第28页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量随机xi(ξ)、xj(ξ)不相关，则随机xi(ξ)、xj(ξ)正交，则第29页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量设x(ξ)、y(ξ)分别是M和L维随机矢量，则这两个随机矢量的互相关矩阵为交叉协方差矩阵第30页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量若x(ξ)、y(ξ)不相关，则若x(ξ)、y(ξ)正交，则第31页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量的线性变换随机矢量x(ξ)、y(ξ)存在如下关系fx(x)为x(ξ)的概率密度,y(ξ)的概率密度为第32页，课件共57页，创作于2023年2月随机矢量的线性变换随机矢量x(ξ)、y(ξ)的统计量关系第33页，课件共57页，创作于2023年2月正态随机矢量x(ξ)是M维的正态随机矢量，则正定二次型为特征函数为第34页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和y(ξ)是M个随机变量的和，即y(ξ)的均值为第35页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和应用独立性质，则y(ξ)的方差怎么求y(ξ)的概率密度函数pdf？第36页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和先来看两个特殊的情况：情况一：对应的特征函数为：第37页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和对应的特征函数为：根据傅立叶卷积性质，则概率密度为第38页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和对应的第二特征函数为：m阶累积量为第39页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和例3.2.1设xk(ξ)(k=1,2,3,4)是4个独立、具有相同分布的随机变量，在[-0.5,0.5]上均匀分布。试计算M=2,3,4时，y(ξ)的概率密度函数第40页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和f(x)为随机变量xk(ξ)的概率密度函数，则当M=2时，y(ξ)的概率密度函数为第41页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和当M=3时，y(ξ)的概率密度函数为第42页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和当M=4时，y(ξ)的概率密度函数为第43页，课件共57页，创作于2023年2月当M=1，2，3，4时，y(ξ)的概率密度函数图形M=1-0.50.5M=2-11M=3-1.51.5M=3-220.75110.67第44页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和情况二：对应的特征函数为：第45页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和根据傅立叶卷积性质，则概率密度为第46页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和对应的第二特征函数为：m阶累积量为第47页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和综合上述两种情况的特征函数为m阶累积量为第48页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和所以的概率密度函数为第49页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和根据卷积的性质，独立、分布相同的随机变量的和仍然保持为原有的分布有：（1）有限方差：高斯随机变量（2）无限方差：柯西随机变量从上述例子可以看出，高斯与柯西分布都具有不变性。第50页，课件共57页，创作于2023年2月独立随机变量和这种不变性的随机变量具有相同的特征函数形式：

从不变性，我们引出“稳定分布”概念。第51页，课件共57页，创作于2023年2月稳定分布定义：x1(ξ),x2(ξ),…,xM(ξ)为独立、相同分布的随机变量，分布函数为Fx(x),sM(ξ)=x1(ξ)+x2(ξ)+…+xM(ξ)。如果对于每一个M，存在常数aM>0,且有bM使得下式成立并且Fx(x)不是集中在一个点上。当bM=0时，我们称为严格稳定。第52页，课件共57页，创作于2023年2月稳定分布可以证明，对任何稳定的随机变量x

(ξ),存在一个常数α（0<α≤2），使得aM=M1/α。其中α称为稳定性指标或特征指数。可以称该随机变量α稳定。第53页，课件共57页，创作于2023年2月稳定分布中心极限定理(CLT)若随机x1(ξ),x2(ξ),…,xM(ξ):(a)相互独立,(b)

具有相同的分布,(c)各随机变量的均值与方差都存在且有限；那么当M→∞时，归一化的随机变量和的分布就趋于一个零均值、单位标准偏差的正态随机分布。其中，归一化的随机变量和为：第54页，课件共57页，创作于2023年2月例子M=1-0.50.5M=2-11M=3-1.51.5M=3-220.75110.67第55页，课件共57页，创作于2023年2月离散时间随机过程存在一个随机变量序列x

(n,ξ),n为离散时间，ξ为随机变量。如果n固定，则可以把x

(n,ξ)视为一个随机变量。如果ξ固定，则可以把