波动和声物理力学答案

第十章波动和声思因为波是振动状态的传播，在媒质中各体元都将重复波源的振动，所以一旦掌握了波源的振动规律，就可以得到波动规律，对不对？为什么？解：不对。因为要知道波动规律，不仅要知道波源的振动规律，还要知道媒质的情况。在振源和无色散媒质的条件下传播机械波。（1）若波源频率增加，问波动的波长、频率和波速哪一个将发生变化？如何变？（2）波源频率不变但媒质改变，波长、频率和波速又如何变？（3）在声波波源频率一定的条件下，声波先经过温度较高的空气，后又穿入温度较低的空气，问声波的频率、波长和波速如何变化？解：（1）频率、波长将发生变化。频率增加，波长减小。（2） 波速、波长变化，波的频率不变。I （3） 因为v=,^R^，声速与温度有关，所以声波先经过温度较高的空气，波速大，□穿入温度较低的空气，波速变小。声波频率不变。波长变短。平面简谐波中体元的振动和前一章所谈质点作简谐振动有什么不同？解：（1）平面简谐波中作简谐振动的体元的园频率①并非决定于振动系统本身性质，而取决于波源的频率，前一章所谈质点作简谐振动的频率决定于振动系统本身的性质。（2）平面简谐波中体元振动的动能、势能可同时达到最大值，能量以波速向外传播，而且体元的势能是因形变而为体元所有。前一章所谈质点作简谐振动时，当动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，振动系统的能量守衡，不向外传播，而势能属于振动质点和其它物体所共有，如：弹簧振子的势能为质点和弹簧所共有。10.4平面简谐波方程y=Acos®（t--）中x取作某常数，则方程表示位移y作简谐振v动；若取等于某常数，也表示位移作简谐振动。这句话对不对？为什么？解：不对。因为平面简谐波方程y=Acos讥t--）中x取作某常数，，而®不决定于振动v系统本身性质，而取决于波源的频率，所以不表示位移y作简谐振动。当t等于某常数时，表示t时刻波线上各体元位移分布、波形，不表示位移y作简谐振动。10.5波动方程空二巴圧的推导过程用到那些力学基本规律？其使用范围如何？dt2 pdx2解：波动方程的推导过程用到胡克定律、牛顿第二定律。使用范围：弹性媒质并且各质点的形变是在弹性限度内。用手抖动张紧的弹性绳的一端，手抖的越快，振幅越大，波在绳上传播得越快，又弱又慢的抖动，传播得较慢，对不对，为什么？解：不对，因为波速仅与介质有关，而于波源的频率、振幅无关。手抖的快，波源频率大，但波速不变，所以传播的并不快，抖度即幅度决定于振源的振幅，所以幅度并不一定大波速和媒质内体元振动的速度有什么不同？解：波速是一定振动状态（位相）向前传播的速度，媒质内体元振动的速度是质点位移随时间变化的速度。所谓声压即有波传播的媒质中的压强，对不对？解：不对。因为在有声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强p与没有声波时压强po的差，叫做该点处该瞬时的声压。举例说明波的传播的确伴随着能量的传播，波传播能量与粒子携带能量有什么不同？解：(1)每个体兀的能量dE=pdvw2A2sin2w(t-—),每个体兀的能量由振动状态决定，v而振动状态又以波速传播，所以能量也以波速传播。例如：一质点的振动能引起邻近质点的振动，邻近质点的振动又能引起较远质点的振动，质点振动具有能量，说明能量也以波速传播。(2)波传播能量与粒子携带能量的区别：每个体兀的能量在波传播过程中是随时间作周期性变化的，而粒子携带能量不随时间变化，如光子能量hv不随时间变化。通过单位面积波的能量就叫能流密度。这种说法是否正确？能流密度和声强有什么区别和联系？解：(1)不对，因为能流密度的定义为单位时间通过与波的传播方向垂直的单位面积的能量。(2)联系：声波平均能流密度的大小叫声强。区别：能流密度是矢量，方向沿波传播方向，声强为标量。能否想出一个测量声压从而测出声强的办法？解：用声压计测出声压，代入声强和声压的关系式I=人二即可测出声强。2Z若两列波不是相干波，则当相遇时相互穿过且互不影响，若为相干波则相互影响。这句话对不对？解：不对。因为不论两列波是否为相干波，是否相遇，都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播，彼此互不影响。试举出驻波和行波不同的地方。解：(1)行波中每个体兀的能量以波速传播。驻波中没有能量的定向传播。(2)行波波形以波速向前传播，驻波波形不变，不向前传播。(3)行波是波，驻波不是波。若入射平面波遇到界面而形成反射平面波和透射平面波，问入射波和反射波的振幅是否可能相同？试解释之。解：。不可能相同。'因为反射波和透射波能量都来自于入射波。但当两媒质波阻相差悬殊时，根据反射系数=(Z1-Z2)2，透射系数=1-反射系数。其中Z］与z+z 112z2为媒质1和2的波阻。此时主要是反射，可认为反射波入射波振幅相同。210.15用手抖动两端固定的弦使其振动，能否分析基频和谐频哪一个衰减得更快一些？如何分析？解：谐频衰减得更快一些。因为阻尼的作用是难以避免的，振动质点要克服外界阻力做功，能量就不断减少，从而振幅不断减小，振动发生衰减。谐频的频率高，振动的快，单位时间内比基频减少的能量多，所以谐频衰减得更快一些。为什么用超声波而不是普通声波进行水中探测和医学诊断。解：水中超声波的衰减系数比在空气中小得多，而且超声波在软组织和肌肉中衰减系数也较小，更兼超声波波长短，直进性强，遇障碍物时易形成反射，所以用超声波而不是普通声波进行水中探测和医学诊断。群速与相速有什么不同？解：相速是行波中一定的振动位相向前传播的速度，群速是波包向前传播的速率。无色散时二者相等，有色散时二者不等。习题10.2.1频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。00C时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长。解：根据公式X=-得V

.u331.5入.u331.5入=—= =1v20

1u 331.5入=—= 2v 2000016.58m=16.58x10-3m210.2.2一平面简谐声波的振幅为0.001m，频率为1483Hz,在200C的水中传播，写出其波方程。解：此声波在200C的水中传播，其波速为u=1483m/s角频率w=2兀v=2兀x1483=2966兀A=0.001m波方程为y=Acos(wt+WX)u=0.001cosj(966ct+2兀x)10.2.3已知平面简谐波的振幅A=0.1cm，波长1m,周期为10-2s，写出波方程(最简形式)。又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解：选波源处为坐标原点，初相位为零的时刻为计时起点11v= = =102/sT10-2波方程y=(_波方程y==Acos2冗vt干——l九丿=10-3cosL冗Co21+咒力x=9m处振动相位a=2冗(02t+9)x=10m处振动相位a=2冗G21+10)位相差a-a=2兀21c,10.2.4写出振幅为A,v=f波速为v=c,沿ox轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O,且当t=0时，波源的振动状态被称为零，速度沿oxc,解：根据题意波源的振动方程为y=Acos(wt+9)v=-AwsinWt+a)t=0y=Acosa=00v=-Awsina>00解之得a=--2x则波方程y=Acos[2nv(t- )+a]ux兀=Acos[2兀f(t-)-]c210.2.5已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为y=Acos(bt-cx),A,b,c均为常量.试求(1)振幅、频率、波速和波长；(2)写出在传播方向上距波源/处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：(1)振幅A频率v波速v

波长k=「=丰(2)距波源/处一点的振动方程式y=Acos(bt-c/)其振动初位相为-c/10.2.6一平面简谐波逆x轴传播，波方程为y=Acos2-v(t+-+3)，试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。解：设相对于原来计时起点的某一时刻为t，相对于新的计时起点此瞬时为t/，且新计时起点可使原点初位相为零，贝I」 2—t/=2-v(t+3)t/=t+3这样原波方程化为 y=Acos2-v(t/+X)计时起点提前3秒。u6f510.2.7平面简谐波方程y=5cos2-(t+—)，试用两种方法画出t=s时的波形图。(SI)6f5解：1)描点法x125311526_1575025y54.32.50-4-52)平移法兀 12=5cos—(x+—)25兀 12兀 12先做出y=5cos-x的波形曲线，再向左平移12个单位长，即得做之图线25体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。解：根据已知得出平面简谐波方程为txS=0.01cos2-(一)120.3x=0.20m处体元的振动方程为t 2 - 4S=0.01cos2-( 一)=0.01cos(t一-)12 3 6 34S/m

10.2.9二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时xi、x2、x3以及E、E、E各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于、和E只要求说明其相位在第几象限）23解：根据波动就是振动状态在空间的传播，并且沿波的传播方向各体元有一定位相落后设质元振动最高处位相为2兀，这样可判断各点的相位。再根据图形判断位移的正负。根据波的 x1x2x312g3位移正最大负0正最大负0速度0负负最大0正正最大

位相2兀II象限兀22兀III象限3—兀210.2.10图（a）、（b）分别表示t=0s和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出此平面简谐波波方程。4x/m4x/m九x2

波速u=— =— =0.25m/s22u0.25频率v= = =0.125/s九2由图知t=0时y=A则初位相a=0传播方向为沿着ox正方向故波方程为y=2cos2kv（t一）u=2cos0.25=2cos0.25兀（t一x0.25=2cos冗（0.251—V）10.3.1一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm2。求其中传播纵波和横波时的波速各多少？铜的密度为8.9X103kg/m3，铜的杨氏模量为12X109N/m2解：由已知得T=1.0Np解：由已知得T=1.0Np=8.9x103kg/m3Y=12x109N/m2根据v横'、根据v横匸Vp=1.06x10m/sv=1.16x103m/s纵10.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45X103m/s,求水的体变模量。解：根据v解：根据v流得K=v2p=（1.45x103）2x103=2.1x109Kg/ms210.4.1在直径为14cm管中传播的平面简谐声波。平均能流密度9erg/s.cm2,v=300Hz,u=300m/s.（1）求最大能量密度和平均能量密度，（2）求相邻同相位波面间的总能量。解：（1）根据平均能流密度的大小为I=瓦

I 9乂10-7得平均能量密度为-= =3x10-5J/m3v 10-4x3x102又因为&=丄P®2A2而£ =pro2A22最大所以£ =2£=6x10-5J/m3最大⑵相邻同位相波面间的距离为九则管在九长的体积为V=nR2九=nR2—v总能量E=V£=3.14x(7x10-2)2xX3x10-5=4.62x10-7J30010.4.2空气中声音传播的过程可视作绝热过程，其过程方程式为pvy=常量。求证声压，其中p0和v°表示没有声波传播时一定质量空气的压强p=p1-p0可表示作pa-YP0，其中p0和v°表示没有声波传播时一定质量空气的压强v0和体积，v是有声波时空气的体积。证明：由绝热过程公式pvY=常量=0两边微分 pyVy-1dV+Vy=0则dp=-也匚空则dp=-也匚空dV=-py—VV〜V0Vy而dVaV—V10V-V则Pa—yp—1 00V010.4.3面向街道的窗口面积约40m2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB，问有多少声功率传入室内（即单位时间内进入多少声能）？解：根据声强级公式L=10lg—dp沁p-p=P100—=106由已知L=60所以—=106I=Ix106=10-12x106=10-6w/m200窗口的面积为40m2则传入室内的声功率为N=IS=10-6x40=4.0x10-5W10.4.4距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB。求（1）距声源5m处的声强级；（2）距声源多远，就听不见1000Hz的声音了？解：（1）根据声强级公式L=10lg—[dB]r1r1=10m处L=10lgdB]10由于声源为点声源，0由于声源为点声源，0故传播的波为球面波，I r2—1-=~2—I r2—1-=~2—一I r221Ir2I= —=2r22其中I1为100251r1=10m处的声强，I12为r2=5m处的声强。I4IIL=10lg旷=10lgi=10lg4+10lg「=10lg4+L=10x0.60+20=26db5III10000（2）由（1）知10lg仃=20得I=100II100又刚好能听见的1000Hz声音的声强约10-12W/m2为标准声强I0设声强为I处距点声源为r00Ir2根据球面波的特点r=十得Ir201100I r2旷=—0—I 1000r=100m0音。10.5.1声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S在电磁铁的作用下振动。D为声音检测器，SBD长度可变，SAD长度固定。声音干涉仪内充满空气。当B处于某一位置时，在D处听到强度为100单位的最小声音，将B移动则声音加大，当B移动1.65cm时听到强度为900单位的最强音。（1）求声波的频率，（2）求到达D处两声波振幅之比。已知音。解：根据题意S的振动向两个方向传播成为两列传播方向相反的相干波，干涉结果为振动最强和最弱的点相距4尢（1）由已知得一=1.65cmX=6.6cm=6.6x10-2m4u342.4v= = =5188HzX6.6x10-2（2）由声强公式I=—®2A2pu2得出2A2―1-A22由于两列波的频率相同且在同一媒质中传播，所以①=①得出2A2―1-A22由于两列波的频率相同且在同一媒质中传播，所以①=①12pu=pu）112'1001——V90=310.5.2两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m。(1)至少求出三个x数值使得在P点合振动最强，(2)求出三个x数值使得在P点合振动最弱。L-x解：由于两个波源均发出横波，在同一媒质中传播，波长又相同，故频率一定相同。两波源又具有相同的位相，即位相差恒定，由此得出两波源为相干波源。两波源在P点引起的振动为y=Acos(wt一kL)11y=Acos[wt一k(L一x)]22kx其位相差A=[wt—k(L—x)]—(wt—kL)=1)要使P点的合振动为最强kxA=kx=2n兀(n=0,1,2,...)2n冗x= =n入=0.34n2冗九当n=0,1,2时x=0x=0.34m x=0.68m2)要使P点的合振动为最弱(2n+(2n+1)冗2冗=(2n+1)九九A=kx=(2n+1)兀 (n=0，1，2，…)当n=0,1,2时x=0.17m x=0.51m x=0.85m10.5.3试证明两列频率相同、振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。证明：根据题意，设这两列波方程分别为y=Acos(wt—kx) (1)11y=Acos(wt+kx) (2)22其中A>A12根据波的叠加原理，可把第一列波视为两列频率相同、振动方向相同、传播方向相同、初相相同、振幅分别为A和A/的波叠加而成，即2y=Acos(wt—kx)+A/cos(wt—kx)=y/+y〃1211显然y/和y叠加而成驻波，而y//为一行波，即121y+y=Acos(wt一kx)+Acos(wt+kx)+A/cos(wt一kx)1222=(2Acoskx)cosot+A/cosc^t一kx)证毕210.5.4入射波y=10x10-4cos[2000兀(t-—)]在固定端反射，坐标原点与固定端相距340.51m，写出反射波方程。无振幅损失。(SI)解：由已知条件可知反射波与入射波有相同的振幅、频率、波长，因此只需求出反射波在原点的初相Q即可得出反射波的波方程。对入射波而言，设固定端比原点位相落后Q，在原点x=0，质点的振动方程为在1Acoswt在固定端x=L质点的振动表达式为y=Acos(wt-kL)2TOC\o"1-5"\h\z2兀 2兀则©=kL=L=0.51一1 九 九在固定端反射，有半波损失，即反射波比入射波在固定端位相落后兀则在固定端，反射波的位相为© =wt一© —兀212兀根据已知条件，反射波在原点的位相比在固定端的位相又落后0.51丝九故反射波在原点的初相2兀©=—©—兀一©=—x0.51x2—兀1 1九2冗x2=— x0.51—冗=—61冗341000x则反射波方程为y/=10x10-4cos[2000兀(t+ )—61兀]34x=10x10-4cos[2000兀(t+ )一兀]34tx入射波方程为y=Acos[2兀(+ )]，在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。解：由于是在x=0处的自由端反射，即反射处与原点距离为零，并且自由端反射无半波损失，故反射波与入射波不仅振幅、频率、波长、振动方向相同，而且初相也相同则反射波方程为txy=Acos2兀(—— )T九图示某一瞬时入射波的波形图，在固定端反射。试画出此瞬时反射波的波形图。无振幅损失。MP解：(1)首先假设无MN,将波形图继续向右方延伸

（2） 取PQ让其到MN的距离为半个波长，将此半个波长的波去掉（即半波损失）（3） 将b点右边的波形改为向左传播的波，并平移到A点（即虚线部分），此波形图即反射波形图。10.5.7若10.5.6题图中为自由端反射，画出反射波波形图。入射波解：（1）将图形继续向右方延伸（2）由于是自由端反射，无半波损失，在反射端入射波与反射波位相相同，因此只需把0点右方的波形改为向左传播即可。10.5.8一平面简谐波自左向右传播，在波射线上某质元A的振动曲线如图示。后来此波在前进方向上遇一障碍物而反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为oy轴原点，写出该入射波波方程。由振动图线可知：振幅A=0.2mt/s周期由振动图线可知：振幅A=0.2mt/s周期T=2s波速v设A点的振动表达式为x=Acos©t+©）由图中可知当t由图中可知当t=0时x=0v= =Asin@t+9)<0dt则0=Acos©得©=-2从而得入射波方程tx=0.2cos[2兀(2兀 兀=0.2cot一一y+一］6210.5.9同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。二波相对传播，波长8m。波射线上A、B两点相距20m。一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为--。求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。2解：根据题意，两波源作同频率、同方向、同振幅的振动，两波相对传播，波长均为8m,故两波在媒质中相遇，叠加而成驻波。以A为坐标原点建立A—x轴，设由A向B传播的波方程为

y=Acos(①t一kx) 其中k=1 九8 4由B向A传播的波方程为 y=Acosffl(t+kx+Q)2由已知条件：一波在A处为波峰时，另一波在B处位相为-巴，得此瞬时2wt一kx=2兀®t=2兀wt+kx兀+©=-即2兀+兀x20+©=兀得©=一&兀2422故y=15兀Acos(wt+kx-—兀)=Acos(wt+kx+)222兀y+y=Acos(wt一kx)+Acos(wt+kx+—)122TOC\o"1-5"\h\z兀 兀=2Acoskx+—)cosWt+—)44由于干涉而静止的点为cos(kx+ )=04即kx+—=(2n+1)一 (n=0,1,2,...)42\o"CurrentDocument"兀 兀 兀贝I」——x+ =(2n+1)——4 4 2x=4n+1x=5m，x=9mx=5m，x=9m，12x=13m30x=17m410.5.10一提琴弦长50cm，两端固定。不用手指按时，发出的声音是A调：440Hz。若欲发出C调528Hz,手指应按在何处？解：琴弦发出声音的音调是指基波频率I j 根据弦振动频率公式v= 在这里n=1即J= =—n2厶\lp 12厶+p 2L当手指不按时L=当手指不按时L=L=0.5m当手指按时L=L基频率为v=440Hz1基频率为V=528Hz22L2L440x0.5=0.4167m=41.67x10-2m528即手指按在41.67x10-2m处。倍，问弦10.5.11张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发出的频率比原来提高内张力应增加多少倍？

倍，问弦解：弦振动的频率公式V乐器发出声音的音调指基频即n=1设变化后的频率为v/且v/=2v张力为T/则有v1 'T/v/=—2八p解：弦振动的频率公式V乐器发出声音的音调指基频即n=1设变化后的频率为v/且v/=2v张力为T/则有v1 'T/v/=—2八pIT/因为v/=2v所以丫一=2即T/=4TT弦内张力应增加3倍。10.7.1 火车以速率v驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f。求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v0。