6傅立叶级数-资料教学课件

湖南大学理科通识阶段教育课程——无穷级数微积分（二）第六讲周期函数的傅立叶级数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~学习要求对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。知道函数展开为傅里叶级数的充分条件。能将周期函数及定义在和上的非周期函数展开为傅里叶级数，能将定义在和上的函数展开为正弦或余弦级数。第九章无穷级数第五节傅立叶级数周期函数的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数四、正弦级数与余弦级数五、一般周期函数的傅立叶级数一、问题的提出二、三角级数及三角函数系的正交性三、函数展开成傅立叶级数一、问题的提出简谐振动是一种简单的周期运动，它产生的波称为谐波。是周期为的正弦函数有限个谐波叠加后仍然是周期为的波。实际应用中关心的是：任何一个周期振动所产生的波是否都可以由若干个简谐振动所产生的波合成？数学理论中关心的是：任何一个周期函数是否都可以表示为若干个三角函数之和？由于任何一个周期为的函数经过变换故不失普遍性，我们主要研究以为周期的函数。即：若是以为周期的函数，则是否有可化为周期为的函数问题:2.若能展开,其系数如何确定?3.展开的三角级数在什么条件下收敛?1.怎样的周期函数可展开为三角级数？二、三角级数三角函数系的正交性1三角级数(Trigonometricseries)前面的简谐振动函数（1）即:由三角函数组成的函项级数成为三角级数

则(1)式右端的级数可改写为(2)得到行如(2)式的级数称为三角级数2三角函数系的正交性(1)三角函数系即i)ii)iii)三、函数展开成傅里叶级数傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”

——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点1.傅里叶系数(问题2)可得可得可得从而得到傅里叶系数把以上得到的系数代入三角级数问题3:该级数称为傅里叶级数2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.解所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象为所求函数的傅氏展开式为例2.上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:

设f(x)是周期为2的周期函数,它在说明:当时,级数收敛于四、正弦级数和余弦级数

(Sineseriesandcosineseries)一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1.定理设是周期为的函数,且可积,则2.定义解所给函数满足狄利克雷充分条件.和函数图象n＝5解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.五、一般周期函数的傅立叶级数代入傅立叶级数中这里讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式定理则有则有解小结求傅立叶级数展开式的步骤;(1).画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);(2).求出傅氏系数;(